李 瑩，簡(jiǎn)獻(xiàn)忠

(上海理工大學(xué) 電氣工程系，上海 2 00093)

基于免疫進(jìn)化細(xì)菌覓食算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化

李 瑩，簡(jiǎn)獻(xiàn)忠

(上海理工大學(xué) 電氣工程系，上海 2 00093)

為了更好地解決電力系統(tǒng)多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題，分析了當(dāng)前多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化算法存在的缺陷，提出了一種基于免疫進(jìn)化的改進(jìn)多目標(biāo)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法。該算法求得的Pareto最優(yōu)解分布均勻，收斂性和魯棒性好。IEEE14，IEEE30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)的算例結(jié)果表明所提的算法在多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化中具有良好的效果，為各目標(biāo)之間的權(quán)衡分析提供了有效工具，是一種求解多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的有效方法。

無(wú)功優(yōu)化;多目標(biāo);免疫進(jìn)化;細(xì)菌覓食優(yōu)化算法;非支配排序

0 引言

當(dāng)前隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，無(wú)功優(yōu)化涉及的目標(biāo)越來(lái)越多［1～3］，然而各個(gè)目標(biāo)之間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，彼此矛盾。傳統(tǒng)的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化方法將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)再求解［4～6］，這類(lèi)方法存在明顯的缺點(diǎn):每次計(jì)算彼此獨(dú)立，結(jié)果可能出現(xiàn)不一致的情況，且優(yōu)化過(guò)程中考慮的各因素在總目標(biāo)中所占權(quán)重的改變將影響整個(gè)目標(biāo)系統(tǒng)無(wú)功的優(yōu)化結(jié)果。因此，本文將基于精英選擇法的Pareto最優(yōu)前沿［7］引入尋優(yōu)機(jī)制中，利用非支配排序和擁擠距離排序?qū)ΨN群進(jìn)行選擇更新，且輸出一組Pareto非支配解集［8］，為不同的應(yīng)用場(chǎng)合及需求提供選擇。

目前應(yīng)用于無(wú)功優(yōu)化的智能算法很多，并取得了一些研究成果［9～11］，但是基于 Pareto最優(yōu)前沿的多目標(biāo)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法的研究文獻(xiàn)尚未見(jiàn)報(bào)道，因此，本文提出一種基于免疫進(jìn)化的改進(jìn)多目標(biāo)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法 (IA－IBFO)，并將此算法應(yīng)用于多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題，最終仿真結(jié)果表明，本文算法不僅能夠保持Pareto最優(yōu)解的多樣性，同時(shí)還具有很好的收斂性能。

1 無(wú)功優(yōu)化模型與Pareto最優(yōu)解概念

1.1 多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

本文選擇系統(tǒng)有功網(wǎng)損最小為經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)，電壓偏移量最小以及電壓安全穩(wěn)定裕度最大為技術(shù)性指標(biāo)，無(wú)功優(yōu)化的多目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下［12］:

式中:f1為系統(tǒng)網(wǎng)損;f2為電壓偏差;f3為電壓穩(wěn)定裕度;N為系統(tǒng)支路數(shù);Gk(i，j)為線路k的電導(dǎo);Vi，Vj，δi，δj為支路k兩端節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角;以系統(tǒng)收斂潮流雅可比矩陣的最小奇異值δmin作為系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的指標(biāo)，為了使各目標(biāo)函數(shù)具有統(tǒng)一的最小化形式，對(duì)δmin取倒數(shù)，將靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度最大轉(zhuǎn)化為最小化函數(shù)形式。

1.2 等式約束

等式約束是指有功功率與無(wú)功功率保持平衡的條件，即功率平衡方程。式中:Pi，Qi分別為給定的節(jié)點(diǎn)i的有功和無(wú)功;Bij為節(jié)點(diǎn)i，j之間的電納值;N0為除平衡節(jié)點(diǎn)外的總節(jié)點(diǎn)數(shù)。

1.3 不等式約束

不等式約束條件指控制變量的約束條件與狀態(tài)變量的約束條件。

(1)控制變量約束

式中:Ng為可調(diào)發(fā)電機(jī)的節(jié)點(diǎn)數(shù);NT為可調(diào)變壓器的節(jié)點(diǎn)數(shù);Nc為無(wú)功補(bǔ)償裝置的節(jié)點(diǎn)數(shù);Vgi為發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓;Ti為可調(diào)變壓器變比，Qci為無(wú)功補(bǔ)償裝置容量。

