孫小榮 李明峰 劉支亮 卞和方

1)宿遷學院建筑工程系，宿遷 223800

2)中國礦業(yè)大學國土環(huán)境與災害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，徐州 221116

3)南京工業(yè)大學測繪學院，南京210009

GNSS 相對定位得到的是兩點在空間直角坐標系下的基線向量(ΔX，ΔY，ΔZ)及其協(xié)方差陣，而在GNSS 控制網(wǎng)二維平差中，需已知兩點在高斯平面直角坐標系下的基線向量(Δx，Δy)及其協(xié)方差陣DΔxy［2－5］，因而須將GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標系轉換到大地坐標系、再從大地坐標系轉換到高斯平面直角坐標系［3－5］。文獻［4－5］推導了上述誤差轉換公式，但均假設基線向量的起點位于零子午線上，而實際起點可能位于全球的任何位置。在大地坐標系下，基線向量以角度量表示的誤差在數(shù)值上非常小，且同一經差所對應的平行圈弧長在不同緯度處會相差較大，不利于實際應用［6－7］。本文借助子午圈曲率半徑和平行圈半徑將角度量誤差轉換為以長度為單位的誤差(等效長度量誤差)。在此基礎上，研究GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標系到站心直角坐標系的轉換。理論和算例證明，本文推導的嚴密公式是正確的，而后兩種簡化公式可代替此嚴密公式，且形式更為簡單。

1 ΔXij、ΔYij、ΔZij 誤差轉換為ΔBij、ΔLij、ΔHij誤差

設空間直角坐標系下基線向量的起點為i(Xi，Yi，Zi)，終點為j(Xj，Yj，Zj)，則基線向量ij 的(ΔXij，ΔYij，ΔZij)與其大地坐標差(ΔBij，ΔLij，ΔHij)的關系式為:

式中，Ni、Nj分別為i、j 點法線與橢球面交點的卯酉圈曲率半徑。

為將式(1)展開成關于ΔBij、ΔLij、ΔHij的級數(shù)形式，需使用以下級數(shù)公式:

式中，Bj= Bi+ ΔBij，Lj= Li+ ΔLij，同理Hj= Hi+ΔHij。式(1)關于ΔBij、ΔLij、ΔHij的級數(shù)式展開到三階項即可滿足精度要求［4］。

將Nj展開到二階項為:

為公式推導及計算方便，令

再令ne0=n0(1－e2)，ne1=n1(1－e2)，ne2=n2(1－e2)，nh0=n0+h0，neh0=ne0+h0。將式(2)、(3)代入式(1)，不考慮關于ΔBij、ΔLij、ΔHij的四階及以上項，略去復雜的推導過程，經整理得ΔXij、ΔYij、ΔZij關于ΔBij、ΔLij、ΔHij的級數(shù)式為:

式中，

將式(5)對ΔBij、ΔLij、ΔHij求偏導數(shù)，得:

式(5)的全微分形式為:

式中，dΔXij、dΔYij、dΔZij、dΔHij以m 為單位，dΔBij、dΔLij、ρ=180/π×3 600，以″為單位。

因A是可逆陣［4］，得:

由式(9)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在大地坐標系下的方差協(xié)方差陣為:

2 ΔBij、ΔLij誤差轉換為Δxij、Δyij誤差

由高斯投影坐標正算公式(保留經差的二階項即可滿足精度要求［4］)得基線向量ij 的(ΔBij，ΔLij)與(Δxij，Δyij)的關系式為:

式中，Ci、Cj分別為i、j 點到赤道的子午圈弧長。

設高斯投影分帶中央子午線經度為L0，i、j 點與中央子午線的經差分別為li=Li－L0，lj=Lj－L0，單位均為rad(圖1)。則lj= li+ ΔLij，即得將Ci展開到二階項為:

圖1 經差關系Fig.1 Relation of longitude difference

為公式推導及計算方便，令

將式(12)、(13)代入式(11)，不考慮關于ΔBij、ΔLij的三階及以上項，略去復雜的推導過程，經整理得Δxij、Δyij關于ΔBij、ΔLij的級數(shù)式為:

式中，

將式(14)對ΔBij、ΔLij求偏導數(shù)，得:

式(14)的全微分形式為:

式中，dΔxij、dΔyij以m 為單位，

由式(17)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在高斯平面直角坐標系下的方差協(xié)方差陣為:

3 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉換為Δxij、Δyij誤差

轉換過程分兩步進行。首先將ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉換為ΔBij、ΔLij、ΔHij誤差，然后將ΔBij、ΔLij誤差轉換為Δxij、Δyij誤差。綜合式(9)、(17)得:

式中，S=RC，C 為A－1的第一、二行元素構成的矩陣。

由式(20)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在高斯平面直角坐標系下的方差協(xié)方差陣為:

