韓元春, 那仁滿都拉

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院, 內(nèi)蒙古 通遼 028043)

實(shí)際上,工程中遇到的大量的熱傳導(dǎo)問(wèn)題應(yīng)該用非線性熱傳導(dǎo)方程來(lái)描述.自然界中的其他現(xiàn)象,如擴(kuò)散、滲流等都與熱傳導(dǎo)現(xiàn)象有共性之處,因此也可用類似的非線性方程來(lái)描述.因此,非線性熱傳導(dǎo)方程的研究一直是數(shù)學(xué)和物理學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.然而,由于非線性方程的復(fù)雜性,大多數(shù)方程很難求得精確解析解,只能用數(shù)值方法或近似解析方法求得近似解.Lyapunov人工小參數(shù)法、攝動(dòng)方法、δ展開(kāi)法和Adomian分解法等傳統(tǒng)近似方法,雖然能夠成功地解決許多非線性問(wèn)題[1],但這些方法給出級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度都是確定的,不能簡(jiǎn)便地控制和調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度.針對(duì)這些不足,廖世俊[2]發(fā)展傳統(tǒng)的同倫方法,提出同倫分析方法.該方法的優(yōu)點(diǎn)是適合于求解強(qiáng)非線性問(wèn)題、無(wú)需小參數(shù)假設(shè)條件、可自由選取基函數(shù)而更有效地表達(dá)解、所得級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和速度可由一個(gè)輔助參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)和控制.文獻(xiàn)[3-7]中證實(shí)了該方法的有效性.文獻(xiàn)[8]改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]提出的同倫分析方法,得到帶有2個(gè)輔助參數(shù)的改進(jìn)同倫分析方法.該方法可提供2個(gè)輔助參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)和控制所得級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和速度,從而實(shí)質(zhì)性地改善同倫分析方法所得級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和速度,使其更有效地求解和分析復(fù)雜非線性問(wèn)題.

一般熱傳導(dǎo)問(wèn)題的一維控制方程[9]為

(1)

其中,u表示溫度,k(u)為傳熱系數(shù),f(u)是熱源產(chǎn)生的熱量,兩者都是溫度的函數(shù).當(dāng)k(u)和f(u)為溫度的不同函數(shù)時(shí),方程(1)表示不同的非線性熱傳導(dǎo)方程.當(dāng)k(u) = 2u,f(u) =β(u-u2)時(shí),方程(1)表示文獻(xiàn)[10]中研究的非線性熱傳導(dǎo)方程

(2)

當(dāng)k(u)=α,f(u)=β(u-u3)時(shí),方程(1)就表示文獻(xiàn)[11]中研究過(guò)的非線性熱傳導(dǎo)方程

(3)

在方程(2)和(3)中,α和β是任意常數(shù).

本文先介紹改進(jìn)的同倫分析方法,并運(yùn)用該方法,將研究非線性熱傳導(dǎo)方程(2)和(3)在初始條件(4)和(5)下的傳熱問(wèn)題,給出2種非線性初值問(wèn)題的同倫解,并分別與該問(wèn)題的精確解進(jìn)行比較分析

(4)

(5)

1 改進(jìn)同倫分析方法簡(jiǎn)介

對(duì)于原同倫分析方法,許多文獻(xiàn)做了介紹和應(yīng)用[1-6].因此,本節(jié)介紹改進(jìn)同倫分析方法時(shí),只介紹對(duì)原方法的改進(jìn)部分,其余部分不再闡述.文獻(xiàn)[8]主要在2個(gè)方面對(duì)原同倫分析方法進(jìn)行了改進(jìn).首先對(duì)原同倫分析方法的零階形變方程進(jìn)行改進(jìn),構(gòu)造新的零階形變方程為

[1-gp+(g-1)p2]{L[φ(x,t;p)-

u0(x,t)]}=phN[φ(x,t;p)],

(6)

其中h(h≠0)和g都是輔助參數(shù).由于方程(6)包含2個(gè)輔助參數(shù)h和g,第二個(gè)輔助參數(shù)g對(duì)開(kāi)始系統(tǒng)到目標(biāo)系統(tǒng)之間的同倫增添了一個(gè)新的自由度,因此能夠更有效地調(diào)節(jié)和控制所得級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和速度.當(dāng)?shù)诙o助參數(shù)g=1時(shí),零階形變方程(6)就變成廖世俊[2]提出的原同倫分析方法的零階形變方程.因此,原同倫分析方法的零階形變方程可看作是方程(6)的一種特殊情況.其次對(duì)原同倫分析方法的高階形變方程改進(jìn)為

L[um(x,t)-χmgum-1(x,t)+

(7)

其中

(8)

很顯然,當(dāng)g=1時(shí),高階形變方程(7)就變成原同倫分析方法的高階形變方程.對(duì)方程(7)兩邊作用逆算符L-1可得

(9)

這樣,由(9)式和初始猜測(cè)解,可得原方程的任意階級(jí)數(shù)解.

