湯全武，史崇升，吳 佳

（寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院，寧夏銀川750021）

0 引 言

常見的圖像平滑的方法可以歸納為以下幾類方法:鄰域平均法、多圖平均法、中值濾波法和頻域低通濾波法等［1，2］，而這些方法主要是針對二維的灰度圖像進(jìn)行處理，即使涉及到彩色圖像的平滑，通常也是將彩色圖像轉(zhuǎn)化成灰度圖像，再利用上述方法實(shí)現(xiàn)平滑濾波，或者利用imfilter函數(shù)，采用線性空間濾波器對RGB圖像或HSI圖像的亮度分量進(jìn)行平滑濾波，專門用于彩色圖像的平滑濾波方法研究的比較少。文獻(xiàn)［3］根據(jù)人眼視覺系統(tǒng)的空間模糊特性、人眼視覺感知中的彩色細(xì)節(jié)失明及同時對比特性出發(fā)，確定初始高斯模板和高斯權(quán)值矩陣，實(shí)現(xiàn)對圖像的平滑；文獻(xiàn)［4－7］等通過選擇不同的全局固定帶寬或者局部自適應(yīng)帶寬，將Mean Shift算法運(yùn)用于圖像的平滑與分割中，文獻(xiàn)［8］在此工作基礎(chǔ)上之上，又根據(jù)圖像顏色分布的豐富程度定義了自適應(yīng)空域帶寬，并利用最小化局部方差函數(shù)和最大化頻域結(jié)構(gòu)相似度函數(shù)獲得自適應(yīng)值域帶寬，通過定義采樣點(diǎn)權(quán)重，克服了圖像過平滑問題，取得了較好的結(jié)果；文獻(xiàn)［9］基于HSI彩色空間對圖像進(jìn)行平滑，能夠有效消除圖像噪聲影響和改進(jìn)圖像質(zhì)量。在上述彩色圖像平滑方法中，有采用空間濾波，將Mean Shift算法應(yīng)用于彩色圖像平滑，將RGB圖像轉(zhuǎn)換到其他彩色空間并對圖像進(jìn)行平滑處理，但并未涉及到利用頻域?yàn)V波方法對圖像進(jìn)行平滑。因此，本文提出了一種新的彩色圖像平滑濾波的方法，即DFT平滑濾波算法。

1 彩色圖像的離散傅里葉變換

一幅彩色圖像就是彩色像素的一個M×N×3數(shù)組，其中每一個彩色像素點(diǎn)都是在特定空間位置的彩色圖像相對應(yīng)的3個分量，可以看成是一個由3幅灰度圖像形成的“堆”。頻域?yàn)V波方法只能對二維圖像進(jìn)行濾波，不能直接對彩色圖像進(jìn)行處理，但若將彩色圖像的各分量進(jìn)行提取，其分量圖像均為M×N的數(shù)組，則可對彩色圖像進(jìn)行頻域?yàn)V波［10］。

令f（x，y）表示一幅M×N×3彩色圖像的分量，其中x＝0，1，2，…，M－1和y＝0，1，2，…，N－1。f（x，y）的二維離散傅里葉變換可表示為

其中，μ＝0，1，2，…，M－1和ν＝0，1，2，…，N－1。

設(shè)給定h（h，y）表示一個M×N的函數(shù)，其中h＝0，1，2，…，M－1和y＝0，1，2，…，N－1。h（h，y）的二維離散傅里葉變換可表示為

其中，μ＝0，1，2，…，M－1和ν＝0，1，2，…，N－1。這里，我們通常將H（μ，ν）稱為濾波傳遞函數(shù)。

空間域和頻域線性濾波的基礎(chǔ)都是卷積定理，該定理可以寫為

其中，符號“＊”表示兩個函數(shù)的卷積，雙箭頭兩邊的表達(dá)式組成了傅里葉變換對。在濾波的問題上，通常采用式（3），則f（x，y）濾波圖像f1（x，y）可表示為

其f1（x，y）對應(yīng)的二維傅里葉變換為

將式（6）帶入到式（5）中，并結(jié)合式（1）和式（2）可得濾波圖像f1（x，y）的表達(dá)式為

至此，完成了對彩色圖像分量f（x，y）的頻域?yàn)V波，將彩色圖像的其他分量分別進(jìn)行頻域?yàn)V波，再將分量濾波圖像用cat函數(shù)級聯(lián)，即可實(shí)現(xiàn)彩色圖像的平滑濾波。

