王力生，帥 斌

(西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川 成都 610031)

集聚效應(yīng)是城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的企業(yè)和人口集中化現(xiàn)象，有利于提高資源和公共物品的配置效率以及降低生產(chǎn)成本[1]。與此同時(shí)，城市土地資源作為一種不可再生的生產(chǎn)要素，其價(jià)值會(huì)隨著不同區(qū)位的集聚程度而變化。城市居民和廠商根據(jù)不同的集聚效應(yīng)和土地價(jià)值進(jìn)行選址活動(dòng)，引起城市空間布局的內(nèi)部調(diào)整和外表擴(kuò)張現(xiàn)象[2]。隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，傳統(tǒng)的制造業(yè)開始遠(yuǎn)離市中心向城市外圍或其它地區(qū)遷移，以金融、商業(yè)和服務(wù)業(yè)為代表的第三產(chǎn)業(yè)逐漸成為大城市的主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)。城市中心區(qū)土地價(jià)值的持續(xù)升值，也迫使人口居住地向郊區(qū)擴(kuò)張，造成居住地和就業(yè)場(chǎng)所日益分離[3]。因此，研究城市區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)人口和就業(yè)等空間布局的作用機(jī)理具有重要意義。

勞瑞模型是交通規(guī)劃中研究土地利用的基礎(chǔ)模型，由美國(guó)交通學(xué)者勞瑞于1964年研究匹茲堡交通規(guī)劃問(wèn)題時(shí)提出。其最主要的價(jià)值在于用數(shù)學(xué)方法探討了十分基礎(chǔ)的城市就業(yè)和人口分布等問(wèn)題，使與之相關(guān)的城市土地利用和區(qū)位理論得以定量化研究。勞瑞模型作為研究交通規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)模型，從它提出開始就得到了許多學(xué)者的研究改進(jìn)，其中最主要的兩個(gè)方向是對(duì)模型的動(dòng)態(tài)改進(jìn)和經(jīng)濟(jì)改進(jìn)[4]。動(dòng)態(tài)改進(jìn)主要指在城市發(fā)展過(guò)程中，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)發(fā)生變化如何引起人口分布的變化；經(jīng)濟(jì)改進(jìn)則研究如何確定基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)與服務(wù)產(chǎn)業(yè)之間的關(guān)系。筆者通過(guò)對(duì)原始勞瑞模型、Garin矩陣改進(jìn)模型以及Rogers動(dòng)態(tài)改進(jìn)模型基本思想的研究，在Rogers動(dòng)態(tài)模型基礎(chǔ)上，引入種群生長(zhǎng)模型模擬城市區(qū)域基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，提出在城市土地和人口等資源限制條件下，區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)人口和就業(yè)布局的影響模型。

1 勞瑞模型及其改進(jìn)形式

1.1 原始勞瑞模型

原始勞瑞模型[5]的基本思想是：將研究區(qū)域劃分為若干個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)存在一定已知數(shù)量的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)(如市政部門、學(xué)校和工廠等)，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)帶來(lái)就業(yè)數(shù)量并引起就業(yè)人口在研究區(qū)域的分布(理解為不同小區(qū)的人口數(shù)量)；另一方面，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)就業(yè)人口產(chǎn)生對(duì)服務(wù)業(yè)的需求，引起服務(wù)產(chǎn)業(yè)在研究區(qū)域的分布，服務(wù)產(chǎn)業(yè)同樣會(huì)帶來(lái)就業(yè)增加，并形成新的人口分布，因此，最終的人口和產(chǎn)業(yè)分布產(chǎn)生于上述“循環(huán)過(guò)程”的均衡或在人口和土地限制條件下的極限情況。

為求解模型，勞瑞給出的算法思路[6]是將小區(qū)的就業(yè)數(shù)量看成該小區(qū)的吸引力函數(shù)，而人口分布則表示為小區(qū)就業(yè)數(shù)量和吸引力的函數(shù)，通過(guò)一次迭代計(jì)算可求出一個(gè)人口及就業(yè)分布，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行是否滿足人口和土地等限制條件的檢驗(yàn)，直到求出滿足限制條件的最優(yōu)解(即最大人口和就業(yè)分布)。

