禹長龍，王菊芳，左春艷

（河北科技大學理學院，河北石家莊 050018）

一類含有p-Laplacian算子二階三點邊值問題正解的存在性

禹長龍，王菊芳，左春艷

（河北科技大學理學院，河北石家莊 050018）

運用求積分的方法研究了含有一維p-Laplacian算子的二階三點邊值問題：

多重正解的存在性，其中p∈（1，2］，0＜η＜1是常數(shù)，λ∈（0，＋∞）是一個參數(shù)，對于常數(shù)r＞0時，f∈C1（［0，r），［0，＋∞）），在（0，r）上

一維p-Laplacian算子；求積法；正解

禹長龍，王菊芳，左春艷.一類含有p-Laplacian算子二階三點邊值問題正解的存在性［J］.河北科技大學學報，2014，35（2）：127-133.

YU Changlong，WANG Jufang，ZUO Chunyan.Existence of positive solutions for second-order three-point boundary value problems with p-Laplacian operator［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2014，35（2）：127-133.

19世紀，法國數(shù)學家FOURIER用分離變量法研究熱傳導問題，得到了二階常微分方程的兩點邊值問題：

隨后法國數(shù)學家STURM和LIOUVILLE開始關注，他們一起研究了一類二階非線性常微分方程：

PEL PINO等這類邊值問題被稱為Sturm-Liouville特征值問題，進而形成了著名的Sturm-Liouville理論，并且取得了很豐富的成果［1－10］。

1982年西班牙數(shù)學家HERRERO和VAZQUEZ等在文獻［11］和文獻［12］中最早提出的模型是含有p-Laplacian算子的微分方程（φp（u′））′＝q（t）f（t，u′），0＜t＜1，相應的邊值條件為u（0）＝0，u（1）＝b，或者u′（0）＝0，u（1）＝b，其中φp（s）＝｜s｜p－2s，p＞1被稱為p-Laplacian算子。

1989年，智利數(shù)學家PEL PINO等在文獻［13］中利用拓撲度理論研究了 Dirichlet邊值問題（φp（u′））′＋f（t，u）＝0，0＜t＜1，u（0）＝u（T）＝0解的存在性以及特征值的問題。此后，人們通過對血漿問題、彈性問題、宇宙物理等許多應用領域的研究發(fā)現(xiàn)，這類問題均可歸結(jié)為含有p-Laplacian算子的微分方程（φp（u′））′＋f（t，u）＝0，0＜t＜1的研究。

近來，在文獻［14］中馬如云等研究了定義在有限區(qū)間內(nèi)含有一維p-Laplacian算子的非線性邊值問題

正解的存在性。

本文基于文獻［14］研究邊值問題：

正解的存在性，其中0＜η＜1為常數(shù)，λ∈（0，＋∞）是一個參數(shù)，p∈（1，2］并且f∈C1（［0，r），［0，＋∞））定義在有限的區(qū)間上。

1 預備知識

為了證明主要結(jié)論，本文將利用REICHEL等在文獻［15］中初值問題：

的唯一性結(jié)果，其中a∈［0，1］且b，d∈R。

引理1［15］設條件 H1）與條件 H2）成立，則

a）d≠0時，式（2）有唯一的局部解，此外，只要u′（t）≠0，u（t）仍為唯一解。

b）b∈ （0，r）且d＝0時，式（2）有唯一局部解。

c）b＝0且d＝0時，式（2）有唯一局部解u≡0。

引理2 設條件H1）和條件H2）成立，假設（λ，u）是邊值問題（1）當‖u‖∞＝ρ＜r時的一個解，且設?x0∈ （0，1）使得u（x0）＝ ‖u‖∞，則在（0，1）上u（t）＞0，在（0，x0）上u′（t）＞0，在（x0，1）上u′（t）＜0，且

又由u′（x0）＝0，可知函數(shù)u（t）在區(qū)間［0，x0］上是不減的，在區(qū)間［x0，1］上是不增的，且u（t）＞0，

由式（6）和引理1中條件a），可得u（x0－t）和u（x0＋t）都可以被唯一的擴展到區(qū)間［0，min｛x0，1－x0｝］上。因此，根據(jù)引理1中條件b）得問題（7）在區(qū)間［0，min｛x0，1－x0｝］上有唯一解u≡0，所以式（3）成立。

引理3 設條件H1）和條件H2）成立，假設（λ，u）是邊值問題（1）在‖u‖∞＝ρ＜r且λ＞0條件下的一個正解，且設x0∈ （0，1）使得u（x0）＝ ‖u‖∞，則

2 主要結(jié)論及證明

為了證明結(jié)論，需要如下的求積法。

引理4 對于任意ρ＜r，存在唯一的λ＞0使得邊值問題（1）當‖u‖＝ρ時有一個正解（λ，u），并且ρ→λ（ρ）在區(qū)間［0，r）是一個連續(xù)函數(shù)。

證明 根據(jù)引理3可知，（λ，u）是邊值問題 （1）的正解當且僅當（λ，u）是

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YU Changlong，LI Zhiguang，WEI Huixian，et al.Existence and uniqueness of solutions for second-order m-point boundary value problems at resonance on infinite interval［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（1）：7-14.

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Existence of positive solutions for second-order three-point boundary value problems with p-Laplacian operator

where p∈（1，2］，0＜η＜1 is a constant，λ∈（0，＋∞）is a parameter，f∈C1（［0，r），［0，＋∞））for some constant r＞0，f（s）＞0

YU Changlong，WANG Jufang，ZUO Chunyan
（School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

In this paper，the quadrature method is used to study the existence of multiple positive solutions for second-order three-point boundary value problems with one-dimensional p-Laplacian operator

one-dimensional p-Laplacian operator；quadrature method；positive solution

O157 MSC（2010）主題分類：47A05

A

1008-1542（2014）02-0127-07

10.7535／hbkd.2014yx02003

2013-09-05；

2013-11-19；責任編輯：張 軍

國家自然科學基金（11201112）；河北省自然科學基金（A2011208012，A2013208147）；河北省教育廳自然科學基金（2008153）

禹長龍（1978-），男，河北陽原人，講師，碩士，主要從事微分方程邊值問題、數(shù)值計算等方面的研究。

E-mail：changlongyu＠126.com