王衛(wèi)剛 （陜西延長石油 （集團(tuán)）有限責(zé)任公司研究院，陜西 西安 710075）

潘祥 （延長油田股份有限公司西區(qū)采油廠，陜西 延安 717500）

趙亞杰，姚軍，劉通，高慶華 （陜西延長石油 （集團(tuán)）有限責(zé)任公司研究院，陜西 西安 710075）

延長油田區(qū)域構(gòu)造位置屬鄂爾多斯盆地陜北斜坡中部，屬陜北黃土塬區(qū)，地面海拔900～1660m，由西向東地面高程逐漸降低。其主力油層為延長組長2、長4＋5、長6油層組。長2油層組的特點(diǎn)是油層物性相對較好，油層含水分帶性和規(guī)律性較強(qiáng)。構(gòu)造低部位底水活躍，油層壓裂改造時容易造成水竄。水平井在底水油藏的開發(fā)過程中具有生產(chǎn)壓差小、泄油面積大的特點(diǎn)，能夠減緩底水脊進(jìn)，控制含水上升速度，增加產(chǎn)液量，改善開發(fā)效果［1］。預(yù)測水平井產(chǎn)能及變化規(guī)律的方法較多，其中比較典型的有：Joshi［2］、Giger［3］等提出的產(chǎn)能公式；國內(nèi)李璗［4］、竇宏恩［5］、劉想平［6］等也提出了各自的穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能公式。這些公式在推導(dǎo)過程中都有一個共同的假設(shè)，即都是將水平井的三維流動簡化為2個二維流動，所以得出的產(chǎn)能公式都是擬三維的。筆者在研究前人文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，綜合采用滲流力學(xué)、油藏工程、現(xiàn)代數(shù)學(xué)等多學(xué)科交叉的方法進(jìn)行研究，推導(dǎo)了底水油藏水平井的三維產(chǎn)能公式。在此基礎(chǔ)上以已投產(chǎn)底水油藏水平井的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，驗證了所推導(dǎo)的產(chǎn)能公式；并且與不完善直井對比進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明水平井開采底水油藏是是可行的。

1 底水油藏水平井三維產(chǎn)能研究

水平井周圍流體的流動是呈三維流動的，二維產(chǎn)能公式主要是將三維流動簡化為2個二維流動的形式來推導(dǎo)的［4～6］，不能真實反映地下流體的流動規(guī)律，所以有必要進(jìn)行流體三維流動規(guī)律的研究［7，8］。利用傅里葉變換及拉普拉斯變換求解水平井三維滲流控制方程組，再根據(jù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)對壓力分布公式進(jìn)行漸進(jìn)分析，得到水平井的三維產(chǎn)能公式。

物理模型為圓柱形油藏 （如圖1），徑向邊界圓形定壓，垂向上邊界封閉，下邊界定壓 （底水油藏），水平井位于油藏的中心，水平井距底水界面的距離為zw，水平井的長度為2L，油層厚度為h［9］。

下面求解上邊界為定壓邊界、下邊界為封閉邊界油藏 （氣頂油藏）的產(chǎn)能公式，底水油藏情形可以通過坐標(biāo)變換得到。

圖1 圓柱型油藏中一口水平井

1.1 假設(shè)條件

1）水平方向圓形封閉，上下界面為2個封閉的界面。

2）油藏為非均質(zhì)油藏，流體單向流動，設(shè)X、Y方向的滲透率等于水平方向滲透率，Z方向滲透率等于垂直方向滲透率，即Kx＝Ky＝Kh，Kz＝Kv，…

3）水平井為均勻流線匯。4）流體微可壓縮。

5）忽略重力的影響。

6）水平井產(chǎn)量恒定為Qh。

1.2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)該問題的特點(diǎn)，利用柱坐標(biāo)系描述該類滲流問題求解比較方便。因此，給出如下不穩(wěn)定滲流偏微分控制方程：