上式即為GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標系到高斯平面直角坐標系的嚴密轉換公式。

4 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉換為ΔEij、ΔUij誤差

由文獻［8］可知，在子午圈方向(南北方向)長度達440 km 范圍內，可認為地面兩點的子午圈曲率半徑近似相等，可得M'i=Mi+Hi≈M'j;在平行圈方向(東西方向)任何長度范圍內，可認為地面兩點的平行圈半徑近似相等，可得ri=(Ni+Hi)cosBi≈rj。令，則dΔEij分別表示基線向量ij 的角度量誤差引起的沿子午圈方向和平行圈方向的長度量誤差，這相當于以子午圈和平行圈上兩個微小的曲線長度來表示基線向量ij 在該方向上的誤差，則:

垂直方向(法線方向)誤差用dΔUij表示，則:

將式(22)、(23)、(24)代入式(9)，整理得:

式中，F(xiàn)=AG，G=diag(ρ/M'iρ/ri1)，diag(·)表示對角矩陣。

由式(25)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在大地坐標系下的方差協(xié)方差陣為:

5 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉換為誤差

由文獻［1－3］可知，以基線向量ij 的起點i 為原點，建立站心直角坐標系，則其與空間直角坐標系的關系為:

式(27)的全微分形式為:

由式(28)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在站心直角坐標系下的方差協(xié)方差陣為:

由于Helmert 點位誤差度量在2 維和3 維情形下具有旋轉不變性，與坐標系的選擇無關，即點位方差等于任意兩個和三個垂直方向的方差之和［7，9－12］，若方向相同，各方向的方差也相等。因ΔN1ij、ΔEij方向分別和Δxij、Δyij及方向相同，若忽略基線向量ij 的高斯投影長度變形、i、j 點大地高(因大地高最大也不會超過9 km，與地球曲率半徑相比為微小值)和i 點曲率半徑誤差的影響，得

6 實例分析

設基線向量(ΔXij，ΔYij，ΔZij)在WGS-84 坐標系中的方差協(xié)方差陣為:

取最不利情況:Bi=45°，Li=117°30'，Hi=10 000 m，L0=117°，ΔBij=1°，ΔLij=1°，ΔHij=10 000 m。

6.1 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉換為Δxij、Δyij 誤差

由式(21)計算得:

6.2 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉換為ΔUij誤差

由式(26)計算得:

6.3 ΔXij、ΔYij、ΔZij 誤差轉換為誤差

由式(29)計算得:

表1 4 種坐標系下的誤差(單位:m)Tab.1 Errors in the four coordinate systems(unit:m)

由表1 可知，向量誤差在空間直角坐標系和站心直角坐標系下其數(shù)值是相等的，但與大地坐標系有微小差異，這是由基線起點的曲率半徑誤差引起的。N1、E 方向誤差分別與x、y 及x*、y*方向誤差幾乎相等，前者的微小差異是由基線向量的高斯投影長度變形及兩端點大地高引起的，后者的微小差異是由基線起點的曲率半徑誤差引起的。U 方向誤差與z*方向誤差也幾乎相等。N1、E、U 方向誤差更能直觀地反映基線向量誤差在3 個重要方向上的大小。

為了與文獻［4－5］推導的公式進行比較，將本文前面數(shù)據(jù)改為Li=L0=0°，其他數(shù)據(jù)不變，計算該基線向量在大地坐標系、高斯平面直角坐標系下的方向誤差和向量誤差，結果見表2。

由表2 的結果也能得到類似于表1 的結論。由表1、2 可知，兩表中大地坐標系下的向量誤差其數(shù)值幾乎相等，其微小差異是由基線起點的經度不同引起的，兩表中方向誤差分別相差4.3、3.7 mm，這是公式推導的前提假設不同導致的，基線越長，其差異將越大。

7 結 論

本文高精度地推導了GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標系到高斯平面直角坐標系的嚴密和通用轉換公式，通過算例驗證了公式的正確性。

鑒于嚴密轉換過程分兩步進行，且轉換矩陣復雜，從本文推導的空間直角坐標系到大地坐標系的全微分公式入手，將大地坐標系中的誤差單位統(tǒng)一用長度表示，推導了基線向量誤差從空間直角坐標系到大地坐標系的轉換公式。理論和算例證明，大地坐標系下3 個參數(shù)的誤差能直接反映平面和高程上的測量精度，該公式可代替嚴密公式的轉換結果，且誤差轉換矩陣形式簡單，能滿足轉換精度的要求。

本文也從理論和算例證明，GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標系到站心直角坐標系的轉換公式也可代替嚴密轉換公式，其誤差轉換矩陣不僅形式更簡單，且為正交矩陣，能滿足轉換精度要求。

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2 徐紹銓.GPS 測量原理及應用［M］.武漢:武漢大學出版社，2008.(Xu Shaoquan.Principle and application of GPS surveying［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2008)

3 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎［M］.武漢:武漢大學出版社，2010.(Kong Xiangyuan，Guo Jiming，Liu Zongquan.Foundation of geodesy［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2010)

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8 施一民，朱紫陽，范業(yè)明.坐標參數(shù)為長度量的一種新型的大地坐標系［J］.同濟大學學報:自然科學版，2005，33(11):1 537－1 540.(Shi Yimin，Zhu Ziyang，F(xiàn)an Yeming.New form of geodetic coordinate system taking two length quantity as coordinate parameters［J］.Journal of Tongji University:Natural Science，2005，33(11):1 537－1 540)

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