王佩其

概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，也是高中數(shù)學(xué)中占有課時(shí)最多的一個(gè)知識(shí)板塊，已成為近幾年新課標(biāo)高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性，而在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題是高考命題的指導(dǎo)思想之一.該部分的命題點(diǎn)多，命題背景廣闊，命題具有很大的靈活性，但基本的態(tài)勢(shì)還是相對(duì)固定的，即統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問(wèn)題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái)，只有這樣才能有效地解決問(wèn)題.高考試題中的概率與統(tǒng)計(jì)解答題往往具有一定的綜合性.那么，2014年高考概率與統(tǒng)計(jì)考什么？

一、考查樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法和概率的計(jì)算方法

預(yù)測(cè)題1. 汽車(chē)是碳排放量比較大的行業(yè)之一.歐盟規(guī)定，從2012年開(kāi)始，將對(duì)CO2排放量超過(guò)130 g/km的MI型新車(chē)進(jìn)行懲罰（視為排放量超標(biāo)）.某檢測(cè)單位對(duì)甲、乙兩類(lèi)MI型品牌車(chē)各抽取5輛進(jìn)行CO2排放量檢測(cè)，記錄如下（單位：g/km）：

經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)，乙品牌車(chē)CO2排放量的平均值為x乙=120 g/km.

（1）從被檢測(cè)的5輛甲類(lèi)品牌車(chē)中任取2輛，則至少有一輛CO2排放量超標(biāo)的概率是多少？

（2）若90

命題意圖：概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容豐富，但高考要求不高.本題將統(tǒng)計(jì)與概率“無(wú)縫對(duì)接”.命制本題，旨在考查考生的綜合能力和對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力.

解題思路：

（1）從被檢測(cè)的5輛甲類(lèi)品牌車(chē)中任取2輛，其CO2排放量共有10種不同的結(jié)果：80，110；80，120；80，140；80，150；110，120；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.

設(shè)“至少有一輛CO2排放量超標(biāo)”為事件A，則事件A包含以下7種不同的結(jié)果：80，140；80，150；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.

∴所求事件的概率P（A）==0.7.

（2）由題可知，x甲=x乙=120，x+y=220.

5s2甲=（80-120）2+（110-120）2+（120-120）2+（140-120）2+（150-120）2=3 000，

5s2乙=（100-120）2+（120-120）2+（x-120）2+（y-120）2+（160-120）2=2 000+（x-120）2+（y-120）2.

∵x+y=220，∴5s2乙=2 000+（x-120）2+（x-100）2.

令x-120=t，∵90

∴5s2乙=2 000+t2+（t+20）2，

∴5s2乙-5s2甲=2t2+40t-600=2（t+30）（t-10）<0，

∴s2乙

試題評(píng)價(jià)：本題雖然比較常規(guī)，但緊扣環(huán)保，寓意深刻，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，符合新課標(biāo)理念.

二、考查莖葉圖的意義和獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解

預(yù)測(cè)題2. 某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用莖葉圖1表示30人的飲食指數(shù).（說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類(lèi)為主.）

（1）根據(jù)莖葉圖，幫助這位學(xué)生說(shuō)明其親屬30人的飲食習(xí)慣；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2的列聯(lián)表：

（3）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，你能否認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要分析.

附：K2=.

命題意圖：將新課標(biāo)兩個(gè)新增內(nèi)容莖葉圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)命制在同一題中，以達(dá)到“一題兩考”的目的，同時(shí)也考查了考生的綜合應(yīng)用能力.

解題思路：

（1）由莖葉圖確定甲、乙兩類(lèi)中飲食類(lèi)型的人數(shù)，從而作出判定：由莖葉圖知，50歲以下的12人中飲食指數(shù)低于70的有4人，飲食指數(shù)高于70的有8人.50歲以上的18人中，飲食指數(shù)低于70的有16人，高于70的只有2人.在30位親屬中，50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉為主.

（2）運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行分析.

2×2的列聯(lián)表如下：

（3）因?yàn)镵2===10>6.635，

又P（K2≥6.635）=0.010.

∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān).

試題評(píng)價(jià)：本題將莖葉圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)交匯，背景新穎，求解的關(guān)鍵是理解莖葉圖提供數(shù)據(jù)特征.本題求解中常見(jiàn)的錯(cuò)誤：（1）不理解莖葉圖反映的數(shù)據(jù)信息；（2）對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想理解不深刻，作出錯(cuò)誤判定.本題難度雖然不大，卻值得大家一練.