(2)狀態(tài)變量約束

式中:Qgi為發(fā)電機(jī)無(wú)功出力;Vdi為PQ節(jié)點(diǎn)電壓。

1.4 Pareto最優(yōu)解的基本概念

(1)Pareto支配關(guān)系。對(duì)于兩個(gè)決策變量u和v，且u∈S，v∈S，若滿足:

則稱(chēng)決策變量u支配v，記為u?v。此時(shí)稱(chēng)u為非支配的，v為被支配的。

(2)Pareto最優(yōu)解。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)可行解x*∈S，當(dāng)且僅當(dāng)S中不存在x，使x?x*，即x*是可行域S的非支配個(gè)體，則稱(chēng)x*為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解，所有Pareto最優(yōu)解構(gòu)成Pareto最優(yōu)解集，也就是全局最優(yōu)解集。

2 基于免疫進(jìn)化的改進(jìn)多目標(biāo)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法及其在無(wú)功優(yōu)化中的應(yīng)用

2.1 改進(jìn)的細(xì)菌覓食算法

細(xì)菌覓食優(yōu)化算法 (Bacterial Foraging Optimization，BFO)是Passina于2002年基于細(xì)菌覓食行為而提出的一種仿生隨機(jī)搜索算法［13］，該算法通過(guò)群體細(xì)菌之間的競(jìng)爭(zhēng)和協(xié)作，實(shí)現(xiàn)搜索的優(yōu)化，在BFO算法中，最核心的一個(gè)步驟就是趨化操作，趨化算子根據(jù)適應(yīng)度調(diào)節(jié)游動(dòng)方向，通過(guò)隨機(jī)游動(dòng)來(lái)搜索全局最優(yōu)解，從而確保了細(xì)菌的局部搜索能力，但由于細(xì)菌沒(méi)有充分利用其他細(xì)菌個(gè)體的信息，使得收斂速度較慢。為此，本文將賦予細(xì)菌以靈敏度來(lái)感知個(gè)體極值和全局極值的差異，使得細(xì)菌自適應(yīng)調(diào)節(jié)游動(dòng)步長(zhǎng)，以適應(yīng)環(huán)境。具體步驟改進(jìn)如下:

(1)產(chǎn)生單位向量φ(i)，細(xì)菌執(zhí)行翻轉(zhuǎn)操作。

(2)改善細(xì)菌種群位置。細(xì)菌個(gè)體按照靈敏度進(jìn)行群游，當(dāng)適應(yīng)度不再增強(qiáng)時(shí)，則操作結(jié)束，靈敏度定義為:

其中，health_best表示細(xì)菌種群歷史最好位置，health(i)表示第i個(gè)細(xì)菌當(dāng)前位置，Delta定義為靈敏度算子，其大小由適應(yīng)度函數(shù)的變化范圍決定，在此取值為6 000;式 (8)為細(xì)菌群游公式:

式中:P(i，j，k，l)表示第i個(gè)細(xì)菌的空間位置向量，其中j表示第j代趨化循環(huán)，k表示第k代繁殖循環(huán)，l表示第l代遷移循環(huán);φ(i)表示群游選定的方向。

(3)將復(fù)制操作與驅(qū)散操作合并為以適應(yīng)度作為判斷條件的驅(qū)散操作，設(shè)細(xì)菌個(gè)體的適應(yīng)度為AdaptVi，菌群的平均適應(yīng)度為MeanAdapt，如果AdaptVi＞MeanAdapt，則對(duì)該細(xì)菌個(gè)體執(zhí)行驅(qū)散操作。由于多目標(biāo)優(yōu)化有多個(gè)優(yōu)化指標(biāo)可以作為適應(yīng)度的判斷條件，本文選取如下方案作為適應(yīng)度的判斷條件，去菌群的平均適應(yīng)度為每個(gè)個(gè)體極值的平均值，即:

其中，H是目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)，n是菌群數(shù)目，mean(gBest(i，h))表示n個(gè)細(xì)菌個(gè)體極值的平均值。

2.2 應(yīng)用于多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化的免疫細(xì)菌覓食算法

(1)初始群體的生存和編碼方式

本文編碼方案采用實(shí)數(shù)和整數(shù)混合的方式?？刂谱兞恐?，PV節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓采用實(shí)數(shù)編碼，并聯(lián)電容投運(yùn)組數(shù)、有載調(diào)壓變壓器主接頭檔位為整數(shù)編碼。則控制變量編碼格式為:

式中:UGi，Ci，Ti分別為某PV節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓、并聯(lián)電容投運(yùn)組和有載調(diào)壓變壓器主接頭檔位;NC，NT分別為PV節(jié)點(diǎn)并聯(lián)電容補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)總數(shù)和有載調(diào)壓變壓器組數(shù)。

