寧 超，董純柱，黃 璟，張向陽

（電磁散射重點實驗室，北京100854）

0 引 言

空間目標(biāo)的動態(tài)RCS仿真可以為目標(biāo)特性分析與識別等提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。由于飛行試驗成本巨大，不可能通過大量實驗開展空間目標(biāo)雷達(dá)特性研究，所以通過仿真計算模擬雷達(dá)回波數(shù)據(jù)，用于訓(xùn)練、檢驗雷達(dá)的探測、跟蹤和識別能力已成為一項必不可少的工作［1，2］。仿真分為兩個步驟，一是運(yùn)動建模仿真，二是電磁散射特性仿真。運(yùn)動建模主要包括目標(biāo)平動和微動的描述，目標(biāo)的彈道方程由關(guān)機(jī)點位置和關(guān)機(jī)點速度的唯一確定，仿真時設(shè)定上述參數(shù)直接計算［3］，該方法運(yùn)算簡單，但無法事先預(yù)知彈道落點位置，影響仿真演示效果。文獻(xiàn)［4］構(gòu)造了從發(fā)射點到落點的軌跡參數(shù)迭代法，求解了6個軌道根數(shù)，計算量較大，仿真RCS時不需要對所有參數(shù)計算，可簡化部分運(yùn)算。對于電磁散射特性仿真，文獻(xiàn)［5］采用了常用的查表法，事先建立目標(biāo)的全方位靜態(tài)RCS數(shù)據(jù)表，仿真時先計算出目標(biāo)的姿態(tài)角，再從靜態(tài)RCS抽取對應(yīng)的值并進(jìn)行插值和相位修正。該方法的優(yōu)點是RCS數(shù)據(jù)表提前產(chǎn)生可提高后續(xù)仿真的速度，缺點是數(shù)據(jù)表難以覆蓋所有姿態(tài)角，并且不可避免地會引入RCS幅度和相位的插值誤差。

針對上述問題，本文采用基于發(fā)射點和落點參數(shù)，反推關(guān)機(jī)速度的方法，提高了仿真的演示效果，對4個方程式求解即可得到軌道參數(shù)，提高了仿真效率。采用了實時電磁理論建模方法，能準(zhǔn)確計算RCS復(fù)數(shù)解。仿真的主要步驟如下:①計算橢圓彈道，得到各個時刻的目標(biāo)的坐標(biāo)；②解算雷達(dá)觀測目標(biāo)的姿態(tài)和相對距離；③在平動上疊加目標(biāo)的進(jìn)動參數(shù)；④使用物理光學(xué)（PO）和等效電磁流（MEC）［6］實時計算目標(biāo)的RCS。

1 飛行彈道仿真

如果將地球看成均勻球體，將目標(biāo)看作質(zhì)點，則目標(biāo)的運(yùn)動就是所謂的“二體問題”。若不考慮大氣及地球自轉(zhuǎn)等的影響，地心極坐標(biāo)下的中段彈道符合橢圓方程［7］

式中:rt——任意時刻t時，目標(biāo)坐標(biāo)與地心的距離，ft——該時刻極角，e——偏心率，P——半通徑。地心為橢圓的一個焦點。

1.1 最小能量彈道橢圓參數(shù)求解

彈道橢圓方程中，P與e共同的形狀，其值由關(guān)機(jī)點的3個參數(shù)唯一確定，即關(guān)機(jī)速度Vt、地心距rk和彈道傾角θk。由相關(guān)的力學(xué)知識得

式中:ν——中間變量

式中:gk——關(guān)機(jī)點處重力加速度，Re——地球半徑，為6371km。

當(dāng)給定rk和Vk時，可以找到一個θk使射程最大。記為θkopt，此時得到的彈道稱為最小能量彈道。彈道如圖1所示。

圖1 彈道

設(shè)關(guān)機(jī)點A對應(yīng)的極角為fk，由式（2）－式（4）可得Vk、fk、θk的關(guān)系式

根據(jù)最小能量彈道的定義，Vk和θk應(yīng)滿足

由式（6）和式（7）得

進(jìn)而由式（2）－式（4）和式（8）進(jìn)一步推導(dǎo)得

由式（9）－式（12），通過關(guān)機(jī)點極角fk和關(guān)機(jī)點高度hk，可確定P、e等參數(shù)，進(jìn)而得到該最小能量彈道方程的數(shù)學(xué)表達(dá)。

fk利用彈道起點和落點的設(shè)定參數(shù)求解。仿真時，有3個參數(shù)需要設(shè)定，分別為關(guān)機(jī)點A的經(jīng)緯度坐標(biāo)、落點B0的經(jīng)緯度坐標(biāo)（B0點在地表）以及關(guān)機(jī)點A的高度hk，本文不考慮再入段空氣對彈道的影響，所以關(guān)機(jī)點A到落點B0點整個弧段都假設(shè)符合橢圓方程，如圖1所示。圖1（b）中B為關(guān)機(jī)點A關(guān)于橢圓長軸的對稱點，則有