通過(guò)以上分析，不難發(fā)現(xiàn)原始勞瑞模型存在以下兩個(gè)最為突出的問(wèn)題：

1)勞瑞模型在求解過(guò)程中并不考慮土地和人口等限制條件約束，而是對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，因此求出的解有可能部分滿足限制條件(即有的小區(qū)滿足人口和土地限制，而另外的小區(qū)不滿足)，這種情況下模型無(wú)解；另一方面，每進(jìn)行一次迭代計(jì)算，都要對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，這將是十分繁瑣的；

2)勞瑞模型只是解決了一定已知基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)分布條件下的最終人口和就業(yè)分布情況，這實(shí)際上是一個(gè)靜態(tài)的過(guò)程，因?yàn)槌鞘薪?jīng)濟(jì)和人口的增長(zhǎng)必然會(huì)引起基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)的變化，由此引出勞瑞模型的動(dòng)態(tài)改進(jìn)形式。

1.2 勞瑞模型改進(jìn)形式

R.A.Garin[7]在原始勞瑞模型的基礎(chǔ)上，引入向量描述人口和就業(yè)分布，并通過(guò)矩陣表達(dá)勞瑞模型中的函數(shù)關(guān)系，這樣勞瑞模型的迭代計(jì)算過(guò)程變?yōu)榫仃嚨挠?jì)算，從而使模型大大簡(jiǎn)化。值得注意的是，Garin模型并未改變勞瑞模型的“靜態(tài)”屬性，其收斂條件的確定來(lái)源于級(jí)數(shù)求和的數(shù)學(xué)證明，未考慮實(shí)際的土地和人口限制條件。

與本文密切相關(guān)的是Rogers 模型，由A.Rogers[8]在Garin模型的基礎(chǔ)上引入增長(zhǎng)矩陣G進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模?；舅枷胧牵航o定一個(gè)基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)增長(zhǎng)矩陣G，引入時(shí)間變量t，建立基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，從而對(duì)于不同的時(shí)間t，可求出相應(yīng)的人口分布。模型的終止條件是迭代過(guò)程產(chǎn)生人口和時(shí)間t的線性關(guān)系，表示人口達(dá)到穩(wěn)定增長(zhǎng)狀態(tài)；同理，對(duì)于就業(yè)也可建立相應(yīng)的迭代關(guān)系，求得就業(yè)增長(zhǎng)率，由此Rogers通過(guò)該模型分析了人口和就業(yè)之間的關(guān)系。但是，Rogers 模型仍存在許多亟待修改的問(wèn)題：首先，模型中基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)增長(zhǎng)矩陣G是人為給定的并且與時(shí)間t無(wú)關(guān)，與實(shí)際情況并不相符；其次，人口按穩(wěn)定的速率增長(zhǎng)意味著人口無(wú)限的增多，勢(shì)必違反勞瑞模型中人口和土地的限制條件。對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題的深入探討，是筆者提出動(dòng)態(tài)改進(jìn)模型的基礎(chǔ)。

2 改進(jìn)模型

2.1 改進(jìn)模型的出發(fā)點(diǎn)

針對(duì)上述各個(gè)模型存在的問(wèn)題，提出勞瑞模型的另一種動(dòng)態(tài)改進(jìn)模型，主要從以下3個(gè)方面考慮：

1)如何將原始勞瑞模型中的限制條件通過(guò)模型本身的約束條件表示出來(lái)，使模型求得的解一定符合人口和土地因素等限制；

2)如何確定與時(shí)間相關(guān)的動(dòng)態(tài)增長(zhǎng)矩陣，反映城市區(qū)域經(jīng)濟(jì)隨時(shí)間發(fā)展的情形；

