溫雙全, 李春海, 莫達(dá)隆

(1. 桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 廣西 桂林 541004; 2. 賀州學(xué)院 理學(xué)院, 廣西 賀州 542800)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

非線性演化方程已應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理學(xué),如：生物學(xué)、流體力學(xué)、化學(xué)、凝聚物理學(xué)、光纖通信和量子場論.由于非線性演化方程應(yīng)用于許多數(shù)學(xué)物理模型中,所以這些方程的精確解變得越來越重要并且促進(jìn)了數(shù)值解的驗(yàn)證和解的穩(wěn)定性分析,而許多解的存在性可能只依賴于一個(gè)單一變量.過去幾年,有許多方法已用于尋求這類方程的精確解,如反散射法[1]、Backlund變換[2]、Hirota法[3]、對稱法[4]、李群方法[5]、動(dòng)力系統(tǒng)分支理論[6]、同倫攝動(dòng)法[7].

Vakhnenko方程是一個(gè)在松弛介質(zhì)下描述高頻波的非線性演化方程[8-9],Vakhnenk方程簡稱VE,即

(1)

其中,u是無限維壓強(qiáng),x是空間變量,t是時(shí)間變量.由于VE有類似圈孤解的形式,則獲得其方程的解比較困難.目前,學(xué)者們研究該方程已有些成就,如文獻(xiàn)[10-11]運(yùn)用同倫分析法發(fā)現(xiàn)該方程存在一個(gè)圈孤解形式;而V. Vakhnenko等[3]運(yùn)用Hirota法[3]和反散射法[1,12]發(fā)現(xiàn)了2個(gè)圈孤解形式;而A. Morrison等[13]運(yùn)用Hirota法[13]和反散射法[12]分別獲得了N個(gè)圈孤解形式和計(jì)算多個(gè)圈孤解形式.

目前許多作者進(jìn)一步研究

(2)

其中

若p=q=1,方程(2)是廣義VE[13-14].若p=2q,方程(2)是修正的廣義VE[15].廣義VE和修正的廣義VE都存在圈孤解、峰孤解和尖孤解.本文主要運(yùn)用李群方法和動(dòng)力系統(tǒng)理論來研究從VE演化而來的Vakhnenko-Parkes[16-17](VP)方程

uuxxt-uxuxt+u2ut=0.

(3)

2 Vakhnenko-Parkes方程的李對稱

李群方法又稱作李對稱分析方法[5,18].相對較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f法,微分方程的李對稱群是將方程的一個(gè)解映射為方程的另一個(gè)解.微分方程的不變性將導(dǎo)出它的對稱群所滿足的充分必要條件,這組條件即稱為對稱群的決定方程組.確定了對稱群的決定方程組,隨之即可得到許多相應(yīng)的應(yīng)用.

設(shè)單參數(shù)李變換群的無窮小變換為

x→x+εξ(x,t,u),

t→t+ετ(x,t,u),

u→u+εφ(x,t,u),

其中無窮小參數(shù)ε?1.設(shè)

(4)

為單參數(shù)李變換群的向量場,其第1,2,3階延拓向量場如下

方程(3)在無窮小變換下保持不變當(dāng)且僅當(dāng)向量場應(yīng)滿足李對稱條件pr(3)V(Δ)|Δ=0,其中

Δ=uuxxt-uxuxt+u2ut.

應(yīng)用李對稱條件到方程(3),可知系數(shù)函數(shù)ξ(x,t,u)、τ(x,t,u)、φ(x,t,u)必須滿足如下對稱條件

uxxtφ+2uutφ-uxtφx+

u2φt-uxφxt+uφxxt=0,

(5)

其中,φx、φt、φxt、φxxt是延拓向量pr(3)V的系數(shù),并且有

φx=Dxφ-uxDxξ-utDxτ,

(6)

φt=Dtφ-uxDtξ-utDtτ,

(7)

φxt=DtDx(φ-ξux-τut)+ξuxxt+τuxtt,

(8)

ξuxxxt+τuxxtt,

(9)

其中,Dx和Dt分別是對x和t的全微分.置換(6)～(9)式到(5)式,并用uxuxt替換uuxxt+u2ut,得到VP方程的決定方程組

ξu=ξt=0,ξ=ξ(x),

(10)

τx=τu=0,τ=τ(t),

(11)

φuu=φx=φt=0,φ=φ(u),

(12)

-2φu+2ξx+τt=0, 3φu-τt=0.

