張遠(yuǎn)亮，張立民，唐啓東

（1 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031；2 四川內(nèi)江鴻強(qiáng)機(jī)床有限公司，四川成都641100）

重新將表達(dá)式（2）寫(xiě)成如下形式：

留數(shù)矩陣為：

基于模態(tài)參預(yù)的激勵(lì)自由度有效性研究

張遠(yuǎn)亮1，張立民1，唐啓東2

（1 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031；2 四川內(nèi)江鴻強(qiáng)機(jī)床有限公司，四川成都641100）

為研究模態(tài)試驗(yàn)激勵(lì)自由度有效性問(wèn)題，分3種工況改變激振器輸入力相位，對(duì)某城際動(dòng)車(chē)組進(jìn)行靜態(tài)臺(tái)架激振器試驗(yàn)，得到輸入力及響應(yīng)加速度信號(hào)。根據(jù)模態(tài)分析理論，利用Test.Lab軟件識(shí)別車(chē)體典型模態(tài)參數(shù)，并同時(shí)得到各階模態(tài)留數(shù)矩陣。根據(jù)模態(tài)參預(yù)的定義，得到不同工況下激振力對(duì)各階模態(tài)的模態(tài)參預(yù)。最后根據(jù)模態(tài)參預(yù)矩陣對(duì)激勵(lì)自由度有效性進(jìn)行判定，同時(shí)給出車(chē)體1階垂直、彎曲及車(chē)體1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的最佳激勵(lì)方式，并依據(jù)模態(tài)參預(yù)對(duì)模態(tài)參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明。

激勵(lì)自由度；城際動(dòng)車(chē)組；模態(tài)參預(yù)；最佳激勵(lì)方式

模態(tài)參預(yù)［1］（Modal Participation）是研究給定頻段上各模態(tài)的相對(duì)重要性以及所選擇的輸入自由度有效性的工具。模態(tài)參預(yù)可以提供選擇最有效激勵(lì)自由度的信息，同時(shí)有助于其他模態(tài)模型檢驗(yàn)方法的正確性進(jìn)行評(píng)估。如果測(cè)試過(guò)程中某階模態(tài)被較好的激勵(lì)，其模態(tài)參預(yù)值較大，對(duì)模態(tài)參數(shù)的估計(jì)就更準(zhǔn)確。

文中分3種工況改變激振器輸入力相位，對(duì)某城際車(chē)組進(jìn)行靜態(tài)臺(tái)架激振器試驗(yàn)，得到輸入力及響應(yīng)加速度信號(hào)。根據(jù)模態(tài)分析理論，利用模態(tài)分析軟件Test.Lab軟件識(shí)別車(chē)體典型模態(tài)參數(shù)，并同時(shí)得到各階模態(tài)留數(shù)矩陣。根據(jù)模態(tài)參預(yù)的定義，得到不同工況下激振力對(duì)各階模態(tài)的模態(tài)參預(yù)值。根據(jù)模態(tài)參預(yù)矩陣對(duì)激勵(lì)自由度有效性進(jìn)行判定，同時(shí)給出車(chē)體1階垂彎及車(chē)體1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的最佳激勵(lì)方式，并依據(jù)模態(tài)參預(yù)對(duì)模態(tài)參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性進(jìn)行了簡(jiǎn)單說(shuō)明。

1 理 論

1.1 模態(tài)分析［1-3］

對(duì)應(yīng)一個(gè)多自由度系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為如下形式：

其中［M］，［C］，［K］，｛f（t）｝，｛x（t）｝分別為質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣，力向量和響應(yīng)向量。經(jīng)拉式變換，并假定初始位移和初始速度為零，則得：

式中［Z（p）］是動(dòng)剛度矩陣；｛X（p）｝是位移向量；｛F（p）｝為力向量。

傳遞函數(shù)為：

式中adj（［Z（p）］）為［Z（p）］的伴隨矩陣，|Z（p）|為［Z（p）］的行列式。

對(duì)于N自由度系統(tǒng)，方程有N對(duì)復(fù)共軛的特征根：

每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量：

這些向量使得系統(tǒng)方程式中的力向量｛F（p）｝等于零：

因?yàn)棣藃和λ*r（r＝1，2，…，N）是系統(tǒng)方程|Z（p）|的根，故將傳遞函數(shù)公式（2）改寫(xiě)成如下形式：

其中E為常數(shù)。

進(jìn)一步寫(xiě)成留數(shù)形式：

其中［A］r和［A項(xiàng)表示留數(shù)。根據(jù)留數(shù)定理有：

將式（8）代入式（9），可得：

Pr是一個(gè)與極點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)。因此式（9）成為：

重新將表達(dá)式（2）寫(xiě)成如下形式：

因?yàn)棣藃是特征方程的一個(gè)根，所以有：

考慮adj（［Z（λr）］）的任意一列第i列，則有：

由［Z（λr）］［Φ］r＝［0］，認(rèn)為｛adj（［Z（λr）］）｝i的任意列向量都與｛φ｝r成比例，得出矩陣adj（［Z（λr）］）的秩等于1，由此知道矩陣的各行也成比例。因此伴隨矩陣滿足下列條件：

