張 榮花加鳳丁 兵

（1.江蘇省鹽城市水利勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院 鹽城 224000 2.長(zhǎng)江科學(xué)院河流研究所 武漢 430010）

長(zhǎng)江流域和淮河流域年徑流豐枯遭遇分析

張 榮1花加鳳1丁 兵2

（1.江蘇省鹽城市水利勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院 鹽城 224000 2.長(zhǎng)江科學(xué)院河流研究所 武漢 430010）

本文運(yùn)用Copula理論構(gòu)造了長(zhǎng)江流域大通站和淮河流域魯臺(tái)子站年徑流聯(lián)合分布，并用所建模型定量描述了長(zhǎng)江和淮河流域年徑流豐枯遭遇的概率。結(jié)果表明，應(yīng)用Copula方法來(lái)描述不同地區(qū)徑流豐枯變化是可行的。通過(guò)分析可知，長(zhǎng)江流域和淮河流域同為豐水年的概率為20.6%；同為枯水年19.4%；長(zhǎng)江流域?yàn)樨S水年的概率為37.7%；長(zhǎng)江流域?yàn)樨S水年，淮河流域?yàn)榭菟甑母怕蕿?.5%。可見(jiàn)，長(zhǎng)江流域和淮河流域年徑流具有豐枯補(bǔ)償特性，可以相機(jī)從長(zhǎng)江流域向淮河流域調(diào)水。

長(zhǎng)江流域 淮河流域 年徑流 Copula理論

一、引言

徑流豐枯遭遇分析對(duì)研究徑流補(bǔ)償特性具有重要的意義。鄭紅星等根據(jù)同步水文系列進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算，確定南水北調(diào)東、中兩線不同水文區(qū)降水豐枯的遭遇概率，但該法沒(méi)有考慮水源區(qū)與受水區(qū)之間大氣降雨的內(nèi)在聯(lián)系，理論上尚待完善。戴昌軍和梁忠民通過(guò)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)對(duì)正態(tài)變換等3種聯(lián)合分布計(jì)算方法進(jìn)行比較研究，并用正態(tài)變換的Mom法分析了南水北調(diào)東線徑流豐枯遭遇頻率。該法計(jì)算比較復(fù)雜，且在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換過(guò)程中難免會(huì)使一些信息失真。閆寶偉等運(yùn)用Copula方法理論構(gòu)造了南水北調(diào)中線工程水源區(qū)與各受水區(qū)汛期、非汛期及各年降雨量的聯(lián)合分布，并用所建模型對(duì)水源區(qū)與各受水區(qū)的豐枯遭遇進(jìn)行了研究。

本文采用Copula方法對(duì)長(zhǎng)江流域大通站和淮河流域魯臺(tái)子站年徑流的豐枯遭遇進(jìn)行研究，選取1956～1991年共36年年徑流系列，通過(guò)Copula函數(shù)構(gòu)造兩站年徑流的聯(lián)合分布，定量分析兩站的徑流豐枯遭遇概率。

二、基于Copula理論的聯(lián)合分布

Sklar定理：設(shè)X、Y為連續(xù)的隨機(jī)變量，邊緣分布函數(shù)為FX、FY，F(xiàn)（x，y）為變量X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)，如果FX、FY連續(xù)，則存在唯一函數(shù)Cθ（u，v）使得：

式中：Cθ（u，v）為Copula函數(shù)，θ為待定參數(shù)。

3種比較常用的阿基米德Copula函數(shù)及參數(shù)θ的范圍如下：

GumbelCopula函數(shù)：exp{-〔（-lnu）1/θ+（-lnv）1/θ〕θ}，0≤θ≤1

基于Copula理論聯(lián)合分布的建立，一個(gè)完整的水文事件一般包含多個(gè)水文變量，而多個(gè)變量間往往存在一定的相關(guān)性，Copula理論正是通過(guò)構(gòu)造聯(lián)合分布來(lái)描述這種相關(guān)結(jié)構(gòu)的。具體應(yīng)用包括以下幾個(gè)步驟：（1）確定各水文變量的邊緣分布；（2）構(gòu)建聯(lián)合分布的似然最大函數(shù)，采用加速遺傳算法率定參數(shù)θ；（3）根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)選擇Copula函數(shù)，建立聯(lián)合分布；（4）根據(jù)所建分布進(jìn)行相應(yīng)分析。

三、聯(lián)合分布模型的建立

1.邊際分布函數(shù)的選定

我國(guó)水文分析中一般假定洪量服從P—Ⅲ分布，其概率密度函數(shù)為：

其中：r（α）為伽瑪函數(shù)；α、β、a0分別為形狀、尺度和位置參數(shù)?？梢酝谱C三者與常用統(tǒng)計(jì)參數(shù)x、CV、CS之間的關(guān)系：