三、考查對(duì)莖葉圖和頻率直方圖的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，求隨機(jī)事件概率的一般方法

預(yù)測(cè)題3. 某校高三某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)（滿分為100分）的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見(jiàn)部分如圖2所示，據(jù)此解答如下問(wèn)題：

（1）求分?jǐn)?shù)在[50，60）的頻率及全班人數(shù)；

（2）求分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高；

（3）若要從分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分?jǐn)?shù)在[90，100]之間的概率.

命題意圖：通過(guò)設(shè)置“損壞的”統(tǒng)計(jì)圖表，靈活考查考生對(duì)莖葉圖和頻率直方圖的認(rèn)識(shí).

解題思路：

（1）分?jǐn)?shù)在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，

由莖葉圖知：分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為=25.

（2）分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4；

頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為÷10=0.016.

（3）將[80，90）之間的4個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為1，2，3，4，[90，100]之間的2個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個(gè).

其中，至少有一份在[90，100]之間的基本事件有9個(gè).

故至少有一份分?jǐn)?shù)在[90，100]之間的概率是=0.6.

試題評(píng)價(jià)：本題“一題兩圖”，難度雖然不大，綜合性卻很強(qiáng)，體現(xiàn)了當(dāng)下高考對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的要求，值得細(xì)細(xì)品味.

四、考查總體特征值的估計(jì)、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題4.（理科）中華人民共和國(guó)《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)的行為分成兩個(gè)檔次：“酒后駕車(chē)”和“醉酒駕車(chē)”，其檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡(jiǎn)稱(chēng)血酒含量，單位是毫克/100毫升），當(dāng)20≤Q≤80時(shí)，為酒后駕車(chē)；當(dāng)Q>80時(shí)，為醉酒駕車(chē).某市公安局交通管理部門(mén)于2014年2月的某天晚上8點(diǎn)至11點(diǎn)在市區(qū)設(shè)點(diǎn)進(jìn)行一次攔查行動(dòng)，共依法查出了60名飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測(cè)后所得結(jié)果畫(huà)出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數(shù)計(jì)入120≤Q<140人數(shù)之內(nèi)）.

（1）求此次攔查中醉酒駕車(chē)的人數(shù)；

（2）從違法駕車(chē)的60人中按酒后駕車(chē)和醉酒駕車(chē)?yán)梅謱映闃映槿?人做樣本進(jìn)行研究，再?gòu)某槿〉?人中任取3人，求3人中含有醉酒駕車(chē)人數(shù)的分布列和期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機(jī)變量“融為一體”，著力考查考生的實(shí)際應(yīng)用能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

解題思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車(chē)的人數(shù)為15人

（2）易知利用分層抽樣抽取8人中含有醉酒駕車(chē)者為2人；所以x的所有可能取值為0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列為：

E（X）=0×+1×+2×=.

命題評(píng)價(jià)：本題以當(dāng)今社會(huì)的熱點(diǎn)問(wèn)題“酒后駕車(chē)”和“醉酒駕車(chē)”為切入口，雖然難度不大，卻富有深刻的社會(huì)意義，值得一練.

五、綜合考查對(duì)莖葉圖的理解和應(yīng)用，隨機(jī)概率的計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題5.（理科）空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5 （單位：g/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個(gè)值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重：

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（Ⅰ）根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說(shuō)明理由）

（Ⅱ）在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類(lèi)別均為優(yōu)或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，設(shè)X為空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的天數(shù)，X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

命題意圖：將多個(gè)考點(diǎn)交匯在一題中，以達(dá)到“一題多考”與“綜合考查”的目的.

解題思路：

（Ⅰ）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布，估計(jì)甲城市空氣質(zhì)量總體較好.

（Ⅱ）甲城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的共有10天，任取1天，空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的概率為=；乙城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的共有5天，任取1天，空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的概率為=；在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類(lèi)別均為優(yōu)或良的概率為×=.

（Ⅲ）X的取值為0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列為：

數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×=.

試題評(píng)價(jià)：本題關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，突出試題的社會(huì)價(jià)值，同時(shí)將概率與統(tǒng)計(jì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，是一道內(nèi)涵豐富的好試題.

六、借助頻率分布直方圖，綜合考查樣本估計(jì)總體的應(yīng)用，以及隨機(jī)概率的計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題6.（理科）在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類(lèi)志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí). 某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人.

（I）求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；

（II）若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機(jī)變量“融為一體”，著力考查考生的實(shí)際應(yīng)用能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

解題思路：

（I）因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場(chǎng)有10÷0.25=40人.

所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為：

.

=2.9.

