陳馳陽(yáng)， 鄧志祥， 王保云

1.南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，南京210003

2.東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096

3.南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210003

無(wú)線信道的廣播特性為節(jié)點(diǎn)間的協(xié)作提供了便利，但同時(shí)也使得通信容易遭到惡意節(jié)點(diǎn)的竊聽.香農(nóng)首先在文獻(xiàn)[1]中提出了信道容量和信息速率的基本概念，并從信息論角度采用一種無(wú)噪聲信道研究了密碼學(xué)的理論模型.香農(nóng)證明了只要密鑰K的熵不小于消息的熵，就可以使用一次一密亂碼本的方案實(shí)現(xiàn)安全通信，并且將安全容量定義為在竊聽者不能譯出任何消息的前提下，信道所能達(dá)到的最大傳輸速率.文獻(xiàn)[2]考慮到信道傳輸?shù)牟淮_定性提出了三節(jié)點(diǎn)竊聽信道，以疑義速率區(qū)域來(lái)衡量主信道速率和竊聽者對(duì)消息的疑義度.當(dāng)疑義速率無(wú)限接近于信息速率時(shí)，稱為絕對(duì)安全速率.文獻(xiàn)[3]推廣了文獻(xiàn)[2]的結(jié)論，研究了有保密消息的廣播信道中的安全通信.

另外，無(wú)線信道的開放特性可以為節(jié)點(diǎn)間的協(xié)作通信提供條件.文獻(xiàn)[4]首先提出了中繼信道，引入中繼節(jié)點(diǎn)來(lái)幫助源和目的節(jié)點(diǎn)間的通信.文獻(xiàn)[5]提出了譯碼前傳(decode-and-forward,DF)和壓縮前傳(compress-and-forward,CF)兩個(gè)基礎(chǔ)性的中繼策略，得到了退化信道和逆退化信道的容量，并給出了一般中繼信道的容量上界.文獻(xiàn)[6]提出了四節(jié)點(diǎn)中繼-竊聽信道，比較了幾種常用的中繼策略在安全約束條件下的性能，得到了以下結(jié)論：即使竊聽信道比主信道好，通過(guò)中繼節(jié)點(diǎn)的協(xié)作也可以實(shí)現(xiàn)正的安全通信速率.文獻(xiàn)[7]則研究了多級(jí)中繼-竊聽信道的安全通信問(wèn)題，得到了多級(jí)中繼-竊聽信道的可達(dá)安全速率.文獻(xiàn)[8-12]主要研究了不同中繼策略的傳輸性能和安全性能，如AF和DF等中繼策略.若采用傳統(tǒng)的AF中繼策略，則中繼節(jié)點(diǎn)僅對(duì)其接收到的信號(hào)進(jìn)行線性放大后發(fā)送，故無(wú)法充分利用信道資源.為此，文獻(xiàn)[13]提出了分段線性中繼的概念，于是中繼函數(shù)不再是簡(jiǎn)單的線性函數(shù).中繼根據(jù)其接收信號(hào)的強(qiáng)度選擇不同的放大系數(shù)，對(duì)分段線性的中繼函數(shù)各段參數(shù)的優(yōu)化可以逼近最優(yōu)中繼函數(shù)，從而達(dá)到接近CF策略的可達(dá)碼率，但其復(fù)雜度低于DF和CF.文獻(xiàn)[14]研究?jī)商€性中繼信道的可達(dá)速率，并給出了中繼輸出為接收信號(hào)線性疊加情況下的可達(dá)速率.

