商國軍，王繼強，胡歡，趙明宇，彭利方，胡忠志

(南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，江蘇南京210016)

一種改進航空發(fā)動機控制器性能的非線性設(shè)計方法

商國軍，王繼強，胡歡，趙明宇，彭利方，胡忠志

(南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，江蘇南京210016)

為提高航空發(fā)動機某工作點的模型精度，并拓寬航空發(fā)動機在該工作點控制包線的范圍，可應(yīng)用非線性模型來描述該工作點的動態(tài)過程?；谠摲蔷€性模型，首先應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性定理設(shè)計出一組控制器，然后應(yīng)用廣義Gronwall-Bellman引理的方法完成該控制器性能驗證。仿真研究表明：系統(tǒng)響應(yīng)速度快，能有效抑制干擾，具有良好的跟蹤性和魯棒性，驗證了該設(shè)計方法的有效性。

航空發(fā)動機；控制器；非線性模型；非線性控制；Lyapunov理論；廣義Gronwall-Bellman引理

1 引言

航空發(fā)動機是一個復(fù)雜的熱動系統(tǒng)，其本質(zhì)是一個強非線性對象，在飛行包線內(nèi)參數(shù)變化范圍大，所以用基于線性模型設(shè)計的控制規(guī)律不能很好地滿足系統(tǒng)變工況運行的需要[1]，只能由非線性過程模型來描述，這就需要用非線性控制技術(shù)來進行控制系統(tǒng)的設(shè)計研究。

目前，已被廣泛采用的非線性控制方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆控制[2]、非線性自適應(yīng)控制[3]、非線性預(yù)測控制[4]等。上述方法的應(yīng)用，可使系統(tǒng)有效抑制干擾、快速跟蹤并具有很強的魯棒性能。但通常采用的非線性控制設(shè)計方法雖然可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但并不能事先預(yù)知其控制性能，只能通過設(shè)計后驗證。

因此，本文將采用兩種非線性設(shè)計技術(shù)相結(jié)合的方式，進行航空發(fā)動機非線性控制設(shè)計研究。該方法主要是為了有效改進航空發(fā)動機控制系統(tǒng)的性能，即首先在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，用Lyapunov理論設(shè)計出控制器，使所設(shè)計的控制器可被限定在一定范圍內(nèi)選取，極大地減小了控制器選取的盲目性；然后對在該范圍內(nèi)任選的一組控制參數(shù)，通過應(yīng)用廣義Gronwall-Bellman引理的方法對系統(tǒng)變量的收斂速度進行預(yù)先分析，并驗證所選控制器的優(yōu)劣性。

2 航空發(fā)動機非線性控制設(shè)計方法

2.1 Lyapunov理論

Lyapunov理論[5～7]可分為間接法和直接法，本文采用直接法來研究航空發(fā)動機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。其思路是根據(jù)一個Lyapunov函數(shù)變化情況來對系統(tǒng)穩(wěn)定性做出判斷，判斷方法可依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理。

定理1如果在一個球BR0內(nèi)，存在一個標(biāo)量函數(shù)V(x)，它具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且

(1)V(x)正定(在球BR0內(nèi))；

2.2 廣義Gronwall-Bellman引理

廣義Gronwall-Bellman引理[8，9]的內(nèi)容為：

如果有不等式

成立，則?t∈[a,b]有

式中：a、b、k∈R，其中0≤a＜b，k＞0；整數(shù)l＞1。由上述不等式可知，在適當(dāng)條件下，能對x(t)的邊界特性進行調(diào)節(jié)。

3 航空發(fā)動機非線性控制理論研究

航空發(fā)動機的非線性模型[10，11]可表示為：

式中：x為系統(tǒng)狀態(tài)量，u為控制輸入量，y為系統(tǒng)輸出量。在某一確定的穩(wěn)態(tài)點，通過泰勒級數(shù)展開，狀態(tài)空間模型的表達式為：

本文選用的模型是將燃油流量比Wf及噴口面積A8作為控制量，將壓氣機及風(fēng)扇轉(zhuǎn)速n2、n1作為狀態(tài)量，則狀態(tài)方程可表示為：

