朱近

（南京理工大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210094）

0 引言

調(diào)制傳遞函數(shù)（modulation transfer function，MTF）是反映成像系統(tǒng)在對目標物成像過程中信號擴散與衰減程度的函數(shù)[1]。MTF以空間頻率的函數(shù)形式存在，其值的大小反映了光學(xué)成像系統(tǒng)的清晰度，是客觀表示像質(zhì)的一個重要指標，并可以擴展到成像過程的各個環(huán)節(jié)。

假定成像系統(tǒng)具有線性及空間不變性的特點，而MTF是定義在二維空間頻率域的實函數(shù)，因此可以用一個空間曲面——MTF曲面來描述。在數(shù)字成像系統(tǒng)中，MTF二維曲面常用一個MTF矩陣來近似表示。在航天相機系統(tǒng)設(shè)計、成像系統(tǒng)品質(zhì)評價、遙感影像復(fù)原等領(lǐng)域[2-4]，準確估算MTF曲面是研究工作的前提。但成像系統(tǒng)MTF曲面不能直接通過測量獲得，需要對幾個特定方向進行測量，以獲取各方向的一維MTF曲線[5-6]，再由這些特定方向的一維MTF曲線構(gòu)造二維的MTF曲面[7-9]。

本文對現(xiàn)有的構(gòu)造MTF曲面方法：乘積法和插值法進行分析，提出一種利用多個方向的一維MTF曲線繞中心軸旋轉(zhuǎn)生成MTF曲面算法：旋轉(zhuǎn)插補法。采用（準）高斯函數(shù)和4次多項式函數(shù)作為二維MTF曲面的模擬標準，對上述各方法的有效性和誤差分布進行定量分析。

1 二維MTF曲面構(gòu)造方法

一維MTF是一條隨頻率變化的單值連續(xù)曲線[10]，其橫坐標為頻率u，以截止頻率作為基準對頻率坐標做歸一化處理，取頻率區(qū)間u∈[–0.5,0.5]，u=0.5處稱為Nyquist頻率；縱坐標為MTF值。曲線MTFu(u)＞0與原點對稱，歸一化處理后在0頻(u=0)處取最大值，MTFu(0)=1。

設(shè)空間頻率坐標系為UOV，二維MTF曲面MTFuv(u,v)應(yīng)具有性質(zhì)：

1）在u,v∈[–0.5,0.5]，MTFuv(u,v)是單值、連續(xù)的；

2）MTFuv(u,v)≥0，歸一化處理后在原點取最大值MTFuv(0,0)=1；

3）由于模的對稱性，MTF曲面與原點對稱。

因此，本文對MTF曲面的推導(dǎo)計算均在第I象限進行，由對稱性可方便地推廣到其他3個象限。目前常用的由多個特定方向的一維MTF曲線，建立二維的MTF曲面的方法包括乘積法和插值法。

1.1 乘積法

已知U、V兩個特定方向的MTF曲線分別為MTFu(u)和MTFv(v)，則二維MTF曲面的表達式為[6]

用對稱于原點的二維高斯函數(shù)模擬MTFuv(u,v)曲面為

式中σ1、σ2為U，V方向的尺度參數(shù)；ρ為相關(guān)系數(shù)。

根據(jù)二維概率分布函數(shù)的定義，當(dāng)參數(shù)ρ=0時，MTFuv(u,v)函數(shù)曲面獨立，為

此時的MTFuv(u,v)函數(shù)曲面如圖1所示，滿足MTFu(u)=MTFuv(u,0)，MTFv(v)=MTFuv(0,v)；可用式（1）的計算結(jié)果精確構(gòu)建對應(yīng)的二維MTF曲面。

在實際成像系統(tǒng)中，二維MTF曲面一般不滿足獨立性要求[6]。用式（1）構(gòu)造的二維MTF曲面在±45°方向邊界上的值會出現(xiàn)與常規(guī)MTF曲面不一致的局部極小現(xiàn)象[3]。