式中：Kv、Kh分別為垂直方向和水平方向的滲透率，D；p為壓力，MPa；t為時間，h；φ為地層孔隙度，%；μ為黏度，mPa·s；ct為系統(tǒng)壓縮系數(shù)，MPa－1。

將滲流方程用柱坐標(biāo)形式表示［10］，式（1）變?yōu)椋?/p>

將式（2）無量綱化，則變?yōu)椋?/p>

式中：D為下標(biāo)，無量綱。

內(nèi)邊界條件［10］：

式中：εD為無量綱垂向高度；zwD為水平井無量綱垂向高度。

垂向邊界條件：

徑向外邊界條件（定壓）：

采用SI單位制，定義如下無量綱量群：

無量綱壓力：

無量綱坐標(biāo)：

無量綱井筒半長：

式（1）～（6）構(gòu)成了水平井在上邊界為定壓、下邊界為封閉邊界的圓柱體地層中的不穩(wěn)定滲流控制方程組。采用積分變換進(jìn)行求解，并將水平井抽象為線匯，根據(jù)疊加原理點(diǎn)匯積分將能夠得到線匯的結(jié)果。

1.3 模型求解

采用傅里葉有限余弦變換［11］解得方程（3）的解為：

式中：I0（x）為0階第一類修正Bessel函數(shù)；K0（x）為0階第二類修正Bessel函數(shù)。βm為特征值，它所滿足的方程為sinβm＝0，解得βm＝mπ，m＝0，1，2，…。

對式（7）進(jìn)行傅里葉逆變換可得點(diǎn)匯解：

根據(jù)疊加原理［11］可得到無量綱線匯井壁壓力分布公式：

若在［－1，1］上對式（10）進(jìn)行算術(shù)平均，可得到均勻流量線匯井壁壓力分布公式如下：

式中：pwD為無量綱井壁壓力。

計算式（11）中的二重積分可得：

式中：Ii1（x）為關(guān)于Bessel函數(shù)I0（x）的一次重復(fù)積分；Ki2（x）為關(guān)于Bessel函數(shù)K2（x）的一次重復(fù)積分。

當(dāng)水平井的長度大于一定值時（一般的水平井長度都滿足），為了得到更加實用的公式，式（14）中的無窮級數(shù)的和可以忽略，則式（14）變?yōu)椋?/p>

水平井的井筒半徑rwD相對于水平井的長度很小，所以式（15）可近似為：

將無量綱量代入式（16）有：

式（17）即為上邊界為氣頂、下邊界為封閉油藏水平井的壓力分布公式。

如果油藏的縱向邊界上邊界為封閉、下邊界為恒壓，即底水油藏，則可通過坐標(biāo)變換（z′w＝h－zw），將式（17）變換為底水油藏水平井的壓力分布，即

將無量綱井壁壓力pwD量綱化，又因為水平井長度L＝2a，代入式（18）可得底水油藏水平井的產(chǎn)量公式：

式中：Qh為水平井產(chǎn)量，m3/d；L為水平井長度，m；rw為水平井井筒半徑，m；h為地層厚度，m；pwf為井底流壓，MPa；pi為地層壓力，MPa；Bo為體積因數(shù)，1；μo為油的黏度，mPa·s。

2 三維產(chǎn)能公式的驗證

驗證底水油藏三維公式，所需的油藏及水平井的參數(shù)如表1所示。

表1 油藏及油井參數(shù)

運(yùn)用式 （19）進(jìn)行計算，并將計算結(jié)果與Joshi公式及劉想平三維產(chǎn)能公式的計算結(jié)果進(jìn)行比較，列于表2中。

表2 不同產(chǎn)量公式的計算結(jié)果

由表2可以看出：當(dāng)生產(chǎn)壓差為4.57MPa和5.90MPa時，公式 （19）計算結(jié)果的相對誤差分別為－3%和3%，誤差合理，精度較高，因此可以用公式 （19）來預(yù)測水平井的產(chǎn)能。

