郭大立，郭玉龍 （西南石油大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610500）

陳祥 （中石油新疆油田分公司采油二廠，新疆 克拉瑪依 834008）

柯西軍，陶礡 （西南石油大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610500）

水平井具有泄油面積大、單井產(chǎn)量高、穿透度大、儲量動用程度高等優(yōu)點，因此，水平井開發(fā)方式在國內(nèi)眾多油田推廣使用。水平井技術(shù)和水力壓裂技術(shù)均是開發(fā)低滲透油氣田的有效手段，它們結(jié)合的壓裂水平井技術(shù)能更有效地開發(fā)低滲透油藏。水平井壓裂后形成多條在長度、寬度、導(dǎo)流能力等方面各不相同的裂縫，而在生產(chǎn)過程中，裂縫彼此之間的互相干擾，又進一步增加了壓裂后水平井產(chǎn)量計算的復(fù)雜性。而水平井壓后產(chǎn)量計算的精確程度不僅影響水平井水力壓裂優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，而且影響壓裂經(jīng)濟評價結(jié)果。因此，對水平井壓后產(chǎn)量進行預(yù)測具有重要意義。國內(nèi)外諸多學(xué)者對此進行了不同方面的研究［1～10］。筆者在過去研究認(rèn)識成果的基礎(chǔ)上，考慮全封閉有界地層的實際情況，并鑒于地應(yīng)力在水平井井筒方向上的差異以及壓裂工藝的限制，考慮裂縫長度不同，與井筒夾角不同等，建立了多條裂縫相互干擾的水平井產(chǎn)量預(yù)測模型。

1 水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測模型

1.1 基本假設(shè)

1）儲層封閉且均質(zhì)，矩形邊界，等溫不穩(wěn)定滲流，無能量補充且不考慮重力影響。

2）油藏和裂縫內(nèi)流體為單相流，多孔介質(zhì)和液體均可壓縮。

3）裂縫完全穿透儲層，彼此間距離不等，尖端不重合，并且與井筒可成任意角度。

4）流體先沿裂縫壁面均勻流入，再由裂縫流入井筒，不考慮基質(zhì)直接流入井筒的滲流過程［11］。

1.2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)以上假設(shè)，建立如下滲流數(shù)學(xué)模型：

對數(shù)學(xué)模型進行無量綱化處理，具體形式如下：

式中：φ0為某一壓力下的孔隙度，%；ct為綜合壓縮系數(shù)，Pa－1；p為壓力，MPa；t為滲流時間，s；K為地層的滲透率，m2；μ為地下原油黏度，mPa·s；Q（t，x0，y0）為在直角坐標(biāo)平面上的點匯 （x0，y0）處的流量，m3/s；δ（x－x0，y－y0）為δ函數(shù)，（x，y） 是直角坐標(biāo)系平面上的任意一點；pi為原始地層壓力，MPa；h為儲層厚度，m；（xD，yD）為無量綱坐標(biāo)，（1，1）；tD為無量綱時間，1；pD為無量綱壓力，1；Q0為參考流量，m3/s；ND（tD）為無量綱時間tD時的無量綱產(chǎn)量，1。

無量綱化后數(shù)學(xué)模型實際上是一個區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)，因此求解化簡為二維特征值問題，分離變量后得到2個一維特征值問題，再利用特征函數(shù)性質(zhì)，最后求解得：

1.3 模型分析

水平井井筒方向不一定平行于邊界的某一面，而且與最小主應(yīng)力的方向也不一定相同。因此，井筒和X軸成一定角度ω，裂縫與井筒也存在角度α，如圖1。將裂縫左右兩翼 （井筒以下裂縫為左翼，以上為右翼，可以不對稱）分別分成M等份，每一份都作為一個點匯來研究。設(shè)第i條裂縫的起裂點坐標(biāo)為（xfi，yfi），裂縫的左翼長度為Lfli，右翼長度為Lfri，該裂縫左翼和右翼上第j個點匯的坐標(biāo) （等份中點的坐標(biāo)）分別為 （xlij，ylij）和 （xrij，yrij）。第i條裂縫產(chǎn)量為qfi，左翼和右翼上第j個點匯的產(chǎn)量分別為qflij和qfrij。其中：