2 DFT平滑濾波算法的設(shè)計

2.1 基本思想

令Sxy表示彩色圖像中以（x，y）為中心的鄰域的一組坐標(biāo)。在該鄰域中，彩色圖像向量的平均值為

其中，k是鄰域中像素的數(shù)量。同時，它也遵從

其中，X、Y、Z分別表示Sxy在（x，y）的3個分量。對比式（8）和式（9），我們可以得到這樣的結(jié)論:用鄰域平均的平滑可以在每個圖像平面的基礎(chǔ)上執(zhí)行。如果鄰域平均直接在彩色向量空間執(zhí)行，那么結(jié)果是相同的。彩色圖像是三維空間圖像，不能直接進(jìn)行頻域?yàn)V波，但根據(jù)以上結(jié)論，我們可以對彩色圖像的各分量分別進(jìn)行頻域?yàn)V波。因?yàn)槠浞至繄D像是二維圖像，對分量圖像進(jìn)行DFT離散傅里葉變換，并利用卷積定理，即式（3）可實(shí)現(xiàn)分量圖像在頻域的濾波，將濾波的分量圖像進(jìn)行離散傅里葉逆變換，可轉(zhuǎn)換至對應(yīng)分量圖像的平面。再將各分量的濾波圖像利用cat函數(shù)進(jìn)行合成，則可實(shí)現(xiàn)使用頻域?yàn)V波器平滑彩色圖像的方法。

2.2 算法的實(shí)現(xiàn)

該算法首先提取彩色圖像的各分量，若待平滑的圖像為RGB圖像，提取的分量分別為紅、綠、藍(lán)分量圖像；若要從非RGB彩色空間對圖像進(jìn)行平滑，就使用相應(yīng)的轉(zhuǎn)換函數(shù)將RGB圖像轉(zhuǎn)為其他空間的彩色圖像，再提取圖像的分量圖像。然后分別對每幅分量圖像進(jìn)行DFT頻域?yàn)V波，其中濾波器是利用fspecial函數(shù)產(chǎn)生的大小為16×16像素的‘a(chǎn)verage’濾波器。最后將各分量的濾波圖像進(jìn)行合成。具體實(shí)現(xiàn)算法的流程框圖如圖1所示。

圖1 DFT平滑濾波流程

DFT平滑濾波算法的核心功能編程如下:

clear all

clc

fc＝imread（′bld.tif′）；%讀入RGB圖像

w＝fspecial（′average′，16）；%產(chǎn)生尺寸大小為16×16像素的‘a(chǎn)verage’濾波器

%RGB圖像各分量的提取

fR＝fc（:，:，1）；

fG＝fc（:，:，2）；

f B＝fc（:，:，3）；

%將RGB各分量歸一化

f R＝mat2gray（f R）；

fG＝mat2gray（fG）；

fB＝mat2gray（fB）；

%獲取各分量的填充參數(shù)

PQR＝paddedsize（size（f R））；

PQG＝paddedsize（size（f G））；

PQB＝paddedsize（size（fB））；

%生成對各分量進(jìn)行濾波的頻域?yàn)V波器

HR＝freqz2（w，PQR（1），PQR（2））；

HG＝freqz2（w，PQG（1），PQG（2））；

HB＝freqz2（w，PQB（1），PQB（2））；

%將各分量的頻域?yàn)V波器中心頻率移到四個角

WR＝ifftshift（HR）；

WG＝ifftshift（HG）；

WB＝ifftshift（HB）；

%對RGB各分量圖像進(jìn)行頻域?yàn)V波

ffR＿filtered＝dftfilt（f R，WR）；%對R分量

ffG＿filtered＝dftfilt（fG，WG）；%對G分量

ffB＿filtered＝dftfilt（fB，WB）；%對B分量

%RGB各分量濾波圖像的合成；

f RGB＿filtered＝cat（3，ffR＿filtered，ffG＿filtered，ffB＿filtered）

其中，paddedsize和dftfilt函數(shù)是自定義函數(shù)。paddedsize函數(shù)的功能為:假設(shè)函數(shù)f（x，y）和g（x，y）的大小分別為A×B和C×D，通過對f和g補(bǔ)零，用于計算滿足等式P≥A＋C－1和Q≥B＋D－1的最小偶數(shù)值；dftfilt函數(shù)實(shí)現(xiàn)頻域?yàn)V波。

2.3 評價標(biāo)準(zhǔn)

本文采用均方誤差（MSE）、峰值信噪比（PSNR）值和相關(guān)測度K［11］作為平滑彩色圖像結(jié)果的客觀評價標(biāo)準(zhǔn)。

均方誤差MSE用來表示濾波圖像與原始圖像之差平方的期望值，其離散形式為

式中，f（x，y）、g（x，y）分別為原始圖像的分量、濾波的分量圖像在點(diǎn)（x，y）上的灰度值，M、N分別是x方向、y方向圖像像素點(diǎn)的個數(shù)。