3 水平井開采底水油藏的可行性

在底水油藏水平井產(chǎn)能研究的基礎(chǔ)上，通過對比水平井與直井開采底水油藏的產(chǎn)能、臨界產(chǎn)量、底水突破時間，來說明水平井相比不完善直井在抑制底水錐進(jìn)方面的優(yōu)勢。

3.1 水平井抑制底水脊進(jìn)研究

針對直井開采底水油藏帶來的困難，為了抑制底水錐進(jìn)，改善底水油藏的開發(fā)效果，利用水平井技術(shù)抑制底水錐進(jìn)，開采底水油藏。

3.1.1 水平井的臨界產(chǎn)量

根據(jù)前面所推導(dǎo)的底水油藏水平井產(chǎn)能公式 （19），參考劉良躍等［12］、范子菲等［13］提出的水平井臨界產(chǎn)量計算方法，可得到底水油藏水平井的臨界產(chǎn)量公式：

式中：Qhoc為水 平 井 臨 界 產(chǎn) 量，m3/d；rw為 水 平 井 井 筒 半 徑，m；ρw為 水 的 密 度，g/cm3；ρo為 油 的 密度，g/cm3。

3.1.2 水平井的底水突破時間

對于底水油藏水平井的突破時間，很多人進(jìn)行了研究。Ozkan等［14］提出了在無限大各向異性底水油藏中水平井的底水突破時間計算公式：

式中：tBT為水平井底水突破時間，d；tDBT為無量綱水平井底水突破時間。

3.2 水平井與直井產(chǎn)量的比較

用公式計算了水平井的產(chǎn)能，并與完善直井的產(chǎn)能進(jìn)行了比較，如圖1所示。

表3 油藏及油井參數(shù)

由圖2可見：當(dāng)水平井長度大于50m左右時，水平井的產(chǎn)能都高于完善直井的產(chǎn)能。可見水平井與完善直井相比，滿足一定的條件，其增產(chǎn)效果是無疑的。

圖2 水平井與直井的產(chǎn)能比隨水平井長度的變化

圖3 水平井與直井底水突破時間比較

結(jié)合非完善直井—水平井的產(chǎn)能比較，對于底水油藏，在同樣的壓差下，與非完善直井相比，水平井能獲得更高的產(chǎn)量，也就是說，在相同的產(chǎn)量下，與非完善直井相比，水平井需要的較小的壓差，引起的底水脊進(jìn)較弱。

3.3 水平井與直井底水突破時間的比較

為了說明底水油藏開發(fā)過程中，在抑制底水錐進(jìn)方面，水平井優(yōu)于不完善直井，計算對比了水平井與直井的底水突破時間，如圖3所示。由圖3可知：不完善直井的底水見水時間，明顯比水平井的見水時間短，這進(jìn)一步說明水平井在抑制底水脊進(jìn)方面優(yōu)于不完善直井。

3.4 可行性分析

綜合產(chǎn)能、臨界產(chǎn)量、底水突破時間三方面的對比研究，結(jié)果顯示水平井在抑制底水錐進(jìn)方面優(yōu)于不完善直井，所以應(yīng)用水平井來開采底水油藏、挖潛底水油藏的剩余油具有不完善直井不可比擬的優(yōu)勢，是完全可行的。

4 結(jié)論與認(rèn)識

1）根據(jù)延長油田長2底水油藏的特點(diǎn)，在分析前人產(chǎn)能公式的基礎(chǔ)上，利用傅里葉變換及拉普拉斯變換求解了水平井三維滲流模型，得到了新的底水油藏水平井三維產(chǎn)能公式。

2）通過實例驗證了新的三維產(chǎn)能公式，結(jié)果表明：三維產(chǎn)能公式有較高的精度，可以應(yīng)用于水平井的產(chǎn)能預(yù)測。

3）通過與不完善直井進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明：水平井底水突破時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)長于不完善直井的突破時間，應(yīng)用水平井開采底水油藏具有直井不可比擬的優(yōu)勢。

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［編輯］ 黃鸝