3)對(duì)模型的邊界值即穩(wěn)定狀態(tài)探討，保證模型的解一定是滿足約束條件的最優(yōu)解。

2.2 改進(jìn)模型

首先，將研究區(qū)域劃分成n個(gè)小區(qū)，對(duì)每個(gè)小區(qū)編號(hào)1，2，…，n；那么時(shí)間為t時(shí)的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)分布可表示為：

(1)

按照Garin模型中的結(jié)論[7]，一定的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)分布最終會(huì)決定相應(yīng)的人口分布Pt和就業(yè)分布Et，它們滿足關(guān)系：

(2)

(3)

這里著重探討一下矩陣A，B的含義與計(jì)算問(wèn)題。矩陣A可看成就業(yè)-人口生成矩陣，表示由就業(yè)引起人口分布的“生成關(guān)系”(參考式(3)的第1個(gè)等式)，具體計(jì)算公式為：

A=[aij′][ai]

(4)

式中：[ai]表示對(duì)角矩陣diag(ai)，其元素ai表示i小區(qū)就業(yè)人口占總?cè)丝诘谋戎?；矩陣[aij′]的元素aij′表示“到家旅程函數(shù)”(a journey to home function)[7]。

不同的構(gòu)造會(huì)產(chǎn)生不同的迭代結(jié)果，這里將“到家旅程函數(shù)”表述為在小區(qū)i工作的人口居住在小區(qū)j(j=1，2，…，n)的概率，計(jì)算方法參照Logit模型的解法[5]，選取距離、土地價(jià)格、就業(yè)崗位等因素xk(k=1，2，…，m)建立效用函數(shù)：

(5)

值得注意的是，Garin模型求得的解有可能不滿足約束條件，原因在于效用函數(shù)中參數(shù)xk的不同取值會(huì)造成不同小區(qū)人口和就業(yè)分布的變動(dòng)。一個(gè)明顯的事實(shí)是，如果xk中考慮j小區(qū)的擁擠情況的話會(huì)使結(jié)果滿足人口和土地限制條件。

同理，矩陣B可看成人口-就業(yè)生成矩陣，表示一定的人口分布產(chǎn)生相應(yīng)的服務(wù)需求，計(jì)算過(guò)程同A，那么B的計(jì)算表示為：

B=[bij′][bi]

(6)

(7)

從另一個(gè)角度考慮，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)的增長(zhǎng)，一方面受規(guī)模效應(yīng)的影響，即開始階段由于產(chǎn)業(yè)配套設(shè)施和產(chǎn)能等尚未完善，發(fā)展比較緩慢；隨著建設(shè)發(fā)展，規(guī)模效應(yīng)逐漸顯現(xiàn)出來(lái)，增長(zhǎng)速度變快；最后，區(qū)域發(fā)展完善，土地和人口限制作用表現(xiàn)出來(lái)，經(jīng)濟(jì)達(dá)到飽和狀態(tài)，增速放緩。因此可考慮用種群生長(zhǎng)模型對(duì)其進(jìn)行模擬，即：

(8)

式中：λ表示增長(zhǎng)系數(shù)矩陣。

就其計(jì)算方法而言，一般應(yīng)通過(guò)實(shí)際調(diào)查，收集城市不同區(qū)域基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展等數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸求解[9]，使計(jì)算結(jié)果盡可能擬合實(shí)際情況；M表示n維對(duì)角方陣，其對(duì)角線上的元素由每個(gè)小區(qū)的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)用地限制與該小區(qū)基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)數(shù)量之差。化簡(jiǎn)得：

(9)

式中：E(l)b表示基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)最大分布向量，其計(jì)算通過(guò)式(12)給出。

聯(lián)立式(7)和式(9)得：

(10)

(11)

式中：X，Y，Z為對(duì)角矩陣，元素分別表示基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)、服務(wù)產(chǎn)業(yè)和單位人口的用地面積；S，Su分別表示區(qū)域總面積和不能利用的土地面積。

因此，E(l)b的求解表述為以下線性規(guī)劃問(wèn)題：

MaxE(l)b

s.t.E(l)bX+E(l)b(I-AB)-1Y+

E(l)b(I-AB)-1AZ≤S-Su

E(l)b≥0

(12)

