任嬋嬋，張文娟，肖海林，李民政

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，廣西 桂林 541004)

1 引言

多基站協(xié)作通信能夠有效消除小區(qū)間的共信道干擾(CCI)，從而改善系統(tǒng)的頻譜效率。文獻(xiàn)［1］研究了在異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中基站協(xié)作的資源分配問題，使系統(tǒng)的傳輸速率得到極大的提高。文獻(xiàn)［2］在上行系統(tǒng)中分析了真實(shí)信道條件下的協(xié)作可以顯著提高抗干擾能力。文獻(xiàn)［3］在基站協(xié)作MIMO蜂窩系統(tǒng)中，假設(shè)所有用戶速率相等，通過不同基站協(xié)作通信得到傳輸功率下界，利用固有波束成形方案得到傳輸功率上界，進(jìn)而得到容量界限。

波束成形作為多基站協(xié)作通信的關(guān)鍵技術(shù)，在已知信道狀態(tài)信息(CSI)的情況下，能夠有效地改善小區(qū)邊緣用戶的性能及公平性［4］。文獻(xiàn)［5］聯(lián)合利用預(yù)編碼與波束成形算法消除小區(qū)間的干擾，所提算法雖然使用戶的計(jì)算復(fù)雜度減小，但是也相應(yīng)的降低了系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)［6－7］均是在MISO系統(tǒng)下對(duì)協(xié)作波束成形算法進(jìn)行研究。文獻(xiàn)［6］在基站功率受限的情況下求得最優(yōu)波束向量，同時(shí)也提高邊緣用戶的傳輸速率，但發(fā)射天線多于兩根時(shí)，系統(tǒng)性能會(huì)大大下降。文獻(xiàn)［7］研究了在傳輸速率中斷概率給定的條件下，使系統(tǒng)效用函數(shù)最大化，但未考慮算法復(fù)雜度問題。文獻(xiàn)［8］提出了基于對(duì)角化迫零波束成形算法，但算法本身也受天線數(shù)目的限制，且天線數(shù)量增多時(shí)其性能不能保證。

針對(duì)以上問題，本文提出了基于博弈論的波束成形算法，該算法的性能與天線數(shù)目無關(guān)，且計(jì)算復(fù)雜度也較小。此外，利用該算法不僅使小區(qū)效用達(dá)到最大，而且達(dá)到了抑制小區(qū)間干擾的目的。

2 系統(tǒng)模型

協(xié)作波束成形通信系統(tǒng)模型如圖1所示，此模型為由N個(gè)小區(qū)組成的下行系統(tǒng)，每個(gè)基站有M根發(fā)射天線。每個(gè)小區(qū)內(nèi)均勻分布著多個(gè)用戶，為減少用戶多天線尺寸問題造成信號(hào)相關(guān)性帶來的系統(tǒng)復(fù)雜度，假設(shè)所有用戶為單天線。為驗(yàn)證基于博弈論的波束成形算法干擾抑制的可行性和簡化系統(tǒng)模型，不失一般性，每個(gè)小區(qū)選取一個(gè)邊緣用戶作為研究對(duì)象［9］。協(xié)作的基站通過骨干網(wǎng)連接到中央控制器，中央控制器負(fù)責(zé)處理共享的信道狀態(tài)信息。

圖1 協(xié)作波束成形通信系統(tǒng)模型Fig.1 Cooperative beamforming communication system model

假設(shè)基站i發(fā)送有用信號(hào)給本小區(qū)的邊緣用戶i，則第i個(gè)小區(qū)中的用戶接收到的信號(hào)為

式中，第一項(xiàng)為有用信號(hào)，第二項(xiàng)為其他小區(qū)對(duì)第i個(gè)用戶的干擾信號(hào)，ni表示均值為0、方差為σ2i的加性高斯白噪聲(AWGN)，hi，j表示基站j到用戶i的瑞利衰落系數(shù)，H表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，wi表示基站i的波束向量，xi表示基站i的發(fā)射信號(hào)。

由于各個(gè)基站的CSI已經(jīng)共享，可得用戶i的信干噪比(SINR)為

式(2)中，波束向量wi應(yīng)滿足

其中，Pi表示基站i的發(fā)射功率，υi表示波束的方向向量。聯(lián)合式(2)和式(3)，用戶i接收的信干噪比還可以描述為

在已知用戶信干噪比的條件下，可得用戶i的速率為

以最大化用戶速率為目標(biāo)，優(yōu)化問題可建模為

同時(shí)，各基站的發(fā)射功率與波束向量應(yīng)滿足

3 基于博弈論的波束成形算法

為優(yōu)化多基站協(xié)作下的波束向量，首先，在式(5)的基礎(chǔ)上建立波束成形的博弈論模型;其次，在納什均衡存在且唯一的前提下，求得算法的納什均衡。