方程中的參數(shù)可通過偏導(dǎo)數(shù)法[12]或擬合法[13，14]求得。

顯然，上述模型只在穩(wěn)態(tài)工作點有效。因此，為得到更大包線內(nèi)的控制模型，其中一種方法是為模型添加非線性項來修正線性模型。如：

式中：G(·)為一般的非線性項，靜態(tài)反饋控制

將式(6)、式(7)代入式(9)得：

使定理1成立的條件將在下一節(jié)討論。下面應(yīng)用廣義Gronwall-Bellman引理方法研究航空發(fā)動機非線性控制設(shè)計。

假設(shè)：非線性狀態(tài)方程(6)滿足條件：

(1)矩陣(A,B)是穩(wěn)定的；

(2)存在一個整數(shù)q≥1，使

其中γ為正常數(shù)，可以此來調(diào)節(jié)系統(tǒng)指數(shù)性能。在此基礎(chǔ)上，要使被控制系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，需滿足：矩陣(A+BK)所有的特征根具有嚴(yán)格的負(fù)實部且初始狀態(tài)

這里常數(shù)M＞0，λ＜0且

文獻[9]中對式(14)給出了詳細(xì)的證明過程。說明：‖x(t)‖可由標(biāo)量常數(shù)M、λ、γ和q來調(diào)節(jié)，γ和q由非線性項G(x)估算出，而靜態(tài)增益K的選擇將決定M和λ的值。

4 航空發(fā)動機非線性控制數(shù)值研究

4.1 基于Lyapunov理論的研究

采用文獻[15]中某型渦扇發(fā)動機的線性模型，該模型以高空(H=5.0 km，Ma=1.0)某工作點通過擬合法求得。在此模型基礎(chǔ)上加入非線性項可表示為：

定理2控制器參數(shù)K值在以某橢圓為邊界線的內(nèi)部選取，可保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明：由定理1可知，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在約束條件下漸進穩(wěn)定的條件是：①V(x)＞0；②。將矩陣P代入式(8)有V(x)=xΤPx=x12+x22＞0，條件①成立。下面研究使條件②成立的條件。

由于式(15)已做歸一化處理，故x1、x2表示高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化百分比，則-1≤x1≤1，-1≤x2≤1。將式(16)及式(15)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣代入式(10)并配方得：

由式(18)可畫圖1所示圖形。顯然，由式(18)可知，k1、k2、k3、k4所有可能值均在橢圓內(nèi)部選取，即在圖1的左邊橢圓中選取k1、k3，在右邊橢圓中選取k2、k4。因此，在橢圓內(nèi)部選取控制器參數(shù)可保證系統(tǒng)穩(wěn)定，得證。

圖1 控制器參數(shù)的選擇范圍Fig.1 Range of feasible controller parameter

矩陣K的選取原則是應(yīng)盡量使‖K‖最小，即橢圓中距離原點最近的點。因為‖K‖越小，可使系統(tǒng)輸入量u越小，系統(tǒng)不容易飽和。據(jù)此，選擇圖1中左圖原點(0，0)及右圖點(-0.5，0)并將其帶入式(18)，可使不等式恒成立，驗證了K值選取的正確性。即。由于K的選取具有一定的自由度，當(dāng)選擇該組控制器后，無法立即知道其閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能。因此，本文將在下文中應(yīng)用廣義Gronwall-Bellman引理方法對系統(tǒng)收斂速度進行分析，以進一步討論該控制器的性能優(yōu)劣。

4.2 基于廣義Gronwall-Bellman引理的研究

4.2.1 調(diào)節(jié)器性能

根據(jù)式(11)及式(16)，可取γ=2和q=2；開環(huán)狀態(tài)方程的特征根為λ1=-2.994+1.1726i，λ2=-2.994-1.1726i，，則閉環(huán)狀態(tài)方程的特征根為λ1=-3.485 2+0.867 4i，λ2=-3.485 2-0.867 4i。根據(jù)式(13)，可取M=1，λ=-3.4，初始狀態(tài)的范圍由式(12)得‖x0‖＜1.7。