（Ⅲ）設(shè)兩人成績(jī)之和為，則的值可以為16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列為：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的數(shù)學(xué)期望為.

試題評(píng)價(jià)：本題背景新穎，將自主招生與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合在一起，體現(xiàn)試題的時(shí)代性與概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)用性，本題難度中等，無(wú)論從試題的思想性，還是難易程度，都符合新課標(biāo)高考的要求.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint

解題思路：

（1）分?jǐn)?shù)在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，

由莖葉圖知：分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為=25.

（2）分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4；

頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為÷10=0.016.

（3）將[80，90）之間的4個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為1，2，3，4，[90，100]之間的2個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個(gè).

其中，至少有一份在[90，100]之間的基本事件有9個(gè).

故至少有一份分?jǐn)?shù)在[90，100]之間的概率是=0.6.

試題評(píng)價(jià)：本題“一題兩圖”，難度雖然不大，綜合性卻很強(qiáng)，體現(xiàn)了當(dāng)下高考對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的要求，值得細(xì)細(xì)品味.

四、考查總體特征值的估計(jì)、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題4.（理科）中華人民共和國(guó)《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)的行為分成兩個(gè)檔次：“酒后駕車(chē)”和“醉酒駕車(chē)”，其檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡(jiǎn)稱(chēng)血酒含量，單位是毫克/100毫升），當(dāng)20≤Q≤80時(shí)，為酒后駕車(chē)；當(dāng)Q>80時(shí)，為醉酒駕車(chē).某市公安局交通管理部門(mén)于2014年2月的某天晚上8點(diǎn)至11點(diǎn)在市區(qū)設(shè)點(diǎn)進(jìn)行一次攔查行動(dòng)，共依法查出了60名飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測(cè)后所得結(jié)果畫(huà)出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數(shù)計(jì)入120≤Q<140人數(shù)之內(nèi)）.

（1）求此次攔查中醉酒駕車(chē)的人數(shù)；

（2）從違法駕車(chē)的60人中按酒后駕車(chē)和醉酒駕車(chē)?yán)梅謱映闃映槿?人做樣本進(jìn)行研究，再?gòu)某槿〉?人中任取3人，求3人中含有醉酒駕車(chē)人數(shù)的分布列和期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機(jī)變量“融為一體”，著力考查考生的實(shí)際應(yīng)用能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

解題思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車(chē)的人數(shù)為15人

（2）易知利用分層抽樣抽取8人中含有醉酒駕車(chē)者為2人；所以x的所有可能取值為0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列為：

E（X）=0×+1×+2×=.

命題評(píng)價(jià)：本題以當(dāng)今社會(huì)的熱點(diǎn)問(wèn)題“酒后駕車(chē)”和“醉酒駕車(chē)”為切入口，雖然難度不大，卻富有深刻的社會(huì)意義，值得一練.

五、綜合考查對(duì)莖葉圖的理解和應(yīng)用，隨機(jī)概率的計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題5.（理科）空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5 （單位：g/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個(gè)值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重：

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（Ⅰ）根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說(shuō)明理由）

（Ⅱ）在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類(lèi)別均為優(yōu)或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，設(shè)X為空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的天數(shù)，X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

命題意圖：將多個(gè)考點(diǎn)交匯在一題中，以達(dá)到“一題多考”與“綜合考查”的目的.

解題思路：

（Ⅰ）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布，估計(jì)甲城市空氣質(zhì)量總體較好.

（Ⅱ）甲城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的共有10天，任取1天，空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的概率為=；乙城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的共有5天，任取1天，空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的概率為=；在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類(lèi)別均為優(yōu)或良的概率為×=.

（Ⅲ）X的取值為0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列為：

數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×=.

試題評(píng)價(jià)：本題關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，突出試題的社會(huì)價(jià)值，同時(shí)將概率與統(tǒng)計(jì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，是一道內(nèi)涵豐富的好試題.

六、借助頻率分布直方圖，綜合考查樣本估計(jì)總體的應(yīng)用，以及隨機(jī)概率的計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題6.（理科）在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類(lèi)志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí). 某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人.

（I）求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；

（II）若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機(jī)變量“融為一體”，著力考查考生的實(shí)際應(yīng)用能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

解題思路：

（I）因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場(chǎng)有10÷0.25=40人.

所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為：

.

=2.9.

（Ⅲ）設(shè)兩人成績(jī)之和為，則的值可以為16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列為：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的數(shù)學(xué)期望為.