通過(guò)上述模型，可解出3個(gè)變量Gt，Et和Pt。其中：Gt反映了不同小區(qū)基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)的增長(zhǎng)率，也即區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度；Et和Pt則分別反映城市隨著時(shí)間t不斷變化著的人口和就業(yè)分布。

2.3 算 法

由上述模型分析可知，該模型算法本質(zhì)上是一個(gè)迭代過(guò)程，表述如下：

Step 3：判斷t≤T，若是則轉(zhuǎn)Step2，否則轉(zhuǎn)入Step4；

Step 4：終止算法，輸出Et，Pt，Gt。

值得注意的是，A，B為實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果，與其它輸入無(wú)關(guān)，因此作為已知數(shù)據(jù)給出；λ在模型中采取近似算法，參考式(13)；T為給定時(shí)間長(zhǎng)度，可理解為規(guī)劃年限，當(dāng)T趨向于無(wú)窮大時(shí)，可計(jì)算模型的邊界人口和就業(yè)分布。

3 算 例

式中：tij表示從小區(qū)i到j(luò)的距離，且tij由下述矩陣給出(注：tij=tji，表中沒(méi)有列出)。

表1 小區(qū)距離數(shù)據(jù)Table 1 Distance data between zones

(續(xù)表1)

1234567891042．006．0010．505．366．009．0010．7251．504．5011．363．006．007．7262．0015．226．683．863．8672．008．3611．3613．0882．003．004．7291．501．72102．00

矩陣[a]中對(duì)角元素取值為5，[b]中對(duì)角元素取值為0.2。

初始條件：

E(o)b=[4 500,5 000,3 000,2 500,3 500,

9 000,3 000,2 000,3 000,4 000]

土地限制矩陣S-Su取為行向量s(數(shù)據(jù)單位：km2)：s=[18,22,16,15,20,30,15,17,19,20]

X，Y，Z矩陣分別取對(duì)角元素為10，3，1的對(duì)角矩陣(數(shù)據(jù)單位：m2)。

由式(12)可求出各小區(qū)基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)限制向量E(l)b：

E(l)b=[8 746,11 513,6 028,6 196,8 789,

17 369,7 485,6 746,8 620,9 939]

對(duì)于系數(shù)矩陣λ的計(jì)算，在本模型中采用式(13)近似計(jì)算：

λ=diag((E(l)b-E(o)b)./[E(o)b(E(l)b-

(13)

在MATLAB R2011a環(huán)境下，對(duì)模型進(jìn)行了模擬求解：

1)取增長(zhǎng)系數(shù)矩陣λ=λ1,λ2,λ3對(duì)模型進(jìn)行模擬，討論不同系數(shù)矩陣對(duì)模型收斂的影響(此時(shí)最佳增長(zhǎng)系數(shù)矩陣λ1取值參考式(13)且取T=10)。

λ1=diag(0.222 2,0.2,0.333 3,0.4,0.285 7,0.111 1,0.333 3,0.5,0.333 3,0.25)×10-4

λ2=diag(0.3,0.4,0.3,0.5,0.3,0.4,0.3,0.2,

0.3,0.4)×10-4

λ3=diag(0.3,0.4,0.3,0.5,0.3,0.4,0.3,0.2,

0.3,0.4)×10-5

圖1表明在增長(zhǎng)系數(shù)矩陣λ取最佳值時(shí)(即λ=λ1)各小區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)發(fā)展比較穩(wěn)定，且以正常速度收斂于限制曲線；若增長(zhǎng)系數(shù)矩陣λ取值過(guò)大(即λ=λ2)，雖然收斂于限制曲線的速度較快，但是各小區(qū)發(fā)展不平衡；若增長(zhǎng)系數(shù)矩陣λ取值過(guò)小(即λ=λ3)，則以較慢的速度收斂于限制曲線。

圖1 不同增長(zhǎng)系數(shù)矩陣下的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)隨時(shí)間變化情況Fig.1 Basic-industry variation with time underdifferent growth factors