在初始狀態(tài)為x0=[-0.8-1.2]T(則‖x0‖=1.4422＜1.7)時對系統(tǒng)進行仿真，x(t)的瞬態(tài)性能如圖2所示，圖中也繪出了開環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的瞬態(tài)響應(yīng)。可見，系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)反饋的作用下，調(diào)節(jié)時間短，響應(yīng)快，能有效抑制干擾，控制系統(tǒng)性能得到明顯改善。

圖2 狀態(tài)信號瞬態(tài)響應(yīng)比較Fig.2 Comparison of state signals transient response

圖3 帶理論邊界的‖x(t)‖的瞬態(tài)響應(yīng)比較Fig.3 Comparison of transient response for‖x(t)‖with theoretical bound

圖4 輸出信號的調(diào)節(jié)性能比較Fig.4 Comparison of regulation performance of output signals

4.2.2 跟蹤性和魯棒性

在一定飛行高度和速度下，同時給Wf及A8值為0.1的階躍信號，即系統(tǒng)輸入量從零增加到10%，系統(tǒng)輸出變量的性能如圖5所示。為便于比較，圖中也繪出相應(yīng)線性系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。具體討論如下：

(1)首先比較非線性系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)控制，可明顯看出系統(tǒng)具有良好的跟蹤性；其次考慮線性系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)控制，在相同狀態(tài)反饋控制下，系統(tǒng)仍具有較好的瞬態(tài)響應(yīng)性能，也表明系統(tǒng)具有良好的跟蹤性。

(2)通過非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的比較可注意到，原線性系統(tǒng)所引入的非線性項可作為對線性系統(tǒng)的一種干擾，但其并不影響系統(tǒng)性能，表明系統(tǒng)具有較好的魯棒性。

(3)真實系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)由非線性系統(tǒng)來表示，盡管非線性項的引入增加了變量ΔP36在初始時刻的振蕩，但狀態(tài)反饋控制減小了振蕩幅值，且增加了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。閉環(huán)非線性系統(tǒng)與閉環(huán)線性系統(tǒng)的性能比較表明，系統(tǒng)性能損失有限度。這說明所提出的設(shè)計方法可適應(yīng)對象大范圍變化，這也正是控制系統(tǒng)所期望的特性。

圖5 跟蹤性能比較Fig.5 Tracking performance of the proposed design

5 結(jié)論

本文應(yīng)用兩種非線性方法相結(jié)合的方式，對航空發(fā)動機控制系統(tǒng)進行了設(shè)計研究。即首先應(yīng)用Lyapunov理論，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，設(shè)計出系統(tǒng)的控制器；然后應(yīng)用廣義Gronwall-Bellman引理對系統(tǒng)的收斂速度進行分析，以進一步驗證所選控制器的性能。研究結(jié)果表明：系統(tǒng)響應(yīng)速度快，并具有較好的跟蹤性及魯棒性，不但獲得了期望的性能，而且該方法可適應(yīng)對象在控制包線內(nèi)大范圍變化，可有效改進航空發(fā)動機非線性控制系統(tǒng)的性能。

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Nonlinear Design Method for Improving Aero-Engine Control Performance

SHANG Guo-jun，WANG Ji-qiang，HU Huan，ZHAO Ming-yu，PENG Li-fang，HU Zhong-zhi
(College of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

In order to improve the model accuracy of the aero-engine in an operating point and extend the control envelope around the operating point,one strategy can be sought to apply nonlinear model to describe the dynamic characteristics.Firstly,a nonlinear controller can be obtained for the aero-engine using Lyapu?nov stability theorem.Then Generalized Gronwall-Bellman lemma is used to validate the controller perfor?mance.Finally,the simulation study shows that the proposed design can provide fast transient response, good tracking performance and robustness,and reject the disturbance effectively to validate the effective?ness of the control design approach.

aero-engine；controller；nonlinear model；nonlinear control；Lyapunov theory；generalized Gronwall-Bellman lemma

V223.7

：A

：1672-2620(2014)03-0039-05

2013-09-04；

：2013-12-12

南京航空航天大學(xué)青年科技創(chuàng)新基金(NS2013020)

商國軍(1988-)，男，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士研究生，研究領(lǐng)域為航空發(fā)動機控制與仿真。