陳亮

微元法是解決高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)經(jīng)常用到的方法，很多老師只在推到基礎(chǔ)公式時(shí)使用微元法，而在具體問(wèn)題中，并不深入討論，因此許多學(xué)生感覺(jué)難以掌握。下面我們通過(guò)兩道運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，弄清楚利用微元法處理圖像問(wèn)題時(shí)的思路，并避免學(xué)生們出現(xiàn)由于對(duì)微元法的理解不深入而發(fā)生的一些錯(cuò)誤。

問(wèn)題一：

螞蟻離開(kāi)洞穴沿直線爬行，它的速度與到蟻穴中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距穴中心L1=1m的A點(diǎn)處時(shí)，速度是v1=2cm/s.試求螞蟻繼續(xù)由A點(diǎn)爬到距穴中心2m的B點(diǎn)需要多長(zhǎng)的時(shí)間？

第一種解法：微元法，這種方法處理時(shí)需要用到等差數(shù)列的求和公式，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出一定的要求，但是這種解法，能培養(yǎng)學(xué)生思維的連續(xù)性，使其對(duì)問(wèn)題的理解更加深入。

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

螞蟻由A爬到B時(shí)，將AB段分成n段，每段長(zhǎng)為ΔL =

當(dāng)n取無(wú)限大時(shí)，ΔL取無(wú)限小，可以認(rèn)為每段的瞬時(shí)速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t總= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

將ΔL = 代入上式，

得t總 =

因?yàn)閚趨近于無(wú)窮大，所以t總 = 75s

第二種解法：圖像法，這種方法處理時(shí)對(duì)學(xué)生將物理模型轉(zhuǎn)化成圖像的能力有比較高的要求，但是圖像法處理問(wèn)題更加直觀、有效，題目的處理也變得簡(jiǎn)單。

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v為縱軸，以L為橫軸，作圖1：

圖中陰影部分的面積即為所求的時(shí)間，代入數(shù)據(jù)：

t總 = S ==s = 75s

圖像法易錯(cuò)分析，在利用上述方法處理圖像問(wèn)題時(shí)，橫縱坐標(biāo)分別用什么來(lái)表示什么物理量非常重要，一定要慎重選擇，若此問(wèn)題按如下步驟解決，我們來(lái)看一下：

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因?yàn)関和成正比，以v為縱軸，以1/L為橫軸，作圖：

如圖2所示，陰影中的面積應(yīng)為

即= s

解得t = s

我們注意到，同樣是圖像法，只是橫縱坐標(biāo)發(fā)生了變化，結(jié)果卻不一致，其中一定有錯(cuò)誤出現(xiàn)，仔細(xì)研究后不難發(fā)現(xiàn)，圖像法也是利用無(wú)限微分的原理來(lái)解決問(wèn)題的，第一個(gè)圖像中，將AB之間分成無(wú)限份之后累加起來(lái)，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二個(gè)圖像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是說(shuō)，第二個(gè)圖像的橫縱坐標(biāo)的表示方法是錯(cuò)誤的，所以第二個(gè)圖像所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。

無(wú)獨(dú)有偶，我們?cè)賮?lái)求解這樣一個(gè)問(wèn)題，與上述題目非常相似，來(lái)看一下：

問(wèn)題二：

一只蝸牛從地面上開(kāi)始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度與它離地面的高度之間滿足的關(guān)系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用時(shí)間。

這個(gè)問(wèn)題與上面問(wèn)題的不同之處在于，V與L不再成反比關(guān)系，較上個(gè)問(wèn)題解決起來(lái)，看似變得更加復(fù)雜，我們來(lái)看一下它的解法。

第一種解法：微元法：

解析：因?yàn)槲伵５乃俣仁亲兓模栽谖伵＿\(yùn)動(dòng)中，

v = = ，

dt =

對(duì)上兩邊同時(shí)積分得：

T =

將L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二種解法：圖像法：

解析：因?yàn)槲伵＿\(yùn)動(dòng)時(shí)間是由每一小段時(shí)間Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h圖：

由v = ，得 =

T =

代入數(shù)據(jù)得：

t=15s

處理上面問(wèn)題時(shí)，我們可以將v =轉(zhuǎn)化為：= ，可以看到，1/h與v不成反比關(guān)系，如果使用作圖法來(lái)處理上述問(wèn)題，就會(huì)發(fā)上如問(wèn)題一出現(xiàn)的情況，使答案中出現(xiàn)不容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。

通過(guò)以上兩個(gè)題目的分析可知，在使用作圖法解決非勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的時(shí)候，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，但是其本質(zhì)上是用微元法通過(guò)面積累加來(lái)求解時(shí)間，一定要注意，是否可以利用無(wú)限微分累加求和的方法來(lái)對(duì)橫坐標(biāo)進(jìn)行求和，若不能，則解出來(lái)的答案就會(huì)發(fā)生這種不容易察覺(jué)到的錯(cuò)誤。