(13)

解上面這些方程組,有如下系數(shù)函數(shù)

ξ=c1x+c2,τ=-6c1t+c3,

φ=-2c1u.

(14)

其中,c1、c2、c3是任意常數(shù).可見方程的不變?nèi)旱娜w生成元構(gòu)成了一個(gè)3維李代數(shù),并且有下列一組基

(15)

與它們相應(yīng)的單參數(shù)變換群

G1:(x,t,u)→(x+ε,t,u),

G2:(x,t,u)→(x,t+ε,u),

G3:(x,t,u)→(xeε,te-6ε,ue-2ε).

由此可見G1是空間變換,G2是時(shí)間變換,G3是尺度變換.因此,由表1可知V1、V2、V3的交換算子是封閉的.

3 Vakhnenko-Parkes方程的廣義對稱

應(yīng)用廣義對稱方法考慮VP方程的對稱.廣義對稱方法又簡稱待定系數(shù)法.

設(shè)VP方程的對稱

σ(x,t,u)=a(x,t)ut+b(x,t)ux+

c(x,t)u+d(x,t),

(16)

其中,a(x,t)、b(x,t)、c(x,t)、d(x,t)是未確定的系數(shù)函數(shù).根據(jù)廣義對稱方法,對稱應(yīng)滿足下列條件

uxxtσ+2uutσ+u2σt-uxtσx-

uxσxt+uσxxt=0.

(17)

把(16)式及其相應(yīng)的微分項(xiàng)代入(17)式,得到下列系數(shù)函數(shù)的表達(dá)形式

a(x,t)=-6c1t+c3,

b(x,t)=c1x+c2,

c(x,t)=2c1,d(x,t)=0.

(18)

于是得到VP方程的對稱

σ=c3ut+c2ux+

c1(xux-6tut+2u),

(19)

其中,c1、c2、c3是任意常數(shù).因此,得到VP方程的對稱如下形式

σ1=ux,σ2=ut,

σ3=xux-6tut+2u,

(20)

這與第二節(jié)給出的對稱是一樣的.

4 Vakhnenko-Parkes方程的對稱李代數(shù)的一維最優(yōu)系統(tǒng)

下面給出VP方程的李代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)[19-21].為了獲得該方程的最優(yōu)系統(tǒng),計(jì)算了李代數(shù)的交換子和李代數(shù)的伴隨表示分別見表1和表2.

定理1方程的對稱代數(shù)的一維最優(yōu)系統(tǒng)有

V1,V2,V3,V1±V2.

(21)

表 1 換位子

表 2 李代數(shù)的的伴隨表示Ad(exp(ε Vi))Vj

證明設(shè)VP方程對稱代數(shù)的一維子代數(shù)的一般向量

V=a1V1+a2V2+a3V3,

其中,a1、a2、a3是不全為零的任意常數(shù).下面對一維李代數(shù)進(jìn)行分類,為了進(jìn)一步簡化一般向量,考慮下面幾種情況:

1)a3≠0.用Adexp(ε1V1)作用V上有

V=(a1-ε1a3)V1+a2V2+a3V3.

取ε1=a1/a3,則V1項(xiàng)被消掉,V被約化為

V=a2V2+a3V3.

又取ε2=-a2/6a3,用Adexp(ε2V2)作用于V上,消掉V2項(xiàng),則該情形下V等價(jià)于V=V3.

2)a3=0.V等價(jià)于V=a1V1+a2V2.

(a) 若a1=0,a2≠0,則該情形下V等價(jià)于V=V2;

(b) 若a1≠0,a2=0,則該情形下V等價(jià)于V=V1;

(c) 若a1≠0,a2≠0,用Adexp(ε3V3)作用于V上,可選取適當(dāng)?shù)摩?,使得V1和V2的系數(shù)相等或相反,則該情形下V等價(jià)于V=V1±V2.