(2)非支配排序

在選擇運(yùn)算之前，用擂臺(tái)賽法則構(gòu)造非支配解集。其基本思路是:在每一輪比較時(shí)，從構(gòu)造集中選出一個(gè)個(gè)體出任擂主，由擂主與構(gòu)造集中其他個(gè)體進(jìn)行比較，敗者被淘汰出局，勝者成為新的擂主，并繼續(xù)該輪比較。一輪比較后，最后的擂主個(gè)體即為非支配個(gè)體，將其保存在外部精英集中。該算法的時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)于改進(jìn)的非支配遺傳算法［14］。

(3)擁擠度算子

為了保持個(gè)體的多樣性、防止個(gè)體在局部堆積，引入擁擠度距離這一概念。擁擠度是指種群中給定個(gè)體周?chē)膫€(gè)體密度，計(jì)算步驟為:①對(duì)個(gè)體初始化距離，令L［i］d=0;②對(duì)個(gè)體按第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)值升序排列;③使得排序邊緣上的個(gè)體具有選擇優(yōu)勢(shì)，給定一個(gè)大數(shù)L［0］d=L［l］d=M;④對(duì)排序中間的個(gè)體，求擁擠距離:L［i］d=L［i］d+(L［i+1］m－L［i－1］m)(L［i］m為第i個(gè)個(gè)體的第m目標(biāo)函數(shù));⑤對(duì)不同的目標(biāo)函數(shù)，重復(fù)步驟②～④。

(4)選擇運(yùn)算

選擇過(guò)程使優(yōu)化朝著Pareto最優(yōu)解的方向進(jìn)行并使解均勻散布。經(jīng)過(guò)排序，非支配個(gè)體已保存在精英集中，對(duì)精英集中的個(gè)體按照擁擠距離大小再次排序，取擁擠距離相對(duì)大的個(gè)體保留，即周?chē)^不擁擠的個(gè)體，淘汰掉擁擠距離較小的個(gè)體，這將使Pareto最優(yōu)解集具有多樣性，并且均勻分布。

(5)精英集的克隆選擇

本文借鑒免疫算法中的克隆選擇思想［15］，并將其引入Pareto最優(yōu)解集中，通過(guò)克隆、高頻變異和隨機(jī)交叉操作來(lái)增加Pareto最優(yōu)解的多樣性，以及提高算法的收斂精度。

①在每代產(chǎn)生的非支配集中，選擇擁擠度距離大的粒子進(jìn)行自我復(fù)制，產(chǎn)生克隆群體Nc。

②對(duì)Nc進(jìn)行高頻變異，隨后進(jìn)行隨機(jī)交叉，其中，高頻變異按照公式 (11)進(jìn)行，β是高頻變異概率，按照公式 (12)計(jì)算，適應(yīng)值越小的個(gè)體，變異的概率越大，搜索的空間越寬。其中fit為個(gè)體的適應(yīng)值，m為目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)。

③對(duì)NC群體進(jìn)行隨機(jī)交叉，產(chǎn)生s個(gè)粒子后代，作為免疫細(xì)胞注入Nc群體。交叉采用公式(13)進(jìn)行，其中a，b，c，d為克隆群體的互不相同的隨機(jī)粒子。

④采用免疫算法的克隆、變異、交叉策略形成Nc+s個(gè)新種群，對(duì)其適應(yīng)值進(jìn)行比較后產(chǎn)生非支配解集，該解集與當(dāng)代非支配解集合并產(chǎn)生更新的Pareto最優(yōu)解集，加入精英集中。

由步驟 (1)～(5)可得基于IA－IBFO的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化流程圖如圖1所示。

圖1 基于IA－IBFO算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化流程

3 算例分析

本文使用Matlab進(jìn)行無(wú)功優(yōu)化仿真計(jì)算，分別對(duì)IEEE14節(jié)點(diǎn)和IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真來(lái)驗(yàn)證本文所提算法的優(yōu)化效果。算法中相關(guān)的參數(shù)選取為:種群規(guī)模n=100，精英集規(guī)模F=20，迭代次數(shù)itermax=100。

3.1 IEEE14節(jié)點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果

IEEE14系統(tǒng)共有14個(gè)節(jié)點(diǎn)，20條支路，5臺(tái)發(fā)電機(jī)，3臺(tái)可調(diào)變壓器以及1個(gè)并聯(lián)補(bǔ)償電容器節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)參數(shù)和支路參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)［16］。為了便于分析說(shuō)明，本算例只考慮有功網(wǎng)損和電壓穩(wěn)定裕度兩個(gè)指標(biāo)，仿真測(cè)試結(jié)果如圖2所示。

