穆 昌，姚俊良

(1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 咸陽 712000;2.西安理工大學(xué)，西安 710048)

1 引言

作為盲源分離技術(shù)最重要的分支，獨立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)已經(jīng)越來越受到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注［1－4］。目前ICA技術(shù)已成功應(yīng)用于雷達信號、腦電信號、音頻信號等信號處理領(lǐng)域，但對通信信號的處理才剛剛起步，這主要受限于通信信號對信號處理速度和處理能力的高要求。隨著ICA和信號處理技術(shù)的不斷發(fā)展，ICA已經(jīng)開始應(yīng)用于通信接收機［5－6］和無線網(wǎng)絡(luò)協(xié)議設(shè)計［7］。

A.Hyvarinen提出的快速固定點算法 FastICA［8］是一種批處理算法，它以收斂速度快、算法穩(wěn)定收斂而備受關(guān)注。在順序提取各個獨立分量(IC)的One－unit FastICA算法中，作者通過使每次分離向量相互正交來保證每次分離出不同分量，但它每次迭代都是對所有混合數(shù)據(jù)進行的，存在算法復(fù)雜度高的缺點。而并行提取獨立分量的FastICA算法［9］只是算法的不同執(zhí)行形式，本質(zhì)上并沒有降低算法計算復(fù)雜度。文獻［10］提出一種針對實信號的降低復(fù)雜度方法，無法適用于通信復(fù)信號。

針對通信系統(tǒng)對處理時間的高要求和現(xiàn)有ICA算法的一些缺點，在經(jīng)典One－unit FastICA算法基礎(chǔ)上，我們結(jié)合多用戶檢測(Multiuser Detection，MUD)的串行干擾抵消思想，提出了一種基于多用戶檢測的快速定點算法(MUD_FastICA)。與FastICA相比，該算法在更低維的數(shù)據(jù)空間中進行迭代，因此有更好的收斂速度和更低的算法復(fù)雜度。仿真結(jié)果證明了所提算法的有效性。

2 獨立分量分析－ICA

2.1 信號模型和定義

我們先給出ICA的線性混合模型如下:

其中，t是樣本標(biāo)號，

表示隨機變量的m個觀測，也稱為混合信號;

表示n個非高斯的獨立成分，也稱為源信號;A表示未知的混合矩陣;

表示接收天線加性高斯噪聲。為了表述的方便，在本文的后面敘述中省略了時間變量t。

ICA的目的就是在僅能觀測到x的情況下同時估計出A和s。這個目的看起來很有挑戰(zhàn)性，我們能利用的所有信息只有s的統(tǒng)計獨立性。由s的統(tǒng)計獨立性可以將ICA表述為尋找一個線性變換:

式中，y(t)=［y1(t)，y2(t)，…，yn(t)］T為經(jīng)過線性變換后的輸出分量，也稱為分離信號;W=［w1，w2，…，wn］為m×n的矩陣，通常稱為分離矩陣。因此ICA的目標(biāo)就是尋找wi，使得y的各個分量盡可能獨立。

2.2 獨立性衡量

在非高斯統(tǒng)計獨立源信號的盲源分離中，通常采用非高斯性來衡量變量的獨立性。如果暫時忽略噪聲的影響，將公式(1)代入公式(2)可得

3 MUD_FastICA算法

ICA算法一般包含兩部分:代價函數(shù)和對代價函數(shù)進行的優(yōu)化算法。因為通信信號大多為亞高斯信號，在本文中我們利用峭度作為代價函數(shù)來衡量分離信號的非高斯性。

構(gòu)造一個基于峭度的代價函數(shù):

其中

3.1 FastICA

考慮到通信信號一般為復(fù)信號，系統(tǒng)模型中假設(shè)源信號s、混合矩陣A、噪聲信號N都是復(fù)信號。對代價函數(shù)(公式(4))應(yīng)用固定點優(yōu)化算法，可以得到文獻［7］的經(jīng)典算法FastICA，算法具體過程如下:

(1)對觀測信號x進行白化處理

其中，Q為白化矩陣，且令i=1;

(2)隨機選取一個單位模值初始向量w;