3.1 博弈論算法

博弈論算法是滿足個(gè)體最優(yōu)的優(yōu)化算法［10］。博弈論算法中包含3個(gè)要素:參與者集合、策略空間和效用函數(shù)。

(1)參與者集合

參與者包括所有的博弈方，由于假設(shè)所有的參與者均是理性的，所以各個(gè)博弈方均以獲取最大利益為目標(biāo)。設(shè)定各個(gè)小區(qū)為參與者，可得參與者集合為

(2)策略空間

博弈論的策略空間中包含每個(gè)參與者可供選擇的策略集，參與者是同時(shí)選擇策略的，即每一個(gè)參與者在選擇策略時(shí)并不知道其他參與者的選擇。以第i個(gè)基站發(fā)射的波束向量wi為具體策略，以Wi表示第i個(gè)基站參加策略的策略集，兩者的關(guān)系可以表示為

(3)效用函數(shù)

在博弈論算法中，效用函數(shù)是衡量性能好壞的依據(jù)，反應(yīng)了參與者能夠獲得的利益。假設(shè)(w1，w2，…，wN)表示每個(gè)基站選定一個(gè)策略后形成的策略組合，則用ui(w1，w2，…，wN)表示所有基站選擇策略(w1，w2，…，wN)時(shí)第 i個(gè)基站的效用。由于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方向與效用函數(shù)的增長方向是一致的，則效用函數(shù)可表示為

其中，uobj=lb(1+ri)，i=1，2，…，N 表示目標(biāo)函數(shù)，uprice=μPi，i=1，2，…，N 為價(jià)格函數(shù)，表示基站要付出的代價(jià)，其中μ為常數(shù)。

綜上所述，利用博弈論算法解決波束成形問題可建模如下:

為了使目標(biāo)函數(shù)最大化，需最大化效用函數(shù)，即

由于效用函數(shù)是關(guān)于基站的發(fā)射功率Pi的函數(shù)，對(duì)Pi求導(dǎo)可得

由式(14)可知，各個(gè)基站的可選策略應(yīng)該是連續(xù)型的，則可以利用一定規(guī)則求得一個(gè)納什均衡。納什均衡是博弈論的一種解的形式，因此在求得納什均衡之前，首先證明它的存在性與唯一性。

3.2 納什均衡

定理1:在所提的博弈G中，波束成形算法一定存在納什均衡。

證明:納什均衡存在的充分必要條件為［11］:

(1)Pi是在歐式空間上的子集，且滿足非空，有界閉集以及凸集;

(2)ui在P上連續(xù)，且在Pi處二次擬凹。

根據(jù)實(shí)際意義，Pi不可能為空，而且滿足0≤Pi≤，所以Pi是有界的閉集。由于在歐式空間中，單點(diǎn)為一個(gè)凸集，所以Pi也是一個(gè)凸集。

因?yàn)閿M凹函數(shù)與凸函數(shù)是等價(jià)的，所以只需證明ui是關(guān)于Pi的凸函數(shù)即可。在式(13)的基礎(chǔ)上可得二階導(dǎo)數(shù)為

由式(15)可知，效用函數(shù)ui在P上連續(xù)，在Pi處擬凹，故基于博弈論的波束成形算法存在納什均衡。

定理2:若利用基于博弈論的波束成形算法得到最優(yōu)效用函數(shù)的一個(gè)納什均衡，則此納什均衡是唯一的。

證明:納什均衡唯一的充要條件是滿足函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)［12］。標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)在Pj≥0的情況下，應(yīng)該同時(shí)滿足正性、單調(diào)性及可延性3個(gè)條件。

(1)正性，即 g(Pj)＞0

當(dāng)假設(shè)系統(tǒng)可行時(shí)，可知ui＞0，即滿足lb(1+ri)＞μPi，則有 ΛPi=ri＞lb(1+ri)＞μPi，又已知 Pi＞0，所以。根據(jù)上文分析，c為大于1的常數(shù)，所以函數(shù)滿足正性，即

(2)單調(diào)性，即假設(shè) Pj≥P'j時(shí)，g(Pj)≥g(P'j)或g(Pj)≤g(P'j)

在 Pj≥P'j的假設(shè)下，可得 Λ(Pj)≤Λ(P'j)，判斷函數(shù)g(Pj)的單調(diào)性，對(duì)其做差為

由式(17)可知，函數(shù)g(Pj)滿足單調(diào)性。

(3)可延性，即對(duì)所有 α＞1，有 αg(Pj)＞g(αPj)

式(18)表示當(dāng) α＞1 時(shí)，滿足 αg(Pj)＞g(αPj)，即函數(shù)具有可延性。

通過以上三點(diǎn)，證明了函數(shù)g(Pj)為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，同時(shí)也說明算法存在唯一的納什均衡。下面利用求解納什均衡的方法求出此唯一解。