峰值信噪比PSNR反映濾波圖像的失真程度，一般它的值越大就表示濾波圖像的質(zhì)量越好，其定義為

式中，L是濾波圖像分量的灰度取值范圍。

相關(guān)測度K值即表示濾波的分量圖像和原始圖像分量的相似程度，其定義為

整幅圖像的均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR值和相關(guān)測度K值取R、G、B三通道的均值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

3.1 實(shí)驗(yàn)安排

實(shí)驗(yàn)選用的彩色圖像來源于參考文獻(xiàn)［10］，其特征為8位無符號整形RGB彩色圖像，TIFF格式，尺寸1197x1197，如圖3（a）所示。實(shí)驗(yàn)分成兩步:對輸入的RGB圖像加入不同的噪聲類型，高斯噪聲和椒鹽噪聲，比較采用DFT平滑濾波算法對兩種常用噪聲的濾波效果；將輸入的RGB圖像轉(zhuǎn)化為不同的彩色空間，包括NTSC、HSV、HSI、YCbCr、CMY模型，采用DFT平滑濾波，比較對不同彩色空間圖像的濾波效果。其流程如圖2所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對圖3（a）加入均值為0，方差為0.01的高斯噪聲，效果如圖3（b）所示，并采用DFT平滑濾波，平滑結(jié)果如圖3（c）所示；對該圖加入噪聲密度為0.05的椒鹽噪聲，效果如圖3（d）所示，同樣也采用DFT平滑濾波，平滑結(jié)果如圖3（e）所示。

圖3 DFT平滑濾波對加躁彩色圖像的濾波效果

從圖3可看出:DFT平滑濾波算法很好的消除了給RGB圖像加入的高斯噪聲和椒鹽噪聲，其結(jié)果均能較為清晰的看到圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，獲得了較好的平滑濾波效果，表1和表2的數(shù)據(jù)更加精確地表明了這一直觀判斷。

從表1和表2可看出:使用DFT平滑濾波算法對圖3（a）平滑之后，圖像及其分量的峰值信噪比PSNR值和相關(guān)測度K值均明顯的增大，說明該算法對高斯噪聲和椒鹽噪聲均具有良好的抑制作用；使用該算法對圖3（a）平滑之后，圖像的均方誤差MSE值略高于加躁圖像的MSE值，說明采用DFT平滑濾波算法對圖像進(jìn)行平滑，其過程付出了一定的細(xì)節(jié)模糊代價。

表1 對高斯噪聲平滑結(jié)果的評價參數(shù)比較

表2 對椒鹽噪聲平滑結(jié)果的評價參數(shù)比較

將圖3（a）轉(zhuǎn)化成NTSC、HSV、HSI、YCbCr、CMY模型，分別采用DFT平滑濾波，平滑結(jié)果如圖4所示。

圖4 DFT平滑濾波算法對不同彩色空間模型的濾波效果

對比圖3（a）和圖4（a）－（f），可看出:DFT平滑濾波算法適用于對RGB、NTSC、HSV、HSI彩色圖像的平滑，而對YCbCr、CMY圖像的平滑效果很差；DFT平滑濾波算法對HSV、HSI、YCbCr和CMY彩色圖像進(jìn)行平滑濾波，會產(chǎn)生無意義的顏色，比如圖4（c）和（d）中花雜的頂部出現(xiàn)了綠色邊緣，而圖4（e）和（f）表現(xiàn)的更為明顯，這是由于對HSV、HSI、YCbCr和CMY圖像的所有分量進(jìn)行DFT頻域?yàn)V波，改變了相關(guān)分量間的相對關(guān)系，從而使平滑圖像產(chǎn)生了無意義的顏色。對HSV和HSI彩色圖像使用DFT平滑濾波算法，局部雖會產(chǎn)生無意義的顏色，但根據(jù)人眼視覺特性，對彩色圖像的細(xì)節(jié)分辯能力不強(qiáng)，遠(yuǎn)低于對亮度細(xì)節(jié)的分辯能力，即所謂的彩色細(xì)節(jié)失明［12］，DFT平滑濾波算法也可作為平滑HSV和HSI圖像的一種方法。

圖4（c）－（f）在排版中轉(zhuǎn)為灰度圖像，不能反映采用文中濾波算法對HSV、HSI、YCbCr和CMY圖像進(jìn)行平滑濾波之后的顏色變化，讀者可自行運(yùn)行程序進(jìn)行驗(yàn)證。