(3)w+=E{z(wHz)*|wHz|2}－2E{|wHz|2}w;

(4)計算 w+=w+－BBHw+=(I－BBH)w+，wnew=w+/‖w+‖;

z表示混合信號x的白化信號。上述算法執(zhí)行一次，則可以輸出一個w，即分離出一個源信號。因此要分離n個源信號，算法必須執(zhí)行n次。步驟4中矩陣B是由已分離信號的分離向量w組成，第一個表達式的目的是使本次迭代得出的w與B中各分量正交，這可以保證算法每次分離出不同的源信號。

3.2 MUD_FastICA

FastICA具有很好的收斂性和算法穩(wěn)定性，和其他批處理算法相比有較好的分離性能，并且不需要選取迭代步長來保證收斂，但算法的每次執(zhí)行都是對所有混合數(shù)據(jù)進行處理，使得每次迭代的計算復(fù)雜度都很高。為了更加適合通信系統(tǒng)的要求，有必要降低計算復(fù)雜度來縮短算法執(zhí)行的時間。我們通過引入多用戶檢測串行干擾抵消的思想，提出了可以顯著降低算法計算復(fù)雜度的MUD_FastICA算法，算法的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 MUD_FastICA算法的結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of MUD_FastICA algorithm

算法的基本思想是先利用One－unit FastICA算法分離出一路信號(比如s1)，再將s1從原混合信號中減去以形成新混合信號，對新混合信號重新白化后，重復(fù)上述過程，直到分離出所有信號。這個過程類似于多用戶檢測接收，因此命名為MUD_FastICA。

如果第i個分離信號yi=s1，原混合數(shù)據(jù)用zi表示，新混合數(shù)據(jù)用z'i表示，則

冪等矩陣有一個很重要的性質(zhì):所有冪等矩陣的秩與跡相等［9］，由這個性質(zhì)可得

從公式(6)可以發(fā)現(xiàn)，新混合數(shù)據(jù)z'i的維數(shù)比原混合數(shù)據(jù)zi小1。這樣，通過公式(5)的減法運算降低了混合數(shù)據(jù)的維數(shù)。

在執(zhí)行One－unit FastICA之前，需要對混合數(shù)據(jù)進行白化預(yù)處理，如果每次都對混合數(shù)據(jù)z'i執(zhí)行白化，則構(gòu)造白化矩陣的算法復(fù)雜度為O(T)，其中T為樣本數(shù)目。我們對PPH進行特征值分解:PPH=EDEH，令 Q=D－1/2EH，則

因此Q為新混合數(shù)據(jù)的白化矩陣。上述方法構(gòu)造白化矩陣只需要進行低維特征值分解，其算法復(fù)雜度為O((n－i)3)，nT。因此新的白化數(shù)據(jù)zi+1可以表示為

綜上所述，利用圖1所示的結(jié)構(gòu)，具有如下優(yōu)點:一是保證每次分離出不同的獨立分量;二是使混合信號的維數(shù)不斷降低;三是僅利用前次的分離向量來構(gòu)造白化矩陣。

MUD_FastICA算法的具體過程如下:

(1)隨機選取一個單位模值初始向量w;

(2)w+=E{z(wHz)*|wHz|2}－2E{|wHz|2}w;

(3)wnew=w+/‖w+‖;

(6)令 Q=D－1/2EH，z=QPz，返回步驟 1 繼續(xù)執(zhí)行。

3.3 算法計算復(fù)雜度分析

下面分析兩種算法的計算復(fù)雜度，如果將一次乘法或一次加法的計算復(fù)雜度記為1，兩種算法的計算復(fù)雜度比較見表1。

表1 兩種算法分離第i+1個獨立分量的計算復(fù)雜度Table 1 Computation complexity of two algorithms for separating(i+1)th independent component

在表1中，正交化過程表示為了保證第i+1個分離信號的唯一性所需要的計算單位，第二項表示利用固定點算法分離第i+1個分量所需的計算單位，其中n和T的含義如前所述，分別表示獨立分量的個數(shù)和采樣數(shù)目，k表示算法收斂所需的迭代次數(shù)。