圖2 基于IA－IBFO算法的無(wú)功優(yōu)化Pareto前沿

圖2顯示了某次計(jì)算求得的1組Pareto解的分布，從圖可以看出有功網(wǎng)損與電壓穩(wěn)定裕度這兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)相互矛盾，最優(yōu)解集分布均勻，具有較好的多樣性，能給用戶提供了多樣化的選擇。

表1給出了IA－IBFO算法與標(biāo)準(zhǔn)BFO算法分別運(yùn)行30次無(wú)功優(yōu)化所得最優(yōu)解。

表1 不同算法優(yōu)化結(jié)果比較

續(xù)表

由表1知，IA－IBFO優(yōu)化后系統(tǒng)的網(wǎng)損降低12.11%，BFO優(yōu)化后網(wǎng)損降低11.25%;IAIBFO優(yōu)化后的電壓穩(wěn)定裕度也優(yōu)于BFO。由此可見(jiàn)，IA－IBFO算法在尋優(yōu)過(guò)程中能更好地發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)解。

IA－IBFO和BFO兩種算法的有功網(wǎng)損和電壓穩(wěn)定裕度的收斂曲線圖分別如圖3、圖4所示，由圖可以看出本文所提算法無(wú)論在收斂速度上還是優(yōu)化效果上都優(yōu)于BFO。

圖3 BFO和IA－IBFO的有功網(wǎng)損收斂特性曲線圖

圖4 BFO和IA－IBFO的電壓穩(wěn)定裕度收斂特性曲線圖

3.2 IEEE30節(jié)點(diǎn)優(yōu)化結(jié)果

IEEE30系統(tǒng)共有30個(gè)節(jié)點(diǎn)，41條支路，6臺(tái)發(fā)電機(jī)，4臺(tái)可調(diào)變壓器以及2個(gè)并聯(lián)補(bǔ)償電容器節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)參數(shù)和支路參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)［15］。運(yùn)用IA－IBFO算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)功優(yōu)化，仿真結(jié)果如圖5所示。由圖可以看出該算法無(wú)功優(yōu)化所得Pareto最優(yōu)前沿分布比較均勻，可以反映出IA－IBFO算法在尋優(yōu)過(guò)程中能更好地保持種群多樣性，保證算法在全局區(qū)域能有更好的搜索能力。

圖5 IA－IBFO的Pareto前沿

表2給出了IA－IBFO與BFO的性能對(duì)比，由IA－IBFO算法得到的有功網(wǎng)損，電壓偏差及電壓穩(wěn)定裕度均優(yōu)于BFO所得的結(jié)果。

表2 不同算法優(yōu)化結(jié)果比較

4 結(jié)論

本文提出一種基于免疫進(jìn)化的改進(jìn)多目標(biāo)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法，并將其首次應(yīng)用于多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，該算法能較快地收斂到全局最優(yōu)解，并且Pareto最優(yōu)解集分布均勻，具有較好的多樣性，決策者可根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的要求進(jìn)行最優(yōu)解的選擇，避免了對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)求解的盲目性，體現(xiàn)了多目標(biāo)優(yōu)化的工程實(shí)際意義，是一種求解多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化的好方法。當(dāng)前隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大，無(wú)功優(yōu)化時(shí)需要考慮的因素必將越來(lái)越多，如何進(jìn)行電力市場(chǎng)下的無(wú)功優(yōu)化的建模，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者正在積極探索，相信IA－IBFO可提供一個(gè)較好的算法支持。

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Bacterial Foraging Optimization Algorithm Based on Immune Algorithm for Multi-Objective Reactive Power Optimization

Li Ying，Jian Xianzhong
(Department of Electrical Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China)

In order to solve the problem of multi-objective reactive power optimization，firstly the defects of current algorithms are analyzed，then an improved multi-objective bacterial foraging optimization algorithm based on immune algorithm technique is proposed．It can obtain uniformly distributed Pareto-optimal solutions and has good convergence and excellent robustness．Finally this method is applied to IEEE14-bus and IEEE30-bus testing system．The results show that the proposed method can obtain good results for multi-objective reactive power optimization，which provides an effective tool for measuring the performance of different objective functions．Thus it should be a new method for multi-objective reactive power optimization in power systems．

reactive power optimization;multi-objective;immune algorithm;bacterial foraging optimization algorithm;non-dominated sorting

TM714.3;TP301.6

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2014.04.002

2013－11－28。

上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (12ZR1420800)。

李瑩 (1987-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量?jī)?yōu)化與分析，E-mail:727145259@qq．com。