（作者單位：珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)）

責(zé)任編校 李平安endprint

微元法是解決高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)經(jīng)常用到的方法，很多老師只在推到基礎(chǔ)公式時(shí)使用微元法，而在具體問(wèn)題中，并不深入討論，因此許多學(xué)生感覺(jué)難以掌握。下面我們通過(guò)兩道運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，弄清楚利用微元法處理圖像問(wèn)題時(shí)的思路，并避免學(xué)生們出現(xiàn)由于對(duì)微元法的理解不深入而發(fā)生的一些錯(cuò)誤。

問(wèn)題一：

螞蟻離開(kāi)洞穴沿直線爬行，它的速度與到蟻穴中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距穴中心L1=1m的A點(diǎn)處時(shí)，速度是v1=2cm/s.試求螞蟻繼續(xù)由A點(diǎn)爬到距穴中心2m的B點(diǎn)需要多長(zhǎng)的時(shí)間？

第一種解法：微元法，這種方法處理時(shí)需要用到等差數(shù)列的求和公式，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出一定的要求，但是這種解法，能培養(yǎng)學(xué)生思維的連續(xù)性，使其對(duì)問(wèn)題的理解更加深入。

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

螞蟻由A爬到B時(shí)，將AB段分成n段，每段長(zhǎng)為ΔL =

當(dāng)n取無(wú)限大時(shí)，ΔL取無(wú)限小，可以認(rèn)為每段的瞬時(shí)速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t總= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

將ΔL = 代入上式，

得t總 =

因?yàn)閚趨近于無(wú)窮大，所以t總 = 75s

第二種解法：圖像法，這種方法處理時(shí)對(duì)學(xué)生將物理模型轉(zhuǎn)化成圖像的能力有比較高的要求，但是圖像法處理問(wèn)題更加直觀、有效，題目的處理也變得簡(jiǎn)單。

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v為縱軸，以L為橫軸，作圖1：

圖中陰影部分的面積即為所求的時(shí)間，代入數(shù)據(jù)：

t總 = S ==s = 75s

圖像法易錯(cuò)分析，在利用上述方法處理圖像問(wèn)題時(shí)，橫縱坐標(biāo)分別用什么來(lái)表示什么物理量非常重要，一定要慎重選擇，若此問(wèn)題按如下步驟解決，我們來(lái)看一下：

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因?yàn)関和成正比，以v為縱軸，以1/L為橫軸，作圖：

如圖2所示，陰影中的面積應(yīng)為

即= s

解得t = s

我們注意到，同樣是圖像法，只是橫縱坐標(biāo)發(fā)生了變化，結(jié)果卻不一致，其中一定有錯(cuò)誤出現(xiàn)，仔細(xì)研究后不難發(fā)現(xiàn)，圖像法也是利用無(wú)限微分的原理來(lái)解決問(wèn)題的，第一個(gè)圖像中，將AB之間分成無(wú)限份之后累加起來(lái)，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二個(gè)圖像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是說(shuō)，第二個(gè)圖像的橫縱坐標(biāo)的表示方法是錯(cuò)誤的，所以第二個(gè)圖像所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。

無(wú)獨(dú)有偶，我們?cè)賮?lái)求解這樣一個(gè)問(wèn)題，與上述題目非常相似，來(lái)看一下：

問(wèn)題二：

一只蝸牛從地面上開(kāi)始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度與它離地面的高度之間滿足的關(guān)系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用時(shí)間。

這個(gè)問(wèn)題與上面問(wèn)題的不同之處在于，V與L不再成反比關(guān)系，較上個(gè)問(wèn)題解決起來(lái)，看似變得更加復(fù)雜，我們來(lái)看一下它的解法。

第一種解法：微元法：

解析：因?yàn)槲伵５乃俣仁亲兓模栽谖伵＿\(yùn)動(dòng)中，

v = = ，

dt =

對(duì)上兩邊同時(shí)積分得：

T =

將L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二種解法：圖像法：

解析：因?yàn)槲伵＿\(yùn)動(dòng)時(shí)間是由每一小段時(shí)間Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h圖：

由v = ，得 =

T =

代入數(shù)據(jù)得：

t=15s

處理上面問(wèn)題時(shí)，我們可以將v =轉(zhuǎn)化為：= ，可以看到，1/h與v不成反比關(guān)系，如果使用作圖法來(lái)處理上述問(wèn)題，就會(huì)發(fā)上如問(wèn)題一出現(xiàn)的情況，使答案中出現(xiàn)不容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。

通過(guò)以上兩個(gè)題目的分析可知，在使用作圖法解決非勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的時(shí)候，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，但是其本質(zhì)上是用微元法通過(guò)面積累加來(lái)求解時(shí)間，一定要注意，是否可以利用無(wú)限微分累加求和的方法來(lái)對(duì)橫坐標(biāo)進(jìn)行求和，若不能，則解出來(lái)的答案就會(huì)發(fā)生這種不容易察覺(jué)到的錯(cuò)誤。

