葉挺，朱賽男

(1.南京信息工程大學(xué)中國氣象局氣溶膠與云降水重點開放實驗室，南京 210044;2.南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，南京 210044)

1 引言

自適應(yīng)濾波是現(xiàn)代信號處理的重要組成部分，被廣泛應(yīng)用在自適應(yīng)時間延遲、自適應(yīng)噪聲消除等多個方面。由Widrow和Hoff提出的最小均方誤差算法是自適應(yīng)濾波算法中經(jīng)典、有效的算法之一，結(jié)構(gòu)簡單，計算量少。但是，傳統(tǒng)的固定步長參數(shù)無法在不同應(yīng)用環(huán)境下達(dá)到收斂速度、跟蹤速率和失調(diào)噪聲之間的優(yōu)化折衷。近幾年，人們?yōu)榱私鉀Q這問題，提出了各式各樣的變步長最小均方誤差(Least Mean Square，LMS)濾波算法［1－8］。R.D.Gitlin［1］曾提出了一種變步長自適應(yīng)濾波算法，其步長因子隨著迭代次數(shù)n的增加而逐漸減小，算法簡單，但是只能應(yīng)用在非時變系統(tǒng)中。覃景繁等人［2］根據(jù)步長因子與誤差信號之間的非線性關(guān)系，提出了基于Sigmoid函數(shù)變步長自適應(yīng)濾波算法，該算法具有較高的收斂速度，也可以應(yīng)用在時變系統(tǒng)中，但是在誤差e(n)接近于零處變化太大，不具有緩慢變化的特性。文獻(xiàn)［3］建立了補償因子與誤差函數(shù)之間另一種新的非線性函數(shù)關(guān)系，它比已有Sigmoid函數(shù)簡單且在參數(shù)穩(wěn)定后具有緩慢變化的特性，但是在收斂速度上仍存在不足。

本文針對以上非線性函數(shù)的變步長濾波算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)緩慢變化之間存在的矛盾，提出了一種新的變步長濾波算法，能更好解決加快收斂速度和減少穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾。自適應(yīng)時延估計［9］實驗表明，新算法具有更好的性能。

2 新算法描述

文獻(xiàn)［3］中LMS自適應(yīng)濾波算法的步長更新公式為

考慮到 μ(n)=1－1/(1+exp(－αe(n)2))函數(shù)的形狀和取值范圍，新算法引入調(diào)節(jié)因子P，函數(shù)變?yōu)?/p>

當(dāng)α固定時，函數(shù)的形狀隨 P的變化如圖1所示。

圖1 不同P值情況下函數(shù)的形狀Fig.1 The shape of function with different P value

很明顯，當(dāng)P取較小值時，可以獲得較快的收斂速度，但是達(dá)到零時，步長變化大;當(dāng)P取較大值時，收斂速度慢，但是接近零時，步長變化緩慢，具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差。為了實時地調(diào)節(jié)函數(shù)形狀，獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，令

即可滿足上述的要求。由此得出步長的更新公式為

式中，參數(shù)r為0～1之間的常數(shù)，決定步長接近零時的平滑程度;參數(shù)λ為大于0的常數(shù)，當(dāng)其他參數(shù)確定時，決定步長變化的快慢程度。參數(shù)α、β的設(shè)置與文獻(xiàn)［3］一致，r越小，誤差接近于零時，步長越平滑;λ越大，初始時收斂速度越快。r、λ的具體值可依據(jù)實際情況來設(shè)定。當(dāng)α、β確定時，新算法的步長變化曲線與文獻(xiàn)［3］的比較如圖2所示。

圖2 步長變化曲線Fig.2 Curve for step change γ

圖2可見，根據(jù)實際情況選r、λ取值，新的步長調(diào)整方法較傳統(tǒng)的變步長算法可獲得更快的收斂速度和更平滑的穩(wěn)態(tài)步長。

對于傳統(tǒng)的變步長算法來說，都是以均方誤差來調(diào)整步長的取值，但是均方誤差忽略了獨立噪聲項的影響而很容易導(dǎo)致性能下降。所以，本文用當(dāng)前誤差與上一個的自相關(guān)來控制步長的更新，使得算法更好地接近最佳權(quán)值。所以，新算法的步長更新公式為

3 抗干擾處理

3.1 歸一化處理

系統(tǒng)的失調(diào)與輸入向量x(n)成正比，因此，當(dāng)x(n)較大時，濾波器的失調(diào)噪聲被嚴(yán)重放大［4］。為了解決這個問題，將權(quán)向量失調(diào)相對于輸入向量x(n)的平方歐式范數(shù)進(jìn)行“歸一化”，即以μ(n)/PXX代替μ(n)。在輸入較大范圍的變化時，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，歸一化以后的變步長權(quán)系數(shù)迭代公式為

其中，參數(shù) δ為小的正常數(shù)，它能解決輸入向量x(n)較小時引起的數(shù)值計算問題［5］。

3.2 最大似然加權(quán)抑噪

在自適應(yīng)時延估計算法中，自適應(yīng)濾波器就相當(dāng)于一個相移濾波器，其權(quán)向量的峰值位置即為時延估計值。當(dāng)信噪比很小時，噪聲的存在會導(dǎo)致濾波器權(quán)向量峰值位置的偏移，出現(xiàn)偽峰，影響時延估計的精度。解決的方法是通過對輸入信號加權(quán)來改善信號的信噪比，或?qū)π盘栠M(jìn)行預(yù)白化處理。由文獻(xiàn)［10］可知，Roth加權(quán)法等價于維納濾波，而平滑相干變換(Smooth Coherence Transform，SCOT)加權(quán)在Roth的基礎(chǔ)上考慮到兩個通道的影響;Eckart加權(quán)法是以輸出信噪比最大作為優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)，但是要對信號和噪聲譜進(jìn)行額外的估計，加大了算法的復(fù)雜度;ML加權(quán)函數(shù)對大信噪比頻段給予大的權(quán)值，小信噪比頻段給予小的權(quán)值，從而大大抑制噪聲的影響。所以，本文在變步長LMS算法中對自適應(yīng)濾波器權(quán)向量應(yīng)用最大似然(Maximum Likelihood，ML)加權(quán)，來突出峰值并平滑偽峰，降低噪聲的影響。ML加權(quán)是按輸入信號的信噪比進(jìn)行加權(quán)，其加權(quán)函數(shù)為