圖1 二維高斯曲面Fig.1 2-D Gaussian surface

1.2 插值法

為了彌補乘積法的缺陷，文獻[3]提出了一種使用二維插值構(gòu)造MTF曲面的方法，經(jīng)推導(dǎo)整理得到計算步驟為：

但在實際計算中，往往無法獲得真實的45°方向MTF曲線，文獻[4]提出了一種估算MTF45°(0.5)的經(jīng)驗公式，即：

2）根據(jù)U方向的MTF向量之間的比例關(guān)系進行一維插值：

式中k1和m1為直線方程的斜率和截距；MTFuv(0.5,v)即為通過插值得到的MTF曲面v方向的一維邊界函數(shù)。

3）通過一維插值獲得第I象限中MTF曲面在(u,v)點的值MTFuv(u,v)為

式中k(v)，m(v)為與v相關(guān)的中間變量。

使用這種方法需要已知45°方向的一維MTF曲線，增加了構(gòu)造難度；并且僅使用了45°方向的MTF曲線在u=0.5處的值，沒有充分使用45°方向的完整MTF數(shù)據(jù)。在使用經(jīng)驗公式情況下，邊界條件的準確度難以保證。

1.3 旋轉(zhuǎn)插補方法

針對上述兩種方法存在的不足，本文提出了一種新方法——旋轉(zhuǎn)插補方法?；谛D(zhuǎn)插補方法的兩維MTF曲面的構(gòu)建式為

式中θ為歸一化角度，θ∈[0,1]；u,v∈ (0,0.5]；d為(u,v)點到原點距離。計算結(jié)果對應(yīng)第I象限，利用曲面關(guān)于原點對稱的特性，可得到其他各象限的結(jié)果。

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在構(gòu)造MTF曲面時，如能獲得額外方向(φ,φ＜π/2)的一維MTF曲線作為邊界條件，則可將旋轉(zhuǎn)插補區(qū)間進行分段：將[0,π/2]區(qū)間分為[0,φ]和(φ,π/2]兩個區(qū)間進行構(gòu)造，這樣就能減少MTF曲面重建的誤差。

2 實驗與分析

2.1 二維M TF曲面的模擬標準設(shè)計

由于不同系統(tǒng)的二維MTF曲面形狀也各不相同，而且很難測量得到準確的MTF曲面。為定量研究不同方法構(gòu)造二維MTF曲面的誤差，本文設(shè)計了兩種滿足二維MTF曲面特性的函數(shù)：準高斯函數(shù)和4次多項式函數(shù)作為參考標準，用于模擬MTF曲面。設(shè)定各向不同性的約束條件：MTFu(0.5)=0.3、MTFv(0.5)=0.2和MTFu(0.5)=0.4、MTFv(0.5)=0.3。所有實驗均在MATLAB 7.0環(huán)境[11]下進行。

（1）準高斯函數(shù)曲面

對于標準高斯曲面的表達式，當(dāng)使用參數(shù)ρ＜0模擬（不滿足獨立性的）二維MTF曲面時，所構(gòu)造的函數(shù)曲面在(u,v)=0的邊界處會出現(xiàn)與常規(guī)MTF曲面不一致的局部極小現(xiàn)象。為此對式（2）的相關(guān)系數(shù)項做修改，得到“準高斯曲面”函數(shù)為

由約束條件可計算得到準高斯曲面的參數(shù)為：σ1=0.455 68，σ2=0.394 12；ρ為相關(guān)系數(shù)，可調(diào)整曲面的4個頂點值。取ρ=–0.15時，函數(shù)曲面如圖2所示，其外形與取相同參數(shù)σ1和σ2且ρ=0的標準高斯曲面相似，但4個邊界點的值大于標準高斯函數(shù)。