（作者單位：珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)）

責(zé)任編校 李平安endprint

微元法是解決高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)經(jīng)常用到的方法，很多老師只在推到基礎(chǔ)公式時(shí)使用微元法，而在具體問(wèn)題中，并不深入討論，因此許多學(xué)生感覺(jué)難以掌握。下面我們通過(guò)兩道運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，弄清楚利用微元法處理圖像問(wèn)題時(shí)的思路，并避免學(xué)生們出現(xiàn)由于對(duì)微元法的理解不深入而發(fā)生的一些錯(cuò)誤。

問(wèn)題一：

螞蟻離開(kāi)洞穴沿直線爬行，它的速度與到蟻穴中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距穴中心L1=1m的A點(diǎn)處時(shí)，速度是v1=2cm/s.試求螞蟻繼續(xù)由A點(diǎn)爬到距穴中心2m的B點(diǎn)需要多長(zhǎng)的時(shí)間？

第一種解法：微元法，這種方法處理時(shí)需要用到等差數(shù)列的求和公式，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出一定的要求，但是這種解法，能培養(yǎng)學(xué)生思維的連續(xù)性，使其對(duì)問(wèn)題的理解更加深入。

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

螞蟻由A爬到B時(shí)，將AB段分成n段，每段長(zhǎng)為ΔL =

當(dāng)n取無(wú)限大時(shí)，ΔL取無(wú)限小，可以認(rèn)為每段的瞬時(shí)速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t總= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

將ΔL = 代入上式，

得t總 =

因?yàn)閚趨近于無(wú)窮大，所以t總 = 75s

第二種解法：圖像法，這種方法處理時(shí)對(duì)學(xué)生將物理模型轉(zhuǎn)化成圖像的能力有比較高的要求，但是圖像法處理問(wèn)題更加直觀、有效，題目的處理也變得簡(jiǎn)單。

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v為縱軸，以L為橫軸，作圖1：

圖中陰影部分的面積即為所求的時(shí)間，代入數(shù)據(jù)：

t總 = S ==s = 75s

圖像法易錯(cuò)分析，在利用上述方法處理圖像問(wèn)題時(shí)，橫縱坐標(biāo)分別用什么來(lái)表示什么物理量非常重要，一定要慎重選擇，若此問(wèn)題按如下步驟解決，我們來(lái)看一下：

解析：因?yàn)槲浵伒乃俣扰c到蟻穴中心的距離成反比，設(shè)比例系數(shù)為k，所以v =

代入數(shù)據(jù)L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因?yàn)関和成正比，以v為縱軸，以1/L為橫軸，作圖：

如圖2所示，陰影中的面積應(yīng)為

即= s

解得t = s

我們注意到，同樣是圖像法，只是橫縱坐標(biāo)發(fā)生了變化，結(jié)果卻不一致，其中一定有錯(cuò)誤出現(xiàn)，仔細(xì)研究后不難發(fā)現(xiàn)，圖像法也是利用無(wú)限微分的原理來(lái)解決問(wèn)題的，第一個(gè)圖像中，將AB之間分成無(wú)限份之后累加起來(lái)，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二個(gè)圖像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是說(shuō)，第二個(gè)圖像的橫縱坐標(biāo)的表示方法是錯(cuò)誤的，所以第二個(gè)圖像所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。

無(wú)獨(dú)有偶，我們?cè)賮?lái)求解這樣一個(gè)問(wèn)題，與上述題目非常相似，來(lái)看一下：

問(wèn)題二：

一只蝸牛從地面上開(kāi)始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度與它離地面的高度之間滿足的關(guān)系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用時(shí)間。

這個(gè)問(wèn)題與上面問(wèn)題的不同之處在于，V與L不再成反比關(guān)系，較上個(gè)問(wèn)題解決起來(lái)，看似變得更加復(fù)雜，我們來(lái)看一下它的解法。

第一種解法：微元法：

解析：因?yàn)槲伵５乃俣仁亲兓?，所以在蝸牛運(yùn)動(dòng)中，

v = = ，

dt =

對(duì)上兩邊同時(shí)積分得：

T =

將L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二種解法：圖像法：

解析：因?yàn)槲伵＿\(yùn)動(dòng)時(shí)間是由每一小段時(shí)間Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h圖：

由v = ，得 =

T =

代入數(shù)據(jù)得：

t=15s

處理上面問(wèn)題時(shí)，我們可以將v =轉(zhuǎn)化為：= ，可以看到，1/h與v不成反比關(guān)系，如果使用作圖法來(lái)處理上述問(wèn)題，就會(huì)發(fā)上如問(wèn)題一出現(xiàn)的情況，使答案中出現(xiàn)不容易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。

通過(guò)以上兩個(gè)題目的分析可知，在使用作圖法解決非勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的時(shí)候，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，但是其本質(zhì)上是用微元法通過(guò)面積累加來(lái)求解時(shí)間，一定要注意，是否可以利用無(wú)限微分累加求和的方法來(lái)對(duì)橫坐標(biāo)進(jìn)行求和，若不能，則解出來(lái)的答案就會(huì)發(fā)生這種不容易察覺(jué)到的錯(cuò)誤。

（作者單位：珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)）

責(zé)任編校 李平安endprint