4 仿真和結(jié)果分析

下面通過兩組仿真來驗證所提的算法，同時選取FastICA算法作為對照:第一組對兩種算法隨著信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)的變化，分離所有信號的平均干信比(Interference Signal Ratio，ISR)和平均迭代次數(shù)進行仿真;第二組給出兩種算法平均迭代次數(shù)和計算復(fù)雜度。

兩組仿真的源信號都是調(diào)制方式為16QAM、32QAM、QPSK、8PSK的4個通信信號。接收端采用六陣元的等距線陣，混合矩陣A取值服從獨立復(fù)高斯分布，這在散射體豐富的無線環(huán)境下是滿足的。利用奈奎斯特采樣獲得的樣本數(shù)量T=2000，為了保證算法收斂的精度，預(yù)設(shè)門限α=10－7，仿真結(jié)果是對2000次仿真運行取平均所得，可以達到統(tǒng)計平均的目的。

第一組:隨著輸入信噪比的變化，兩種算法的平均分離性能和平均迭代次數(shù)比較。

在仿真中，分離性能用分離信號的ISR來表示，ISR定義為

式中，G的含義同公式(3)。

圖2給出分離信號平均ISR隨信噪比的變化曲線，兩種算法分離信號的ISR相差不大，但FastICA要略好于MUD_FastICA，這是由FastICA的高復(fù)雜度換取的。圖3給出平均迭代次數(shù)隨信噪比的變化曲線，隨著信噪比的增大，兩種算法所需迭代次數(shù)都呈下降趨勢。從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)信噪比大于10dB時，平均迭代次數(shù)趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后MUD_FastICA分離一路信號平均只需要4.6次迭代，而FastICA需要5.1次。

圖2 平均ISR隨信噪比的變化Fig.2 Average ISR vs.SNR

圖3 平均迭代次數(shù)隨信噪比的變化Fig.3 Number of average iterations vs.SNR

第二組:分離信號計算復(fù)雜度比較，輸入信噪比SNR=0dB。

圖4給出平均迭代次數(shù)隨分離信號次序的變化曲線，可以看出MUD_FastICA算法所需的迭代次數(shù)要少于FastICA，特別是隨著分離信號的增多，優(yōu)勢越來越明顯，這是因為前者每分離一路信號，剩余混合信號的維數(shù)都會減1，因此收斂速度會加快。FastICA是在已分離向量的正交空間進行迭代，因此隨著分離信號的增多，其迭代次數(shù)也呈下降趨勢，但由于每次都要對高維的混合數(shù)據(jù)進行處理，因此所需迭代次數(shù)還是要多于MUD_FastICA。

圖4 迭代次數(shù)隨分離信號次序的變化Fig.4 Number of iterations vs.the separation order

圖5給出兩種算法的所需計算單位隨分離信號次序的變化曲線。從圖中可以看出，MUD_FastICA所需的計算單位都要明顯小于FastICA，這是由于隨著分離信號的增多，MUD_FastICA所需迭代次數(shù)和每次迭代的計算復(fù)雜度都要小于FastICA。圖中最后一個分離信號看似FastICA下降比較快，其實它下降的比例遠小于MUD_FastICA。

圖5 所需計算單元隨分離信號次序的變化Fig.5 Computing units vs.the separation order

5 結(jié)束語

本文提出一種基于多用戶檢測串行干擾抵消的新型順序提取ICA算法MUD_FastICA。該算法利用簡單的減法和低維特征值分解來達到每次分離不同獨立分量和降低算法復(fù)雜度的目的，相對于傳統(tǒng)FastICA算法，MUD_FastICA在基本不影響分離性能的前提下，顯著降低了算法的迭代次數(shù)和計算復(fù)雜度，減少了算法執(zhí)行的時間，滿足無線通信對實時性越來越高的要求。針對本課題的研究內(nèi)容，下一步工作將重點解決算法分離信號的順序模糊性，以及串行算法帶來的誤差累積問題，為獨立分量分析技術(shù)的應(yīng)用和普及奠定理論基礎(chǔ)。

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