總而言之,VP方程對稱代數(shù)的一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)Θ為{V1,V2,V3,V1±V2}.

5 Vaknenko-Parkes方程的精確行波解

當(dāng)前考慮VP方程的行波解,設(shè)ξ=κx+ωt,有u(x,t)=φ(κx+ωt),其中κ和ω是增長波速.把它代入方程(3),得到如下非線性常微分方程

κ2wφφ?-κ2wφ′φ″+wφ2φ′=0.

(22)

方程(22)對ξ進(jìn)行積分有

3κ2φφ″-3κ2(φ′)2+φ3=g,

(23)

其中g(shù)是積分常數(shù).方程(23)等價(jià)于平面

(24)

系統(tǒng)(24)有首次積分

(25)

其中h是積分常數(shù).

顯而易見在奇異線φ=0,系統(tǒng)(24)是無窮維的,這樣的系統(tǒng)稱為奇異行波系統(tǒng).為了避免出現(xiàn)奇異情形,作變換dξ=φdτ.系統(tǒng)(24)轉(zhuǎn)化成正則系統(tǒng)

(26)

系統(tǒng)(24)與系統(tǒng)(26)有相同的首次積分即不變曲線解,并且除了在奇異線φ=0外,系統(tǒng)(26)與系統(tǒng)(24)有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

令M(φe,ye)為系統(tǒng)(26)在奇點(diǎn)(φe,ye)的系數(shù)矩陣,J(φe,ye)為系統(tǒng)(29)在奇點(diǎn)(φe,ye)的雅可比行列式,則有

i=1,2,P2-4q>0.

由平面動(dòng)力系統(tǒng)分支理論[6],有如下結(jié)論：

1)g>0,N是一個(gè)中心點(diǎn);

2)g=0,O(0,0)是一個(gè)高階奇點(diǎn);

3)g<0,N是一個(gè)鞍點(diǎn),P1和P2是2個(gè)結(jié)點(diǎn).從而得出(24)和(26)的相圖分支如圖1所示.

根據(jù)系統(tǒng)(26)的相圖進(jìn)行分析討論,得出VP方程的幾種行波解如下.

圖1 系統(tǒng)(24)和(26)的相圖Fig. 1 Phase portraits of system (24) and (26)

(27)

置(27)式于系統(tǒng)(24)的第一個(gè)方程積分有

其中

(φ3-φ)(φ-φ2)(φ-φ1)=

則有如下參數(shù)表達(dá)式

φ(ξ)=φ3-(φ3-φ2)sn2(ω1ξ,k1),

(28)

其中

sn(u,k)是雅可比橢圓函數(shù).因此,存在VP方程的周期行波解

φ(x,t)=φ3-

(φ3-φ2)sn2(ω1(κx+ωt),k1).

(29)

5.2孤波解

1) 當(dāng)g=0時(shí),存在一條同宿軌道穿過平衡點(diǎn)O(0,0)位于勢函數(shù)h>0,則系統(tǒng)(25)變成

(30)

置(30)式于系統(tǒng)(24)的第一個(gè)方程積分,有參數(shù)表達(dá)式

(31)

2) 當(dāng)g<0時(shí),存在3條異宿軌道穿過奇點(diǎn)N,P1和P2位于勢函數(shù)h>0,則系統(tǒng)(25)變成

(32)

置(32)式于系統(tǒng)(24)的第一個(gè)方程積分,有參數(shù)表達(dá)式

其中

因此,VP方程的孤立波解的參數(shù)表達(dá)式為

(33)

本文對VP方程運(yùn)用經(jīng)典李群方法進(jìn)行了李對稱分析,獲得該方程的對稱群的李代數(shù)結(jié)構(gòu),并且運(yùn)用廣義對稱方法對其進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)此種方法下,該方程的李代數(shù)與前者是一樣的.在伴隨表示作用下,進(jìn)一步研究了該方程的一維最優(yōu)系統(tǒng),并給出了證明.此外,運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)方法研究了該方程的分支相圖,根據(jù)相圖探討了該方程的一些精確解,并且找出其精確解的參數(shù)表達(dá)式.