圖1 井筒－裂縫模型示意圖

圖2 微型油藏模型示意圖

1.4 微型油藏

人工裂縫可能關(guān)于井筒不對稱，若第i條人工裂縫左翼尖端處的壓力為pfli，右翼尖端處的壓力為pfri，所以取兩翼裂縫尖端處壓力的平均值作為裂縫尖端壓力。雖然裂縫與井筒成一定角度，但根據(jù)面積相等原則，第i條裂縫可看作是一個微型油藏，如圖2。其具體參數(shù)為：流動半徑Ri為［（Lfli＋Lfri）h/π］1/2，裂縫寬度為wi，邊界壓力為裂縫尖端壓力pi（）t，井底流壓為井筒內(nèi)壓力pwfi。微型油藏內(nèi)部流動方式可處理為平面徑向流。則裂縫向井筒的滲流過程可寫為：

式中：μ為地下原油黏度，Pa·s；B為地下原油體積因數(shù)，1；Kfi為第i條人工裂縫的滲透率，m2；rw為井筒半徑，m；S為表皮因數(shù)，1。

流體在水平井段中流動所產(chǎn)生的流動阻力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于流體在儲層中流動時產(chǎn)生的阻力，可忽略水平井段流體流動的壓力降落損失，則裂縫底部的壓力可近似為井底流壓。將模型分析所得各參數(shù)無量綱化后代入式 （1），并應(yīng)用復(fù)位勢理論和勢能疊加原理，同時考慮裂縫流動，最終求得無量綱化井底流壓計算公式：

式中：下標(biāo)f為裂縫；i，k為裂縫編號；j為點匯編號；l為裂縫左翼；r為裂縫右翼；D為無量綱化后；（xfilD，yfilD）為第i條裂縫左翼尖端無量綱坐標(biāo)；（xfirD，yfirD）為第i條裂縫右翼尖端無量綱坐標(biāo)。

1.5 產(chǎn)量預(yù)測

假設(shè)井筒可近似封閉，則水平井總產(chǎn)量：

儲層的累計產(chǎn)量Qc為：

式中：F為水平井裂縫條數(shù)；ti＋1－ti為時間間隔，即后一時間減前一時間之差。

2 模型求解

上述水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測模型主要包含流體在油藏中的流動和在人工裂縫中的流動兩方面內(nèi)容，因此求解時需要運用解析法和網(wǎng)格劃分法。根據(jù)式（3），可得系數(shù)矩陣，再利用高斯全選主消去法求解方程組，得到每條裂縫產(chǎn)量，加和即可得到總產(chǎn)量。計算卷積時化為積分形式，應(yīng)用復(fù)化辛普森公式求取。運用編程工具，通過控制步長還可得到任一時間內(nèi)每條裂縫和水平井的平均產(chǎn)量以及累計產(chǎn)量。

3 實例運用

基于上述模型和方法，研制了相應(yīng)軟件，并應(yīng)用于多口壓裂水平井。經(jīng)多次實例預(yù)測分析，預(yù)測產(chǎn)量與實際產(chǎn)量誤差均在20%以下。以某一口壓裂水平井為例，具體分析如下。該井主要地層參數(shù)：儲層厚度15m，儲層滲透率0.13mD，儲層孔隙度9.03%，表皮因數(shù)4，水平井井筒半徑0.12m，原始地層壓力27MPa，井底流壓22MPa。8條垂直裂縫參數(shù)見表1。8條裂縫之間的間距：第1條和第2條為91m，第2條和第3條為98m，第3條和第4條為97m，第4條和第5條為94m，第5條和第6條為60m，第6條和第7條為89m，第7條和第8條為90m。

生產(chǎn)時間為720d，該水平井壓后日產(chǎn)量如圖3所示。根據(jù)所給出的該井的基本參數(shù)，運用水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測軟件進行預(yù)測，預(yù)測平均 產(chǎn) 量 結(jié) 果 為 18.07m3/d，實 際 結(jié) 果 為16.87m3/d。計算所得產(chǎn)量比實際產(chǎn)量只高了7.11%。可見，模擬計算的產(chǎn)量與實際產(chǎn)量較為接近，該水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測模型所求結(jié)果準(zhǔn)確性高且比較穩(wěn)定。

表1 裂縫參數(shù)統(tǒng)計表

圖3 水平井壓后產(chǎn)量曲線圖

4 結(jié)論

1）封閉邊界水平井壓后產(chǎn)量預(yù)測模型考慮了各條裂縫導(dǎo)流能力、幾何尺寸及其與水平井筒夾角等，能夠較真實地模擬封閉邊界多條裂縫相互干擾的復(fù)雜地下儲層情況。

2）實例運用表明，該模型能夠快速、準(zhǔn)確地預(yù)測水平井壓裂后的產(chǎn)量。

3）模型預(yù)測精度較高，穩(wěn)定可靠，能夠滿足現(xiàn)場需要，具有很好的推廣應(yīng)用價值。

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［編輯］ 黃鸝