本文針對(duì)有外在竊聽者的正交中繼-竊聽信道的安全通信問(wèn)題，研究了能夠使得安全速率趨于最大的瞬時(shí)中繼的最優(yōu)中繼函數(shù)形式.非線性最優(yōu)中繼函數(shù)的形式往往難以得到或難以表達(dá)，于是本文采用文獻(xiàn)[13]提出的分段線性函數(shù)作為中繼函數(shù)，給出了分段線性中繼策略下的正交中繼-竊聽信道的可達(dá)安全速率的表示形式，通過(guò)數(shù)值計(jì)算以及對(duì)分段線性函數(shù)各段參數(shù)的優(yōu)化得到了最優(yōu)或次優(yōu)的可達(dá)安全速率.

1 瞬時(shí)正交中繼-竊聽信道模型

正交中繼-竊聽信道模型如圖1所示，源-中繼節(jié)點(diǎn)以及源-目的節(jié)點(diǎn)信道是信道1，以實(shí)線標(biāo)記；中繼節(jié)點(diǎn)-目的節(jié)點(diǎn)信道是信道2，以虛線標(biāo)記.信道1與信道2相互正交.竊聽者同時(shí)竊聽信道1和信道2的消息.符號(hào)x∈X以及xr∈Xr分別表示源和中繼的輸出.中繼、目的節(jié)點(diǎn)以及竊聽節(jié)點(diǎn)的接收符號(hào)分別表示為yr∈Yr，(y1,y2)∈Y1×Y2，(ye1,ye2)∈Ye1×Ye2.設(shè)信道是離散無(wú)記憶的，則該信道模型可用如下的條件轉(zhuǎn)移概率函數(shù)表示：

圖1 正交中繼-竊聽信道模型Figur e 1 Orthogonal relay-eavesdropper channel model

源節(jié)點(diǎn)通過(guò)編碼(M,n)發(fā)送消息w∈W={1,2,···,M}，(M,n)編碼構(gòu)成如下：

1)源節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)編碼器φ:W→xn；

2)中繼編碼函數(shù)φr,i:(yr,1,yr,2,···,yr,i)→xr,i，本文限定為瞬時(shí)中繼，中繼輸出僅與當(dāng)前輸入相關(guān)，即xr,i=φr,i(yr,i)；

平均差錯(cuò)概率定義為

消息需要對(duì)竊聽者保密，保密程度用疑義度表示，竊聽節(jié)點(diǎn)的疑義碼率定義為：Re=(1/n)H(W|,)，當(dāng)存在編碼(M,n)使得對(duì)于任意ε＞0，當(dāng)n→∞時(shí)，式(2)成立，則稱絕對(duì)安全速率Rs是可達(dá)的

安全容量為滿足(2)的最大安全碼率.

2 分段線性正交中繼-竊聽信道的可達(dá)安全速率

2.1 瞬時(shí)正交中繼-竊聽信道的可達(dá)安全速率

分段線性正交中繼-竊聽信道是瞬時(shí)正交中繼-竊聽信道的一種特殊情況，為分析其可達(dá)安全速率，本節(jié)將首先得到一般離散無(wú)記憶瞬時(shí)正交中繼-竊聽信道的可達(dá)安全速率的表示形式，如定理1所示.

證明 對(duì)于(2nR,n)編碼，當(dāng)R＜I(X;Y1,Y2)，n→∞時(shí)，目的節(jié)點(diǎn)對(duì)消息的譯碼差錯(cuò)概率可以任意小，設(shè)此錯(cuò)誤概率為ε1，則由費(fèi)諾不等式可得

疑義度的計(jì)算如下：

其中

(a)由鏈?zhǔn)綔?zhǔn)則得到；

(b)由編碼規(guī)則φ:W→xn；

(c)由于信道是瞬時(shí)無(wú)記憶的，信道的輸出只取決于當(dāng)前時(shí)刻輸入.

同理可以證明

于是可以得到

證畢.