根據(jù)Maxwell互易性，系統(tǒng)質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣是對(duì)稱的，因此［Z（p）］及其伴隨矩陣也是對(duì)稱的，即adj（［Z（λr）］）的各行均與第r階模態(tài)向量成比例：

Rr是與［Φ］r有關(guān)的一個(gè)常數(shù)。

將此式代入式（12），并記Qr＝PrRr，則得：

留數(shù)矩陣為：

1.2 模態(tài)參預(yù)

模態(tài)參預(yù)［1-3］是研究頻段上各模態(tài)的相對(duì)重要性及所選擇的輸入自由度有效性的一個(gè)工具。模態(tài)參預(yù)定義為各個(gè)輸入自由度激勵(lì)下各階頻響函數(shù)的留數(shù)模之和。即：

其中Aoir是輸出o、輸入i、模態(tài)r的留數(shù)。模態(tài)參預(yù)列表如下：

MPir表示為第r階模態(tài)在自由度i激勵(lì)所引起的響應(yīng)中所占有的分量。對(duì)不同自由度i而言，比較MPir可以得到第r階模態(tài)是如何由各個(gè)激勵(lì)點(diǎn)相對(duì)地激勵(lì)出來(lái)。

表1中總模態(tài)這一行表示不同激勵(lì)自由度在總輸出中的分布估計(jì)。就不同模態(tài)比較MPir項(xiàng)，可以分析激勵(lì)點(diǎn)i對(duì)哪階模態(tài)激勵(lì)最好；總輸入這一列是各階模態(tài)在所有激勵(lì)所引起的總響應(yīng)中所占有比例的估計(jì)。

根據(jù)模態(tài)參預(yù)，可以選擇最有效的激勵(lì)自由度。

2 工程實(shí)例分析

對(duì)某城際動(dòng)車(chē)組進(jìn)行靜態(tài)臺(tái)架激振器試驗(yàn)，測(cè)試其模態(tài)參數(shù)，即模態(tài)固有頻率、模態(tài)振型等。將車(chē)體分為7個(gè)截面，分別是端部截面、空氣彈簧處截面，以及中部3個(gè)截面。每個(gè)截面布置4個(gè)傳感器［4］，分別測(cè)試車(chē)體垂向和橫向加速度。在車(chē)體4個(gè)對(duì)角位置安裝激振器，分不同激勵(lì)工況對(duì)車(chē)體進(jìn)行正弦掃頻，激勵(lì)頻率范圍0～50 Hz。測(cè)點(diǎn)布置、現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)及試驗(yàn)工況如圖1，圖2，表2所示。

在不同工況下，以各測(cè)點(diǎn)頻響函數(shù)FRF為原始數(shù)據(jù)，利用Test.Lab軟件中Poly MAX模塊［3，5］，選取32階計(jì)算模態(tài)階數(shù)，默認(rèn)自動(dòng)選取穩(wěn)態(tài)點(diǎn)，識(shí)別車(chē)體50 Hz內(nèi)典型模態(tài)參數(shù)。結(jié)果見(jiàn)表3～表5。

車(chē)體典型模態(tài)振型如圖3～圖6。

根據(jù)模態(tài)分析理論［1］，計(jì)算出各階模態(tài)固有頻率及模態(tài)振型向量，故可計(jì)算模態(tài)留數(shù)矩陣，根據(jù)公式（20）計(jì)算不同工況下所有激勵(lì)自由度的模態(tài)參預(yù)。計(jì)算結(jié)果已做歸一化處理。如表6～表8。

由表6可知，工況1中，總輸入在車(chē)體1階菱形的比例很小，在車(chē)體1階垂直、彎曲的比例很大，工況1很容易激發(fā)車(chē)體1階垂直、彎曲模態(tài)，對(duì)車(chē)體1階菱形模態(tài)激勵(lì)效果較差。根據(jù)車(chē)體1階菱形振型可知，車(chē)體端部振動(dòng)變形較小，故工況1中F1、F2、F3和F4可能位于其模態(tài)節(jié)點(diǎn)上，才導(dǎo)致對(duì)車(chē)體1階菱形模態(tài)激勵(lì)較差；由總模態(tài)可以看出，工況1中F1、F4對(duì)車(chē)體模態(tài)激發(fā)較好，是有效的。

