尚 進(jìn), 李亞安, 蔚 婧, 李曉花

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基于序貫算法的無偏最小二乘估計純方位目標(biāo)跟蹤

尚 進(jìn), 李亞安, 蔚 婧, 李曉花

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安, 710072)

測量方程的非線性是純方位角跟蹤研究的難點。為了解決傳統(tǒng)偽線性估計結(jié)果存在嚴(yán)重有偏性這一問題, 提出了一種基于偽線性估計的無偏估計方法, 即在偽線性方程中利用約束最小二乘估計, 它不需要對初始值進(jìn)行假設(shè), 且收斂效果良好。采用序貫濾波方法對估計量作批處理濾波以減少運(yùn)算量, 提高了運(yùn)算效率。仿真結(jié)果表明, 利用該方法得到的估計量在高斯噪聲下能很好地逼近理想狀態(tài), 且收斂速度較快, 比擴(kuò)展卡爾曼濾波具有更好的跟蹤精度及收斂速度, 在目標(biāo)高速運(yùn)動時仍能保持較好的跟蹤效果。

純方位; 偽線性估計; 約束最小二乘; 序貫算法; 無偏估計

0 引言

純方位目標(biāo)跟蹤(bearing-only tracking, BOT)在過去幾十年中一直是研究的重點與難點[1-6]。BOT屬于典型的被動跟蹤, 為目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的一個重要分支。它是在被動測量的情況下, 僅僅利用目標(biāo)的方位信息, 估計目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)的過程。測量方程的非線性是純方位角跟蹤研究的重點與難點。Lindgern和Gong[1]提出偽線性估計(pseudo- linear estimation, PLE)來解決這一問題, 然而加了噪聲的觀測量會出現(xiàn)在測量矩陣中, 從而導(dǎo)致嚴(yán)重的偏差[7]。

為克服偏差所帶來的影響, Aidala和Hammel提出了修正極坐標(biāo)的純方位目標(biāo)跟蹤[8], 結(jié)果顯示, 所估計的狀態(tài)向量在修正極坐標(biāo)下呈漸進(jìn)無偏。Passerieux[9]和Chan[7]利用輔助變量(ins- trumental variable, IV)算法, 理論上可以消除偏差, 然而關(guān)鍵的問題是如何選取合適的輔助變量。另一種消除偏差的方法是最大似然估計(maximum likelihood estimator, MLE)[10]。此方法使用梯度搜索, 但是收斂效果取決于給定的初始條件和步長的選取[2, 11]。經(jīng)典算法中, 廣泛應(yīng)用的是擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kamlman filter, EKF)[12], 但可能存在協(xié)方差崩潰的現(xiàn)象, 且EKF對于初值十分敏感, 容易產(chǎn)生無法收斂的結(jié)果。

1 純方位目標(biāo)運(yùn)動問題描述

圖1 觀測角度, 觀測站及目標(biāo)位置示意圖

交叉相乘得

測量向量

測量矩陣

2 最小二乘無偏估計方法

把式(11)和式(12)帶入式(5),得

其中

首先, 定義一個增廣測量矩陣

和一個增廣解向量

則

其中

用拉格朗日乘數(shù)法可以解決約束條件最小化的問題[2]。構(gòu)造輔助代價函數(shù)

3 序貫估計算法

由式(6), 式(7)和式(18)得

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 假設(shè)觀測站和目標(biāo)均為潛艇

圖2 目標(biāo)與觀測站位置示意圖

Fig. 2 Schematic of positions of target and observer

圖3 觀測噪聲= 1°時潛艇-潛艇跟蹤軌跡示意圖

Fig. 3 Schematic of trajectory of a submarine tracking target submarine when observing noise=1°

圖4 s =1°時潛艇-潛艇位置估計均方根誤差

圖5 s =2°時潛艇-潛艇位置估計均方根誤差

圖6 s =1°時潛艇-潛艇速度估計均方根誤差

圖7 s=2°時潛艇-潛艇速度估計均方根誤差

4.2 假設(shè)觀測站為潛艇和目標(biāo)為高速運(yùn)動魚雷

圖8 s =1°時潛艇-魚雷跟蹤軌跡

圖9 s =1°時潛艇-魚雷位置估計均方根誤差

圖10 s =2°時潛艇-魚雷位置估計均方根誤差

圖11 s =1°時潛艇-魚雷速度估計均方根誤差

圖12 s =2°時潛艇-魚雷速度估計均方根誤差

仿真中由于先以前50個采樣點作為一組數(shù)據(jù)得到初始化的值, 再進(jìn)行序貫估計, 故得到初始值之前的前50個計算數(shù)值與誤差較大, 得到仿真初值后再濾波, 誤差則趨于穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

本文對于勻速直線運(yùn)動的目標(biāo)提出了一種無偏估計方法。此方法利用在約束條件下的最小二乘估計算法, 使得結(jié)果呈現(xiàn)無偏, 并且不需要假設(shè)初始值。當(dāng)有新的測量值時, 序貫估計方法用來更新解向量。當(dāng)在開始計算出一個解時, 序貫算法不需要在隨后的每一步估計中再進(jìn)行廣義特征值分解, 這樣大大提高了計算的效率。與EKF 算法相比, 本文算法在位置和速度均方根誤差精度上, 都有很大的提高, 并且收斂速度更快, 對高速運(yùn)動目標(biāo)的跟蹤仍有良好的可靠性。

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(責(zé)任編輯: 楊力軍)

Unbiased Least Square Estimation for Bearings-Only Target Tracking Based on Sequential Algorthm

SHANG JinLI Ya-anYU JingLI Xiao-hua

(College of Marine Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Bearings-only target tracking attempts to obtain a target trajectory only based on bearings measurements. This problem is difficult because the measurement equations are nonlinearly related to the target parameters. The pseudolinear estimation provides a linearized measurements equation, however the estimation result is severely biased. In order to deal with this problem, this paper proposes an unbiased estimation method with good convergence property, in which constraint least squares minimization is applied to the pseudolinear estimation without assuming initial values. The sequential filtering algorithm is employed for batch processing of the estimator, thus the estimation accuracy is improved and the computation is reduced. Simulation result shows that the proposed algorithm gets higher tracking accuracy and faster convergence speed than the extended Kalman filter, the obtained estimator approaches the perfect state in the condition of Gaussian noise rapidly and keeps steady when the target is moving at a high speed.

bearings-only; pseudolinear estimation; constraint least squares; sequential algorithm; unbiased estimation

TJ630.34

A

1673-1948(2014)01-0020-06

2013-06-06;

2013-09-01.

國家自然科學(xué)基金(51179157).

尚 進(jìn)(1989-), 男, 在讀碩士, 主要研究方向為水下目標(biāo)跟蹤.