試題評(píng)價(jià)：本題背景新穎，將自主招生與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合在一起，體現(xiàn)試題的時(shí)代性與概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)用性，本題難度中等，無(wú)論從試題的思想性，還是難易程度，都符合新課標(biāo)高考的要求.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint

解題思路：

（1）分?jǐn)?shù)在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，

由莖葉圖知：分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為=25.

（2）分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4；

頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為÷10=0.016.

（3）將[80，90）之間的4個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為1，2，3，4，[90，100]之間的2個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個(gè).

其中，至少有一份在[90，100]之間的基本事件有9個(gè).

故至少有一份分?jǐn)?shù)在[90，100]之間的概率是=0.6.

試題評(píng)價(jià)：本題“一題兩圖”，難度雖然不大，綜合性卻很強(qiáng)，體現(xiàn)了當(dāng)下高考對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的要求，值得細(xì)細(xì)品味.

四、考查總體特征值的估計(jì)、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題4.（理科）中華人民共和國(guó)《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)的行為分成兩個(gè)檔次：“酒后駕車(chē)”和“醉酒駕車(chē)”，其檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡(jiǎn)稱(chēng)血酒含量，單位是毫克/100毫升），當(dāng)20≤Q≤80時(shí)，為酒后駕車(chē)；當(dāng)Q>80時(shí)，為醉酒駕車(chē).某市公安局交通管理部門(mén)于2014年2月的某天晚上8點(diǎn)至11點(diǎn)在市區(qū)設(shè)點(diǎn)進(jìn)行一次攔查行動(dòng)，共依法查出了60名飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車(chē)者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測(cè)后所得結(jié)果畫(huà)出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數(shù)計(jì)入120≤Q<140人數(shù)之內(nèi)）.

（1）求此次攔查中醉酒駕車(chē)的人數(shù)；

（2）從違法駕車(chē)的60人中按酒后駕車(chē)和醉酒駕車(chē)?yán)梅謱映闃映槿?人做樣本進(jìn)行研究，再?gòu)某槿〉?人中任取3人，求3人中含有醉酒駕車(chē)人數(shù)的分布列和期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機(jī)變量“融為一體”，著力考查考生的實(shí)際應(yīng)用能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

解題思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車(chē)的人數(shù)為15人

（2）易知利用分層抽樣抽取8人中含有醉酒駕車(chē)者為2人；所以x的所有可能取值為0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列為：

E（X）=0×+1×+2×=.

命題評(píng)價(jià)：本題以當(dāng)今社會(huì)的熱點(diǎn)問(wèn)題“酒后駕車(chē)”和“醉酒駕車(chē)”為切入口，雖然難度不大，卻富有深刻的社會(huì)意義，值得一練.

五、綜合考查對(duì)莖葉圖的理解和應(yīng)用，隨機(jī)概率的計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題5.（理科）空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5 （單位：g/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個(gè)值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重：

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（Ⅰ）根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說(shuō)明理由）

（Ⅱ）在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類(lèi)別均為優(yōu)或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，設(shè)X為空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的天數(shù)，X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

命題意圖：將多個(gè)考點(diǎn)交匯在一題中，以達(dá)到“一題多考”與“綜合考查”的目的.

解題思路：

（Ⅰ）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布，估計(jì)甲城市空氣質(zhì)量總體較好.

（Ⅱ）甲城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的共有10天，任取1天，空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的概率為=；乙城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的共有5天，任取1天，空氣質(zhì)量類(lèi)別為優(yōu)或良的概率為=；在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類(lèi)別均為優(yōu)或良的概率為×=.

（Ⅲ）X的取值為0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列為：

數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×=.

試題評(píng)價(jià)：本題關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，突出試題的社會(huì)價(jià)值，同時(shí)將概率與統(tǒng)計(jì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，是一道內(nèi)涵豐富的好試題.

六、借助頻率分布直方圖，綜合考查樣本估計(jì)總體的應(yīng)用，以及隨機(jī)概率的計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

預(yù)測(cè)題6.（理科）在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類(lèi)志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí). 某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人.

（I）求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；

（II）若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機(jī)變量“融為一體”，著力考查考生的實(shí)際應(yīng)用能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

解題思路：

（I）因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場(chǎng)有10÷0.25=40人.

所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為：

.

=2.9.

（Ⅲ）設(shè)兩人成績(jī)之和為，則的值可以為16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列為：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的數(shù)學(xué)期望為.

試題評(píng)價(jià)：本題背景新穎，將自主招生與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合在一起，體現(xiàn)試題的時(shí)代性與概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)用性，本題難度中等，無(wú)論從試題的思想性，還是難易程度，都符合新課標(biāo)高考的要求.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)endprint