（2）4次多項式函數(shù)曲面

4次多項式函數(shù)曲面的數(shù)學(xué)表達式為

式中a，b為多項式系數(shù)。

由約束條件可計算得到參數(shù)：a=–1.809 1，b=–2.211 1，函數(shù)圖形如圖3所示。

2.2 實驗設(shè)計

具體實驗步驟如下：

1）用式（1）、（9）和（10）定義的（準）高斯函數(shù)以及4次多項式函數(shù)作為二維MTF曲面的模擬標準，記為MTFuv0(u,v)；

圖2 二維準高斯曲面（ρ=–0.15）Fig.2 2-D QuasiGaussian surface（ρ= –0.15）

圖3 4次多項式曲面（a=–1.809 1，b=–2.211 1）Fig.3 4-degree polynom ial surface（a= –1.809 1，b= –2.211 1）

2）根據(jù)U和V方向上精確的一維MTF函數(shù)曲線，分別用乘積法、插值法和旋轉(zhuǎn)插補法構(gòu)造MTF曲面：MTFuvi(u,v)；

3）計算MTFuvi(u,v)與標準二維MTF曲面的誤差為

E(u,v)為構(gòu)造曲面與標準MTF模擬曲面在(u,v)點的誤差，以4次多項式函數(shù)作為標準的MTF曲面，構(gòu)造誤差分布見圖4。

Eave為平均誤差，與誤差的大小和分布有關(guān)，期望值為0。

Rmse為均方差，表示構(gòu)造曲面與標準MTF模擬曲面的總體偏差。實驗結(jié)果見表1。

表1 M TF曲面構(gòu)造誤差Tab.1 The errors of MTF surface construction

表1中的Emax為實際最大誤差。插值法1為式（4）估算4個邊界點得到的計算結(jié)果，插值法2為由式（3）獲取4個精確邊界點得到的計算結(jié)果。

圖4 MTF曲面構(gòu)造誤差分布圖Fig.4 The errorsmaps of MTF surface construction

2.3 結(jié)果分析

由于高斯曲面（ρ=0）滿足獨立條件，作為模擬MTF曲面標準時，乘積法可通過U和V兩個方向的一維高斯曲線構(gòu)造得到精確的高斯曲面，所以表1中對應(yīng)的3個誤差都為0。

插值法的誤差與4個邊界點（MTF45°(0.5)）的精確度相關(guān)。在邊界點為精確值時（見表1中插值法2），用準高斯函數(shù)（ρ=0，–0.15）作為標準，具有很好的重構(gòu)性，其誤差基本為0。在4次多項式函數(shù)作為標準曲面時，邊界點的精確值為2.6×10–5；而由式（4）計算的估值為(0.2+0.3)/2×0.9=0.225，而導(dǎo)致重構(gòu)誤差增大：Emax=0.225，Rmse=0.0639。

相比之下，旋轉(zhuǎn)插補法具有較小的重建誤差，特別是在4次多項式函數(shù)作為標準時。但該方法需要對U、V兩個方向的一維MTF曲線進行外推計算，因此對一維MTF曲線的精確性有一定的要求。

3 結(jié)束語

通過U、V兩個方向的一維MTF曲線構(gòu)造二維MTF函數(shù)曲面問題，實際上是一個由特定邊界條件構(gòu)建二維MTF函數(shù)曲面的數(shù)學(xué)問題[13]。為研究構(gòu)建曲面模型算法，客觀評價算法的有效性，在對現(xiàn)有的乘積法、插值法構(gòu)造MTF函數(shù)曲面的方法進行了分析和研究，并提出了一種新的旋轉(zhuǎn)插補法。最后設(shè)計使用了（準）高斯函數(shù)和4次多項式函數(shù)作為二維MTF曲面的模擬標準，對現(xiàn)有的各種方法的有效性進行了定量分析。其結(jié)果顯示：各種方法在針特定的目標函數(shù)和條件時，有各自的優(yōu)點；但總體上看，旋轉(zhuǎn)插補法具有更好的適用性。

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