4 結(jié)束語

通過實(shí)驗(yàn)可知，采用DFT平滑濾波算法對加入高斯噪聲和椒鹽噪聲的彩色圖像均具有良好的濾波效果，其適用于RGB、NTSC、HSV、HSI彩色空間模型圖像的平滑濾波。

本文針對彩色圖像的平滑濾波問題，提出了一種新的平滑濾波算法。傳統(tǒng)的濾波算法基本上都是針對灰度圖像的，而對彩色圖像平滑濾波的方法通常限于采用線性空間濾波器或轉(zhuǎn)換至其他的彩色空間模型進(jìn)行平滑處理，本文利用DFT變換實(shí)現(xiàn)了基于頻域?yàn)V波方法對彩色圖像的平滑濾波，并且對該算法的去噪效果進(jìn)行了分析，明確了其對彩色空間模型的適用范圍，對豐富彩色圖像平滑濾波的方法具有重要的促進(jìn)作用。

［1］HAN Baoli，LIU Yangtao.Research and improvement of the image smoothing algorithm［J］.Computer Knowledge and Technology，2009，5（30）:8540－8542（in Chinese）.［韓寶立，劉楊濤.圖像平滑算法的研究與改進(jìn)［J］.電腦知識與技術(shù)，2009，5（30）:8540－8542.］

［2］YANG Huiyun，ZHANG Youhui，HUO Liling，et al.Application of Bayes decision and neighborhood averaging method on image denoising［J］.Computers Engineering and Application，2010，46（9）:149－151（in Chinese）.［楊會云，張有會，霍利嶺，等.Bayes理論和鄰域平均法在圖像去噪中的應(yīng)用［J］.計算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（9）:149－151.］

［3］LI Xuewei，ZHANG Xinrong.Automatic edge and detail preserving smoother for color image［J］.Computer Engineering and Applications，2010，46（3）:172－174（in Chinese）.［李雪威，張新榮.保持邊緣和細(xì)節(jié)的彩色圖像自動平滑［J］.計算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（3）:172－174.］

［4］Li P F，Wang S R，Jing J F.The segmentation in textile printing image based on mean shift［C］//Proceedings of the 10th Conference on Computer－Aided Industrial Design and Conceptual Design，2009:1528－1532.

［5］Wang Z Y，Boesch R，Waser L，et al.Mean shift segmentation applied to ADS40 data for automatic forest detection［C］//Proceedings of the International Conference on Information and Automation，2009:1099－1103.

［6］Jimenez－Alaniz J R，Pohl－Alfaro M，Medina－Banuelos V，et al.Segmenting brain MRI using adaptive mean shift［C］//Proceedings of the 28th IEEE Conference on Engineering in Medi－cine and Biology Society，2006:3114－3117.

［7］Mayer A，Greenspan H.An adaptive mean－shift framework for MRI brain segmentation［C］//IEEE Transactions on Medical Imaging，2009:1238－1250.

［8］WANG Yan，SUN Yi.Adaptive Mean Shift based image smoothing and segmentation［J］.Acta Automatica Sinica，2010，36（12）:1637－1644（in Chinese）.［王晏，孫怡.自適應(yīng)Mean Shift算法的彩色圖像平滑與分割算法［J］.自動化學(xué)報，2010，36（12）:1637－1644.］

［9］YANG Wenbin，XU Faqiang.Color imgage smoothing based on color space transformation［J］.Science ＆Technology Information，2009（35）:524－523（in Chinese）.［楊文兵，許法強(qiáng).基于顏色空間轉(zhuǎn)換的彩色圖像平滑處理［J］.科技信息，2009（35）:524－523.］

［10］Rafael C Gonzalez.Digital image processing using MATLAB［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2012.

［11］CHEN Yunlong，WANG Ping，WANG Peng.Degradation image restoration algorithm based on nonlinear iteration［J］.Computer Engineering，2010，36（4）:202－204（in Chinese）.［陳云龍，王平，王鵬.基于L－R非線性迭代的降質(zhì)圖像復(fù)原算法［J］.計算機(jī)工程，2010，36（4）:202－204.］

［12］LI Xuewei，ZHANG Xinrong.On edge－preserved Gaussian smoothing filtering algorithm［J］.Computer Applications and Software，2010，27（1）:83－84（in Chinese）.［李雪威，張新榮.保持邊緣的高斯平滑濾波算法研究［J］.計算機(jī)應(yīng)用與軟件，2010，27（1）:83－84.］