其中，0為關(guān)機(jī)點A與落點B0對應(yīng)的地心矢量的夾角為已知量，α為B與B0的地心矢量夾角為未知量。式（13）中共有4個未知量，將式（11）代入式（13），則可通過數(shù)值方法完成未知量的求解，確定方程。確定彈道方程后，還要根據(jù)計算彈道上諸點的時間刻度。

1.2 飛行彈道時間刻度的求解

由開普勒第三定律

式中:T——目標(biāo)的運(yùn)動周期，a——橢圓軌道的長軸，μ——普朗克常量。又根據(jù)開普勒方程

式中:tp——目標(biāo)飛經(jīng)近地點（即圖1（b）中Z點）的時刻，t——飛行彈道上任一時刻，E——偏近點角，M——平近點角。

由彈道學(xué)知識，任意時刻t的偏近點角Et與地心距rt、飛行速度Vt的關(guān)系為

通過式（18）、式（19）可求出目標(biāo)飛行過程中相對于近點時刻tp的時間坐標(biāo)

至此，得到了各個時刻的彈道參數(shù)，完成了彈道仿真。

2 目標(biāo)的姿態(tài)解算及目標(biāo)進(jìn)動模擬

目標(biāo)的RCS隨觀測的姿態(tài)角變化而變化。本文設(shè)定圓錐體作為所觀測目標(biāo)。圓錐是一個旋轉(zhuǎn)對稱體，由電磁散射理論易知，在空間上其RCS僅是雷達(dá)視線角的一維函數(shù)［8］，這里雷達(dá)視線角定義為雷達(dá)波束指向與錐體對稱軸之間的夾角。

2.1 雷達(dá)視線角求解

要求解雷達(dá)視線角，首先計算雷達(dá)與目標(biāo)的相對位置關(guān)系即雷達(dá)指向矢量。上一節(jié)求得的彈道方程只是在彈道飛行平面內(nèi)的二維方程，為求解雷達(dá)指向矢量可通過三次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)。

其中

其中，和θ分別為彈道平面的法線矢量在地心坐標(biāo)系下的方位角和俯仰角。而該法線可通過關(guān)機(jī)點地心矢量和落地矢量的叉積計算得到。為在彈道平面內(nèi)OW的投影軸與彈道橢圓長軸的夾角。如圖2所示。

圖2 坐標(biāo)系關(guān)系

則雷達(dá)與目標(biāo)的距離為

接下來計算目標(biāo)的對稱軸矢量。需要先引入目標(biāo)運(yùn)動坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系記為xyz，隨目標(biāo)一起運(yùn)動，坐標(biāo)原點在彈體進(jìn)動中心o，x軸與速度方向一致，指向彈頭方向，z軸平行于彈道平面，y軸與x，z構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。如圖2所示。顯然，目標(biāo)運(yùn)動坐標(biāo)系是時變的，原點為，各個坐標(biāo)軸的指向也可以通過下式求得

為了后續(xù)疊加微動的計算方便，求解雷達(dá)視線角在目標(biāo)運(yùn)動坐標(biāo)系中進(jìn)行。需要完成雷達(dá)視線矢量從地心坐標(biāo)系UVW到目標(biāo)運(yùn)動坐標(biāo)系xyz的坐標(biāo)變換

其中，MU－x為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，易通過目標(biāo)運(yùn)動坐標(biāo)系各個坐標(biāo)軸在地心坐標(biāo)系中指向求出。若目標(biāo)不存在進(jìn)動，且0攻角飛行，對稱軸即為x軸，雷達(dá)視線角Ψt為

2.2 目標(biāo)進(jìn)動的描述

若目標(biāo)存在進(jìn)動，產(chǎn)生雷達(dá)視線角的變化，進(jìn)而導(dǎo)致目標(biāo)RCS的改變。進(jìn)動可通過兩個參數(shù)來描述，進(jìn)動角γ和進(jìn)動角速度ω。進(jìn)動角為錐體對稱軸與速度方向的夾角。對于平穩(wěn)的進(jìn)動而言，γ為固定值。在目標(biāo)運(yùn)動坐標(biāo)系系中，對稱軸Lt－x指向可表示為

式中:α0——一常數(shù)。如圖3所示。

圖3 進(jìn)動圓錐目標(biāo)