2.2 分段線性高斯正交中繼-竊聽信道的可達(dá)安全速率

2.2.1 高斯信道模型及分段線性函數(shù)

考慮如圖2所示的高斯正交中繼-竊聽信道，信道的輸入輸出滿足以下關(guān)系：

式中，hij為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的信道增益，并且zr、z1、z2、ze1、ze2是兩兩相互獨(dú)立的均值為0、方差為1的高斯加性白噪聲，源節(jié)點(diǎn)的發(fā)送功率受限為Ps，即，中繼節(jié)點(diǎn)的發(fā)送功率受限為Pr，即

圖2 高斯正交中繼-竊聽信道模型Figure 2 Gaussian orthogonal relay-eavesdropper channel model

在傳統(tǒng)AF策略中，中繼函數(shù)φr(yr)=γyr，γ的選擇滿足中繼的功率受限條件，中繼的發(fā)送信號(hào)與其接收信號(hào)為線性關(guān)系.雖然AF策略復(fù)雜度較低，但AF策略無(wú)法與信道狀態(tài)匹配，故在大多數(shù)通信場(chǎng)合下是次優(yōu)的.文獻(xiàn)[13]提出了非線性中繼的概念，即φr(yr)是yr的非線性函數(shù).非線性的中繼策略可以在給定的功率限制條件下更充分地利用信號(hào)空間傳輸信息，然而確切的最優(yōu)非線性函數(shù)的形式往往難以表達(dá)，于是文獻(xiàn)[13]提出了通過(guò)分段線性函數(shù)逼近最優(yōu)的非線性函數(shù)，其基本思想是：根據(jù)接收信號(hào)yr的強(qiáng)度將其分為多個(gè)區(qū)間，使每段區(qū)間內(nèi)的中繼函數(shù)是形式為aiyr+bi的線性函數(shù)，對(duì)每段的參數(shù)ai和bi進(jìn)行優(yōu)化可以得到逼近最優(yōu)非線性函數(shù)性能的分段線性表示.為便于分析，可將分段線性函數(shù)表示為[13]

式中，t1＜t2＜···＜tN+1.分段線性中繼函數(shù)涉及3個(gè)系數(shù)的集合：

顯然，AF是令a1=···=aN=γ，b1=···=bN=0的特殊情況，因此AF的性能是分段線性中繼性能的下界.

2.2.2 分段線性高斯中繼-竊聽信道的可達(dá)安全速率

如前所述，非線性的中繼函數(shù)有助于提高信道的可達(dá)速率.采用分段線性中繼函數(shù)，并根據(jù)定理1可將信道的可達(dá)安全速率表示為

根據(jù)定理1可得

由文獻(xiàn)[13]得到以下條件概率密度函數(shù)：

式中

式中

p(ye2|ye1)、p(ye2|x)分別與p(y2|y1)、p(y2|x)的形式相同.

根據(jù)p(ye2|ye1)、p(ye2|x)、p(y2|y1)、p(y2|x)以及式(11)可以計(jì)算Rs的數(shù)值，并對(duì)分段線性函數(shù)的各段參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以得到最大的安全速率.然而，該優(yōu)化問(wèn)題是非凸的，本文將采用迭代二維網(wǎng)格搜索法進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化算法將在仿真部分詳述.

3 仿真與分析

本節(jié)將通過(guò)仿真比較分段線性中繼與AF、DF中繼策略下信道的可達(dá)安全速率.信道增益表示為hij=，其中dij為節(jié)點(diǎn)i和j之間的距離，g＞1為信道的衰減系數(shù).網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示，源節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，目的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，竊聽者坐標(biāo)為(0,1)，中繼節(jié)點(diǎn)在x軸上移動(dòng)，其坐標(biāo)可以表示為(x,0).

圖3 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銯igure 3 Network topology

對(duì)分段線性中繼各段參數(shù)優(yōu)化的迭代網(wǎng)格搜索算法如下：

初始化 設(shè)源節(jié)點(diǎn)功率Ps=10，中繼節(jié)點(diǎn)功率Pr=10，信道衰落系數(shù)g=2，選擇初始分段數(shù)量N=Nint=4，將區(qū)間平均分成50段作為集合A和B；再將區(qū)間平均分成N段作為集合T，設(shè)定迭代次數(shù)K=10；最后設(shè)置分段線性函數(shù)表達(dá)式(8)中的系數(shù)ai=a，b1=b2=···=bN=0，a的取值使得中繼函數(shù)滿足中繼節(jié)點(diǎn)的功率限制條件.