由表7可知，工況2中，總輸入在車(chē)體1階扭轉(zhuǎn)和2階菱形中比例相當(dāng)，在車(chē)體1階菱形中很小，工況2較容易激發(fā)車(chē)體1階扭轉(zhuǎn)和2階菱形，不容易激發(fā)車(chē)體1階菱形。同工況1中一樣，F(xiàn)1、F2、F3和F4可能位于車(chē)體1階菱形模態(tài)節(jié)點(diǎn)上，才導(dǎo)致對(duì)車(chē)體1階菱形模態(tài)激勵(lì)較差；由總模態(tài)可以看出，工況2中F1和F3對(duì)車(chē)體模態(tài)激發(fā)較好，是有效的；同時(shí)，工況2中沒(méi)有激發(fā)出車(chē)體1階垂直、彎曲模態(tài)。

由表8可知，工況3中，總輸入在車(chē)體1階扭轉(zhuǎn)和2階菱形中比例相當(dāng)。工況3較容易激發(fā)車(chē)體1階扭轉(zhuǎn)和2階菱形；由總模態(tài)可以看出，工況3中F1和F2對(duì)車(chē)體模態(tài)激發(fā)較好，是有效。

在總輸入一列中，工況1及工況2的車(chē)體1階菱形總輸入值很低，各個(gè)激勵(lì)點(diǎn)對(duì)車(chē)體1階菱形激勵(lì)效果都很差。根據(jù)車(chē)體1階菱形振型可知，車(chē)體端部振動(dòng)變形較小，中部振動(dòng)變形較大，各個(gè)激勵(lì)點(diǎn)可能位于車(chē)體1階菱形變形的模態(tài)節(jié)點(diǎn)上，因此相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)估計(jì)的精度可能很低。

根據(jù)對(duì)稱性，總模態(tài)一行大小應(yīng)基本一致。但工況1及工況2中F2的模態(tài)參預(yù)值明顯小于其他3組。檢查F2力信號(hào)，發(fā)現(xiàn)是其激勵(lì)不良導(dǎo)致模態(tài)參預(yù)明顯偏小。F2時(shí)間歷程信號(hào)如圖7、圖8。

3 結(jié) 論

通過(guò)上述分析可得到如下結(jié)論：

（1）為激發(fā)出車(chē)體1階垂直、彎曲模態(tài)，可以選擇4點(diǎn)同向激勵(lì)，即采用工況1中的激勵(lì)方式。

（2）為激發(fā)出車(chē)體1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，可以選擇對(duì)角同向激勵(lì)，即采用工況2中的激勵(lì)方式。

（3）車(chē)體1階菱形主要是車(chē)體中部變形，兩端部是可能的模態(tài)節(jié)點(diǎn)，從工況1～工況2可以看出，端部激勵(lì)時(shí)模態(tài)參預(yù)值很小，各個(gè)激勵(lì)點(diǎn)對(duì)車(chē)體1階菱形激勵(lì)效果都很差，相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)估計(jì)得精度可能很低，可以考慮在車(chē)體中部激勵(lì)。

（4）若要對(duì)某階模態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確識(shí)別，盡量不要選擇模態(tài)參預(yù)值很小的激勵(lì)點(diǎn)信息，這樣可以改善模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的精度。同時(shí)，若總輸入所占的比例很低，則所有激勵(lì)點(diǎn)對(duì)該階模態(tài)激勵(lì)很差，相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)估計(jì)的精確性較低。

［1］ Ward Heylen，Stefan Iammens，Paul Sas.（白化同，郭繼忠譯）.模態(tài)分析理論與試驗(yàn)［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2001.

［2］ Thory and Background［M］.LMS.Software Corporation.

［3］ CADA N Modal/Analysis User Manual［M］.LMS－International，Leuven.

［4］ TB/T 3155－2005，機(jī)車(chē)車(chē)輛動(dòng)力學(xué)性能臺(tái)架試驗(yàn)方法［S］.

［5］ LMS.Test.Lab 9A Manuals［M］.LMS.Software Corporation.

Research on the Effectiveness of Excitation DOF Based on Modal Participation

ZHANG Yuanliang1，ZHANG Limin1，TANG Qidong2
（1 State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031 Sichuan，China；2 Sichuan Neijiang Hongqiang Machine Tools Co.，Ltd.，Chengdu 641100 Sichuan，China）

To study the effectiveness of excitation DOF in modal experiments，intercity rail has been done exciter experiment on the shelf statically with changing exciter input power phase 3 types of conditions，input force and response acceleration signal have been obtained.According to modal analysis theory，typical modal parameters of the carbody were identified with software Test.Lab，and modal residue matrix has also been obtained.According to the definition of modal participation，each modal participation with different exciting conditions has been received.Finally，the effectiveness of excitation DOF was judged based on modal participation matrix.Simultaneously，the best excitation mode of first-order vertical bending and twisting modal was given.Accuracy of modal parameter estimation was also introduced simply by modal participation.

excitation DOF；intercity rail；modal participation；the best excitation mode

U260.11＋1

A

10.3969/j.issn.1008－7842.2014.06.18

1008－7842（2014）06－0074－04

8—）男，碩士研究生（

2014－04－28）