2)為敘述的簡(jiǎn)便，只給出小區(qū)j=1在上述模型下人口的長(zhǎng)期形態(tài)，并檢驗(yàn)其是否收斂于一個(gè)極限值，其它小區(qū)人口極限分布同理可求。

由圖2可知，在t﹡=6時(shí)人口基本上達(dá)到極值41 357，值得注意的是，理論上達(dá)到極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間t﹡應(yīng)該等于確定最佳增長(zhǎng)系數(shù)矩陣λ所取的時(shí)間t。圖2中t﹡≠t(t=10)，主要是由繪圖時(shí)人口數(shù)量坐標(biāo)軸坐標(biāo)間隔太大造成的。

圖2 人口隨時(shí)間變化Fig.2 Population variation with time

3)考慮增長(zhǎng)矩陣Gt與時(shí)間的關(guān)系，確定各個(gè)時(shí)期的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)速度，為繪圖的方便，在不影響結(jié)果的情況下把增長(zhǎng)矩陣Gt轉(zhuǎn)換為向量。

由圖3可以看出兩個(gè)明顯的規(guī)律：①隨著時(shí)間的增加，增長(zhǎng)矩陣取值越來(lái)越小，表明就長(zhǎng)期而言，基礎(chǔ)設(shè)施總量上逐步增加，但增速逐漸變慢；②增長(zhǎng)矩陣(向量)曲線越來(lái)越平，說(shuō)明就長(zhǎng)期而言，各小區(qū)逐步開發(fā)完善，人口和土地等得到充分利用。

圖3 增長(zhǎng)矩陣隨時(shí)間變化Fig.3 Increasing matrix variation with time

4 結(jié)論及展望

從算例的模擬結(jié)果來(lái)看，最終就業(yè)分布Et和人口分布Pt較好的滿足了原始勞瑞模型中有關(guān)人口和土地的限制條件，并給出了動(dòng)態(tài)增長(zhǎng)矩陣Gt的算法及其現(xiàn)實(shí)含義：即城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展過(guò)程對(duì)不同區(qū)域基礎(chǔ)設(shè)施的投資應(yīng)該具有怎樣的規(guī)律，以便達(dá)到城市總體發(fā)展均衡性的要求。但是，有關(guān)模型中參數(shù)的計(jì)算還值得進(jìn)一步研究，如增長(zhǎng)系數(shù)矩陣λ最佳值的求解，一般而言要通過(guò)搜集實(shí)際數(shù)據(jù)做回歸分析，算例中只提供了考慮時(shí)間因素的近似算法。

在實(shí)際的城市發(fā)展過(guò)程中，包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：①對(duì)既有的區(qū)域進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整(如居民區(qū)重建、產(chǎn)業(yè)搬遷等)；②進(jìn)行城市擴(kuò)張，實(shí)現(xiàn)多區(qū)域中心發(fā)展。對(duì)于結(jié)構(gòu)調(diào)整而言，本模型可用于分析調(diào)整前后人口和就業(yè)的分布情況；對(duì)于城市擴(kuò)張，本模型可用于研究新區(qū)投資對(duì)人口和就業(yè)的吸引。

本模型的建立可以看成兩個(gè)過(guò)程：①人口和就業(yè)的產(chǎn)生；②人口在空間的分配。其中人口和就業(yè)的產(chǎn)生是一個(gè)自增長(zhǎng)的過(guò)程，即一定的人口需求產(chǎn)生一定的就業(yè)崗位，就業(yè)又會(huì)引起新的人口增長(zhǎng)。人口在空間的分布通過(guò)構(gòu)建Logit模型，給出人口對(duì)居住區(qū)域選擇的概率分布。因此，為使模型更好的模擬現(xiàn)實(shí)城市區(qū)域發(fā)展與人口、就業(yè)分布情形，需要對(duì)人口和就業(yè)生產(chǎn)模型及人口分配模型進(jìn)行更加深入的研究。

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