在博弈的過程中，一方參與者所選策略是由其他參與者上一時(shí)刻的策略決定的。在此博弈G中，若策略組合(w1，w2，…，wN)滿足對(duì)每一個(gè)小區(qū) i，是其他N－1個(gè)小區(qū)所選策略()的最優(yōu)反應(yīng)策略，此時(shí)就達(dá)到了各個(gè)小區(qū)不愿背離的平衡態(tài)，那么()就是所要求的納什均衡，即

對(duì)所有集合Wi中的元素wi都成立，亦即是以下問題的解:

3.3 求解納什均衡的步驟

(1)初始化。記 w=(w1，w2，…，wN)，取 k=0時(shí)刻，給出初始化策略組合w(0)=(w1(0)，w2(0)，…，wN(0));

(2)更新。記 w－i=(w1，…，wi－1，wi+1，…，wN)以最大化ui為目標(biāo)，利用k時(shí)刻的策略組合w－i(k)更新小區(qū)i在k+1時(shí)刻的波束向量，得到新的策略組合w(k+1);

(3)判斷。假設(shè)ε是一個(gè)很小的數(shù)，判斷公式‖ui(k)－ui(k－1)‖＜ε是否滿足，若不滿足，則跳到步驟2;若滿足，則最佳策略w*=w(k)。

4 仿真分析

首先給出波束方向圖，在假設(shè)用戶方向已知的情況下，驗(yàn)證算法的可行性;其次，給出效用函數(shù)的迭代過程，驗(yàn)證算法的收斂性。仿真中，基站的天線數(shù)M=4，每個(gè)用戶配備單根天線，基站到用戶的信道矩陣是均值為0、方差為1的復(fù)高斯隨機(jī)變量，價(jià)格因子μ=0.4，波長是天線陣元間距的2倍，判決系數(shù) ε 取值為10－7。

圖2為3個(gè)基站協(xié)作時(shí)的波束方向圖性能比較。其中，非協(xié)作算法指文獻(xiàn)［13］中提到的波束向量選取方法，其波束向量為仿真中，設(shè)置本小區(qū)的用戶方向?yàn)?0°，相鄰小區(qū)的干擾用戶的方向分別為－150°、120°。從圖中可以看出，相對(duì)于文獻(xiàn)［13］中提到的非協(xié)作算法，所提出的基于博弈論的波束成形算法實(shí)現(xiàn)了在期望用戶方向上得到較高的增益，在干擾用戶方向上增益明顯減小，體現(xiàn)出算法良好的性能。

圖2 三基站協(xié)作時(shí)的波束方向圖性能比較Fig.2 Beam pattern performance comparison of three base stations cooperation

圖3為4個(gè)基站協(xié)作時(shí)的波束方向圖性能比較。仿真中，同樣的設(shè)置本小區(qū)的用戶方向?yàn)?0°，相鄰小區(qū)的干擾用戶的方向分別為－150°、－60°、120°。在與圖2相同的約束下，由圖3可知，當(dāng)協(xié)作基站數(shù)目增大后，基于博弈論的波束成形算法仍可以使本小區(qū)的有用信號(hào)增強(qiáng)，使相鄰小區(qū)的干擾信號(hào)減弱，達(dá)到了理想的效果，而非協(xié)作算法對(duì)所需抑制干擾的方向偏離更加嚴(yán)重。

圖3 四基站協(xié)作時(shí)的波束方向圖性能比較Fig.3 Beam pattern performance comparison of four base stations cooperation

圖4給出了3個(gè)基站協(xié)作時(shí)3個(gè)小區(qū)效用函數(shù)的收斂曲線。設(shè)置期望用戶方向?yàn)?0°，干擾用戶方向分別為－150°、120°。小區(qū)效用的每一步迭代均是相對(duì)于其他小區(qū)上一步策略的最優(yōu)反應(yīng)策略，從圖中可以看出，3個(gè)小區(qū)的效用逐漸增大直至達(dá)到最大值，進(jìn)一步驗(yàn)證了算法的收斂性。

圖4 不同小區(qū)的效用函數(shù)Fig.4 Utility function of different cells

5 結(jié)束語

波束成形技術(shù)是小區(qū)間干擾管理的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)，為最大化用戶速率，本文提出了基于博弈論的波束成形算法，將此問題轉(zhuǎn)化為求解納什均衡的過程，并證明了納什均衡的存在性和唯一性，最后求解出此納什均衡。所提算法是一種使自身利益達(dá)到最大化的優(yōu)化算法，故適用于個(gè)體最優(yōu)化系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明，在協(xié)作基站數(shù)目增多時(shí)，基于博弈論的波束成形算法仍然能夠很好地減小相鄰小區(qū)干擾用戶的影響。此外，該算法具有很好的收斂性，在博弈的過程中，全部小區(qū)的效用均達(dá)到了相對(duì)最大值。在今后的工作中，將進(jìn)一步研究此算法在其他場景中的應(yīng)用。

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