將ML加權(quán)函數(shù)表示為兩個自適應(yīng)的Roth處理的組合形式，從而得到加權(quán)后的濾波器權(quán)向量為

在娛樂化老虎的過程中，人們的想象力發(fā)揮了很大作用。前些年大導(dǎo)演李安拍了個片子《少年派的奇幻漂流》，讓我大飽眼福。據(jù)說影片中的虎就是象征“欲念”。但我反復(fù)看了之后，覺得還是別這么深刻理解才好，因為整部影片畫面的華麗美感，遠(yuǎn)遠(yuǎn)蓋過了哲思?xì)庀ⅰ?/p>

其中，傅里葉變換 w12(f，n)=F［w12(n)］，w21(f，n)=F［w21(n)］，w12(n)、w21(n)為傳遞函數(shù)，RML(n)的峰值位置是ML加權(quán)抑噪后時延估計值的3倍。

4 算法仿真結(jié)果與分析

為了驗證新算法的正確性，對上述算法進(jìn)行了自適應(yīng)時延估計仿真實驗。本文算法實驗原理框圖如圖3所示。

圖3 本文算法及ML加權(quán)抑噪的時延估計Fig.3 TDE based on ML－weighted noise suppression and the algorithm in this paper

設(shè)仿真條件:信號s(k)和噪聲n1(k)和n2(k)均為零均值平穩(wěn)隨機(jī)序列，且三者互不相關(guān);參考噪聲輸入為均值為1、方差為1的高斯白噪聲;輸入信號的長度為5000點，固定時延值D=10。自適應(yīng)濾波器的階數(shù)為15。權(quán)向量的初始值為0。

4.1 時間延遲估計

在上述實驗的條件下，分別采用LMS、G_SVSLMS［3］和本文的PG_SVSLMS_ML兩種時延估計方法對固定時延的兩路信號進(jìn)行時延估計。其中固定步長 μ=0.0005，G_SVSLMS 的參數(shù) α =0.5，β=0.01，本文算法的參數(shù)為 α=0.5，β=0.008，γ=0.7，λ=5，SNR=15 dB。圖4和圖5所示為1000次蒙特卡洛實驗結(jié)果的平均值。

由圖4可見，3種方法都可以實現(xiàn)較準(zhǔn)確的時延估計，但是本文提出的新算法可實現(xiàn)更快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。很明顯，LMS的收斂速度最慢，而本文的算法比 G_SVSLMS算法提高了2000次。從圖5可知，本文算法加權(quán)后，權(quán)向量的峰值更加突出，因而具有更好的抗噪性能。仿真結(jié)果表明，本文提出的新算法具有較好的收斂速度和抗噪性能。

圖4 收斂曲線圖Fig.4 Convergence curve

圖5 LMS、G_SVSLMS和本文算法權(quán)值分布圖Fig.5 Weight distribution for LMS，G_SVSLMS and the algorithm proposed

4.2 抗噪性能分析

為了驗證本算法的抗干擾性，分別在不同的信噪比下對兩路信號進(jìn)行時延估計。其中，本文算法的參數(shù)為 α=0.5，β=0.001，γ=0.7，λ=5，所得結(jié)果為20次蒙特卡洛實驗結(jié)果。仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

從圖6可知，隨著信噪比的降低，權(quán)向量峰值突出變得越來越不明顯。從圖7可知，當(dāng)信噪比大于－1.5 dB時，在固定參數(shù)條件下，本文算法可快速地獲得精確的時延估計值;當(dāng)信噪比降到－3 dB時，時延估計值出現(xiàn)誤差。

圖6 本算法權(quán)矢量分布Fig.6 Weight distribution of the proposed algorithm

圖7 本算法時延估計收斂曲線Fig.7 Convergence curve of the proposed algorithm

圖8 參數(shù)調(diào)整后，信噪比－3 dB下權(quán)向量分布和時延估計收斂曲線Fig.8 The weight vector distribution and convergence curve at SNR=－3 dB when the parameter is adjusted

5 結(jié)語

針對變步長自適應(yīng)算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差相矛盾的問題，本文在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，引入P調(diào)節(jié)因子，實時地調(diào)整非線性函數(shù)形狀，用誤差的自相關(guān)函數(shù)代替誤差函數(shù)，避免了獨立噪聲的影響。在時延估計仿真實驗中，本文算法較其他算法具有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差。同時，本文算法及其ML加權(quán)可進(jìn)一步抑制噪聲，在選擇合適參數(shù)的情況下，可實現(xiàn)－3 dB以上信噪比環(huán)境下的準(zhǔn)確時延估計，具有很好的工程意義。本課題下一步的研究內(nèi)容就是將本文算法應(yīng)用在麥克風(fēng)陣列的聲源定位中，實現(xiàn)低信噪比下對聲源的實時定位。

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