步驟1 分段迭代

在滿足式(10)所示的功率受限條件下，利用式(11)～(20)以及p(ye2|ye1)和p(ye2|x)計(jì)算安全速率，得到使得安全速率最大的ai和bi作為中繼函數(shù)的系數(shù).

步驟2 終止條件

重復(fù)執(zhí)行步驟1，直到迭代次數(shù)超過(guò)K.

步驟3 增加分段的數(shù)目

步驟4 終止條件

重復(fù)步驟3，直到增加N后安全速率的增加值小于1%.

仿真中發(fā)現(xiàn)：一般當(dāng)N≤32時(shí)，就可終止整個(gè)優(yōu)化過(guò)程.圖4比較了高斯正交中繼-竊聽信道分段線性AF(piecewise linear AF,PLAF)和傳統(tǒng)AF、DF的安全速率.

從圖4中可以看出：在(0,0.4]區(qū)間內(nèi)，DF策略的可達(dá)安全速率最大，PLAF次之，傳統(tǒng)AF最低.由于DF策略的性能受限于源-中繼的鏈路增益，隨著源-中繼節(jié)點(diǎn)鏈路增益的減小，即x漸漸增大，DF策略的安全性能迅速降低，在x＞0.65之后無(wú)法再提供正的安全速率，但通過(guò)AF策略和PLAF策略可以得到正的安全速率，且PLAF比傳統(tǒng)AF有更高的安全速率.尤其是當(dāng)x＞0.8時(shí)，PLAF的可達(dá)安全速率接近安全容量的上界，比DF等策略具有更低的復(fù)雜度和更小的延時(shí).

圖4 PLAF和傳統(tǒng)AF、DF安全速率比較Figure 4 Secrecy rate comparison between PLAF and AF,DF

圖5 給出了中繼節(jié)點(diǎn)在不同位置時(shí)最優(yōu)的分段線性函數(shù)的形式.

圖5 最優(yōu)中繼函數(shù)Figure 5 Optimal relaying function

在圖5中，輸入和輸出根據(jù)它們相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行歸一化(輸入樣本落在圖示區(qū)域的概率大于0.999).從圖5中可以看出，中繼輸出可以根據(jù)其接收信號(hào)yr選擇不同的轉(zhuǎn)發(fā)系數(shù)，與AF相比可以更加充分地利用信道資源.另外，PLAF中繼函數(shù)的非線性也在一定程度上增加了竊聽節(jié)點(diǎn)的譯碼疑義度，提高了信道的安全速率.

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了正交中繼-竊聽信道的安全性能，當(dāng)中繼采用分段線性中繼策略時(shí)得到了可達(dá)安全速率的數(shù)學(xué)表示，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算了安全速率.仿真比較了中繼在不同位置時(shí)分段線性中繼策略與AF策略及DF策略的可達(dá)安全速率，同時(shí)仿真了安全容量的上界.仿真結(jié)果表明，當(dāng)源-中繼的信道增益較小時(shí)，分段線性中繼以及AF可以比DF策略具有更大的安全速率，且分段線性中繼策略的安全速率比AF更高.當(dāng)源-中繼的信道增益減小到一定程度時(shí)，分段線性中繼的可達(dá)安全速率可以接近安全容量的上界.另外，對(duì)于采用分段線性中繼策略的中繼信道，中繼節(jié)點(diǎn)無(wú)需譯碼源消息，且其輸出僅由當(dāng)前輸入決定，故具有較低的復(fù)雜度與較小的時(shí)延.

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