[1] Vakhnenko V, Parkes E, Michtchenko A. The Vakhnenko equation from the view point of the inverse scattering method for the KdV equation[J]. Int J Diff Eqns Appl,2006,1(4):429-449.

[2] Vakhnenko V, Parkes E, Morrison A. A Backlund transformation and the inverse scattering transform method for the generalised Vakhnenko equation[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2003,17(4):683-692.

[3] Vakhnenko V, Parkes E. The two loop soliton solution of the Vakhnenko equation[J]. Nonlinearity,1998,11(6):1457-1464.

[4] Bluman G, Kumei S. Symmetries and Differential Equations[M]. New York:Springer-Verlag,1989.

[5] Liu H, Li J. Lie symmetry analysis and exact solutions for the short pulse equation[J]. Nonlinear Anal,2009,71(5/6):2126-2133.

[6] Chen A, Ma Z. Bifurcation method of dynamical systems for generalized Kadomtsov-Petviashvili- Benjamin-Bona-Mahony equation[J]. Pramana J Phys,2008,71(1):57-63.

[7] He J. The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities[J]. Appl Math Comput,2004,151(1):287-292.

[8] Vakhnenko V. Solitons in a nonliear model medium[J]. J Phys,1992,A25(15):4181-4187.

[9] Vakhnenko V. High-frequency soliton-like waves in a relaxing medium[J]. J Math Phys,1999,40(4):2011-2020.

[10] Nahhas A. Analytic approximations for the one-loop soliton solution of the Vakhnenko eqaution[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2009,40(5):2257-2264.

[11] Wu Y, Wang C, Liao J. Solving the one-loop soliton solution of the Vakhnenko equation by means of the Homotopy analysis method[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2005,23(5):1733-1740.

[12] Vakhnenko V, Parkes E. The calculation of multi-soliton solutions of the Vakhnenko equation by the inverse scattering method[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2002,13(9):1819-1826.

[13] Morrison A, Parkes E, Vakhnenko V. TheN-loop soliton solutions of the Vakhnenko equation[J]. Nonlinearity,1999,12(5):1427-1437.

[14] Morrison A, Parkes E. TheN-soliton solution of a generalised Vakhnenko equation[J]. Glasgow Math J Trust,2001,43:65-90.

[15] Morrison A, Parkes E. TheN-soliton solution of the modified generalised Vakhnenko equation(a new nonlinear evolution equation)[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2003,16(1):13-26.

[16] Abazari R. Application of (G′/G)-expansion method to traveling wave solutions of three nonlinear evolution equation[J]. Computers and Fluids,2010,39(10):1957-1963.

[17] Jafari H, Kadkhode N, Khalique C. Traveling wave solutions of nonlinear evolution using the simplest equation method[J]. Comput Math Appl,2012,64(6):2084-2088.

[18] Liu H, Li J, Liu L. Lie symmetry analysis, optimal systems and exact solutions to the fifth-order KdV types of equation[J]. J Math Anal Appl,2010,368(2):551-558.

[19] 劉若辰,何文麗,張順利,等. 非線性發(fā)展方程的一維最優(yōu)系統(tǒng)[J]. 西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,33(4):383-388.

[20] 張穎,屈長征. Zero-coupon bond pricing模型的最優(yōu)系統(tǒng)和對稱約化[D]. 蘭州:西北大學(xué),2009.

[21] Chou K, Qu C. Optimal systems and group classification of (1+2)-dimensional heat equation[J]. Acta Appl Math,2004,83(3):257-287.

[22] 馬知恩,周義倉. 常微分方程定性理論與穩(wěn)定性方法[M]. 北京:科學(xué)出版社,2001.

[23] Liu H, Li J. Lie symmetry analysis and exact solutions for the extended mKdV equation[J]. Acta Appl Math,2010,109(3):1107-1119.