2 初值問(wèn)題的同倫解

2.1方程(2)滿足初始條件(4)的同倫解依照改進(jìn)同倫分析方法的思想,首先選擇如下初始猜測(cè)解

(10)

以及輔助線性算符

這里c為初始條件確定的積分常數(shù).另外,根據(jù)方程(2),定義非線性算符為

βφ(x,t;p)+βφ(x,t;p)2,

(12)

這樣,可構(gòu)造如下零階形變方程

[1-gp+(g-1)p2]{L[φ(x,t;p)-u0(x,t)]}=

phN[φ(x,t;p)].

(13)

當(dāng)p=0,p=1時(shí),顯然有φ(x,t;0)=u0(x,t),φ(x,t;1)=u(x,t).由零階形變方程(13),可得到如下m階形變方程

L[um(x,t)-χmgum-1(x,t)+

(14)

以及所滿足的初始條件um(x,0)=0.上式中

(15)

m階形變方程(14),對(duì)于m≥1的解為

um(x,t)=χmgum-1(x,t)-

(16)

這樣,由(10)和(16)式可以計(jì)算出u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t),…,從而可得到原方程任意階級(jí)數(shù)解

(17)

這里利用數(shù)學(xué)軟件Maple,當(dāng)β=1時(shí)計(jì)算出了前10項(xiàng)(由于表達(dá)式太長(zhǎng)這里已忽略),并得到了如下10階級(jí)數(shù)解

(18)

圖1 v=μt(0,0)等高線圖Fig. 1 Contour map of V=μt(0,0)

圖2 級(jí)數(shù)解(18)(實(shí)線)與精確解(圓圈)的比較:Fig. 2 Series solution (18)(real line) comparison with the exact solution(circle line)

圖3 原同倫分析方法和改進(jìn)同倫分析方法給出解(實(shí)線)與精確解(圓圈)的比較Fig. 3 The comparision of the solution(real line) by using original homotopy analysis method and improved one with the exact solution(circle line)

2.2方程(3)滿足初始條件(5)的同倫解同樣,初始猜測(cè)解和輔助線性算符選為

這里c為初始條件確定的積分常數(shù).另外,還定義非線性算符

這樣,可構(gòu)造如下零階形變方程

[1-gp+(g-1)p2]{L[φ(x,t;p)-u0(x,t)]}=

phN[φ(x,t;p)].

(22)

由零階形變方程(22),可得到如下m階形變方程

L[um(x,t)-χmgum-1(x,t)+

(23)

以及所滿足的初始條件um(x,0)=0.在(23)式中

(24)

m階形變方程(23),對(duì)于m≥1的解為

um(x,t)=χmgum-1(x,t)-

(25)

這樣,當(dāng)α=2,β=0.2時(shí),用數(shù)學(xué)軟件Maple計(jì)算出前10項(xiàng)(這里已忽略),進(jìn)而得到了如下級(jí)數(shù)解

(26)

圖4 W=ut(0,0)之等高線圖Fig. 4 Contour map of W=ut(0,0)

圖5 級(jí)數(shù)解(26)(實(shí)線)與精確解(圓圈)的比較Fig. 5 Series solution (26)(real line) compared with the exact solution(circle line)

圖6 原同倫分析方法和改進(jìn)同倫分析方法給出解(實(shí)線)與精確解(圓圈)比較Fig. 6 The comparision of the solutions(real line) by using original homotopy analysis method and improved one with the exact solution(circle line)

3 結(jié)語(yǔ)

本文首先介紹了一種改進(jìn)同倫分析方法,然后用該方法研究非線性熱傳導(dǎo)方程,得到不同初始條件下的2種同倫解.把所得的2種同倫解與該問(wèn)題的精確解分別進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)了兩者的高度吻合性.這表明利用改進(jìn)同倫分析方法可以獲得非線性方程的高精度近似解.另外,把改進(jìn)同倫分析方法給出的解和原同倫分析方法給出的解分別與精確解進(jìn)行比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn)由于改進(jìn)同倫分析方法中有2個(gè)輔助參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)和控制所得級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和速度,所以改進(jìn)同倫分析方法給出的解能夠更快、更好地逼近真實(shí)解.可見(jiàn),改進(jìn)同倫分析方法對(duì)復(fù)雜非線性問(wèn)題的研究有它的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn).非線性熱傳導(dǎo)問(wèn)題的研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[9-12],而本文介紹的方法和所得結(jié)果將有助于深入分析這類非線性問(wèn)題.

致謝內(nèi)蒙古民族大學(xué)科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助項(xiàng)目對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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