文中采用線性矩法估計(jì)上述參數(shù)，并根據(jù)目估適線作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，可得到大通站和魯臺(tái)子站年徑流的常用統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)，見(jiàn)表1。

表1 大通站和魯臺(tái)子站年徑流分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果

根據(jù)Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗(yàn)法檢驗(yàn)大通站和魯臺(tái)子站年徑流的分布函數(shù)是否符合要求，得到統(tǒng)計(jì)量D分別為0.09和0.05，小于顯著水平位0.05的D值0.21，則接受兩者年徑流為選定的P-Ⅲ型邊際分布。

2.用極大似然估計(jì)計(jì)算Copula模型的參數(shù)

一般地，聯(lián)合分布函數(shù)的密度函數(shù)為：

式中：θc為Copula函數(shù)的1×mc維參數(shù)向量；fn（xn；θn）為邊緣分布函數(shù)；θn為邊緣分布函數(shù)Fn（xn；θn）的1× mn維參數(shù)向量；θ=（θ1，θ2，…θN；θc）'；n=1，2，…，N。

因此，可以得到使樣本（x1t，x2t，…，xNT），t=1，2，…，T的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

使似然函數(shù)取最大值的θ即是最大似然估計(jì)值。

而且Copula技術(shù)建模的特點(diǎn)是其極適合于采用多階段估計(jì)法，很多學(xué)者的實(shí)證都表明采用一步極大似然估計(jì)法和兩階段極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)Copula模型，得到的參數(shù)估計(jì)值差異不顯著，所以一般采用兩階段極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)Copula模型的參數(shù)。即首先分別估計(jì)出邊緣分布的參數(shù)θ1，θ2，…θN，然后將其估計(jì)值作為已知參數(shù)代入Copula函數(shù)中，進(jìn)而估計(jì)Copula函數(shù)中的參數(shù)。兩階段極大似然函數(shù)估計(jì)使得Copula模型參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。

采用Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗(yàn)來(lái)評(píng)價(jià)聯(lián)合分布計(jì)算頻率與聯(lián)合觀測(cè)值經(jīng)驗(yàn)頻率的擬合程度，其統(tǒng)計(jì)量D計(jì)算如下：

式中：F（xi，yi）為（xi，yi）的聯(lián)合分布；m（i）為聯(lián)合觀測(cè)值樣本中滿(mǎn)足條件x≤xi且y≤yi的聯(lián)合觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。

采用離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）來(lái)評(píng)價(jià)Copula方法的有效性，并選取OLS最小的Copula作為聯(lián)接函數(shù)。OLS的計(jì)算公式如下：

式中：Pei、Pi分別為經(jīng)驗(yàn)頻率和計(jì)算頻率。

由大通站與魯臺(tái)子站年徑流的組合分布得出各Copula的參數(shù)及評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算結(jié)果如表2。

表2 各Copula參數(shù)及評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

所選3種函數(shù)均能通過(guò)K-S檢驗(yàn)，因GumbelCopula函數(shù)可用于描述具有上文相關(guān)特性的相關(guān)關(guān)系，且OLS最小，因此選用GumbelCopula函數(shù)作為聯(lián)結(jié)函數(shù)，表達(dá)形式為：

計(jì)算分布與經(jīng)驗(yàn)頻率擬合值見(jiàn)圖1。

圖1 計(jì)算分布與經(jīng)驗(yàn)頻率擬合值

四、結(jié)果分析

根據(jù)以上所建聯(lián)合分布模型，可以求出長(zhǎng)江大通站和淮河魯臺(tái)子站年徑流遭遇概率，圖2給出了長(zhǎng)江大通站和淮河魯臺(tái)子站年徑流的聯(lián)合分布等值線圖。

圖2 大通站與魯臺(tái)子站年徑流遭遇

根據(jù)上述所建立的聯(lián)合分布模型對(duì)大通站和魯臺(tái)子站豐枯頻率進(jìn)行分析。規(guī)定其豐枯指標(biāo)分別為豐水頻率pf=62.5%，枯水頻率pk=27.5%。分四種情況進(jìn)行討論，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 長(zhǎng)江流域和淮河流域年徑流遭遇分析

可見(jiàn)，長(zhǎng)江流域和淮河流域同為豐水年的概率20.6%；同為枯水年19.4%；長(zhǎng)江流域?yàn)樨S水年，淮河流域?yàn)槿我饽甑母怕蕿?7.7%；長(zhǎng)江流域?yàn)樨S水年，淮河流域?yàn)榭菟甑母怕蕿?.5%。因此，長(zhǎng)江流域和淮河流域年徑流具有豐枯補(bǔ)償特性，可以相機(jī)從長(zhǎng)江流域向淮河流域調(diào)水■