雷達(dá)視線角隨時間的表達(dá)式為

將視線角Ψt和Rt作為輸入?yún)?shù)，利用電磁理論建模技術(shù)完成目標(biāo)的RCS仿真。

3 電磁散射動態(tài)建模

在常見雷達(dá)波段（如:C和X等），導(dǎo)體目標(biāo)相對于雷達(dá)入射波處于高頻區(qū)，目標(biāo)的雷達(dá)散射回波可以采用高頻電磁散射計算方法獲取［8］。采用三角平面元對目標(biāo)進(jìn)行幾何建模，在三角平面元上直接應(yīng)用物理光學(xué)法（PO）和等效電磁流（MEC）計算目標(biāo)RCS［8，9］。電磁波照射目標(biāo)，表面會產(chǎn)生表面電流，這些電流向外輻射從而形成目標(biāo)的回波。采用PO對目標(biāo)的面電流積分，計算面元對電磁波的響應(yīng)，采用MEC是對線電流積分，計算邊緣對電磁波的響應(yīng)，合成目標(biāo)所有入射可見的面元和線元電流的遠(yuǎn)區(qū)散射場可得到目標(biāo)的RCS。

對于動態(tài)目標(biāo)，不同時刻的目標(biāo)的姿態(tài)和距離隨時間變化，雷達(dá)接收回波會產(chǎn)生多普勒效應(yīng)。因此，對于動態(tài)導(dǎo)彈目標(biāo)還需要對PO＋MEC方法產(chǎn)生的RCS做進(jìn)一步相位修正，用于模擬目標(biāo)的多普勒信息。處理方法為

式中:c——電磁波速度，f——電磁波頻率，σ0（f，t）——相位修正前RCS，σ1（f，t）——相位修正后RCS。

綜上，動態(tài)建模的主要流程如圖4所示。

圖4 動態(tài)電磁建模流程

4 仿真實例及分析

主要仿真參數(shù)設(shè)置如下:目標(biāo)體為球頂圓錐，160cm，底面直徑50cm，半錐角6°；雷達(dá)照射頻率10GHz；關(guān)機(jī)點坐標(biāo)（東經(jīng)60°，北緯0°），關(guān)機(jī)點高度80km；落點坐標(biāo)（東經(jīng)90°，北緯0°）；雷達(dá)坐標(biāo)（東經(jīng)89°，北緯0°）。

假設(shè)目標(biāo)軸向與速度方向相同，仿真得到目標(biāo)飛行高度隨時間的變化如圖5所示。從關(guān)機(jī)到落地飛行時間981s，仿真得到的RCS時間序列及對應(yīng)的雷達(dá)視線角如圖6所示。仿真時，雷達(dá)布置在彈道平面內(nèi)，在落點之前，目標(biāo)先迎頭進(jìn)入，在彈道后期過頂和背離。當(dāng)視線角84°時，雷達(dá)波與圓錐母線垂直，雷達(dá)散射出現(xiàn)RCS強(qiáng)峰。

再仿真目標(biāo)的進(jìn)動情況:仍采用圖5所示彈道，設(shè)進(jìn)動周期為5s，進(jìn)動角10°，觀測時間為600～610s，仿真得到雷達(dá)視線角序列和RCS回波如圖7所示。對結(jié)果曲線進(jìn)行自相關(guān)運(yùn)算［10］，平滑處理后，如圖8所示。易得RCS起伏周期約5s，和設(shè)置參數(shù)一致。驗證了仿真的正確性。

圖5 目標(biāo)飛行高度

圖6 全彈道RCS仿真結(jié)果

圖7 飛行彈頭寬帶RCS回波序列

圖8 RCS回波序列的自相關(guān)結(jié)果

為了驗證仿真相位的準(zhǔn)確性，仿真雷達(dá)回波的頻譜:設(shè)雷達(dá)脈沖串重頻8k Hz，觀測時間為600s～600.05s，共得到40個脈沖。得到歸一化后的頻譜如圖9所示，多普勒譜峰的位置約－1.2k Hz。

按設(shè)定的仿真參數(shù)，可計算得在飛行時刻600s處，目標(biāo)徑向速度約3342.2m/s，則多普勒頻偏約222.8k Hz。由傅里葉變換性質(zhì)易得，速度頻偏折疊到8k Hz的頻帶內(nèi)，為－1.2k Hz。與仿真結(jié)果一致，驗證了仿真回波相位結(jié)果的正確性。

圖9 飛行彈頭寬帶RCS回波序列

5 結(jié)束語

針對空間目標(biāo)動態(tài)RCS仿真問題，給出了質(zhì)心飛行運(yùn)動的數(shù)學(xué)表達(dá)，描述了目標(biāo)與雷達(dá)相對幾何關(guān)系的解算過程，提出了利用物理光學(xué)和等效電磁流方法實時計算得到各個飛行時刻的目標(biāo)RCS的方法。文中基于關(guān)機(jī)點和落點的參數(shù)反推彈道方程的仿真方法，算法簡單。文中采用的實時計算RCS的方法代替了常規(guī)的查表插值法，提高了仿真的準(zhǔn)確性。文中的仿真將地球簡化為理想球體，而且忽略了自轉(zhuǎn)的影響，后續(xù)研究中需要圍繞這些問題進(jìn)一步開展工作，提高仿真的逼真度。

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