陽(yáng) 睿, 李英姿, 張立文, 蔣沙汝, 錢(qián)建強(qiáng)

(北京航空航天大學(xué) a.儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院； b.物理科學(xué)與核能工程學(xué)院； c.數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

原子力顯微鏡(Atomic Force Microscope，AFM)具有原子級(jí)成像能力，是納米技術(shù)研究的主要工具，其工作模式分為動(dòng)態(tài)力模式和靜態(tài)力模式[1]，幅度調(diào)制模式為動(dòng)態(tài)力模式的一種，工作在幅度調(diào)制模式下的AFM又叫幅度調(diào)制原子力顯微鏡(Amplitude Modulation Atomic Force Microscope，AM-AFM)，其對(duì)探針和樣品的損傷較小，還有較高的分辨率和線性工作范圍，已成為AFM應(yīng)用得較為廣泛的一種工作模式[2-3]。

目前,我校本科實(shí)驗(yàn)用原子力顯微鏡仿真平臺(tái)主要采用傳統(tǒng)的PID控制器進(jìn)行控制[4]，實(shí)驗(yàn)操作者往往需要反復(fù)調(diào)試才能找出一組控制效果較好的離線PID參數(shù)[5-8]，因此，在傳統(tǒng)PID控制器基礎(chǔ)上加入模糊系統(tǒng)的模糊PID控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)PID參數(shù)的實(shí)時(shí)在線調(diào)整，相較于傳統(tǒng)PID能取得更好的控制效果。本文利用歐拉-伯努利方程對(duì)AM-AFM的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行建模，建立一套AM-AFM的仿真平臺(tái)，并以此檢驗(yàn)?zāi)：齈ID控制器對(duì)AM-AFM的控制效果。

1 仿真平臺(tái)的建立

AM-AFM工作時(shí)，探針在激勵(lì)信號(hào)驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行振動(dòng)，針尖周期性地與樣品接觸，將振幅與設(shè)定振幅之差輸入控制器產(chǎn)生控制量，對(duì)壓電陶瓷的伸縮量進(jìn)行調(diào)整，使偏差趨于零，進(jìn)而掃描出樣品表面形貌。

AM-AFM系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。探針在其諧振頻率附近以幾十納米的振幅振動(dòng)，假如樣品高度增大，由于探針跟蹤的遲滯效應(yīng)，探針-樣品間距離變小，引起探針振幅減小，由激光檢測(cè)器測(cè)得輸出振幅與設(shè)定振幅的偏差，PID控制器根據(jù)該偏差減少z方向壓電陶瓷管兩端電壓，提高探針高度，減小偏差，使得探針振幅盡可能保持在設(shè)定振幅，從而控制探針跟蹤樣品表面。為使模型簡(jiǎn)化，將壓電陶瓷看成比例系數(shù)為1的線性環(huán)節(jié)。

圖1 幅度調(diào)制原子力顯微鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

AM-AFM懸臂梁可看做一個(gè)彈性梁，其運(yùn)動(dòng)可以用歐拉-伯努利方程來(lái)描述[9]：

(1)

式中:w(x,t)為撓度，探針運(yùn)動(dòng)即為x=L時(shí)懸臂梁的撓度w(L,t);F0cosωt為作用于懸臂梁上的激勵(lì)信號(hào);F(zc,z)為探針與樣品之間的相互作用力。

探針在掃描運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)經(jīng)歷接觸與非接觸兩種情形，由原子間距離a0進(jìn)行劃分。當(dāng)距離大于a0時(shí)，針尖與樣品之間的相互作用力為范德瓦爾斯力[10]；當(dāng)距離小于a0時(shí)，針尖與樣品之間的斥力用DMT(Derjaguin-Müller-Toporov)[11]計(jì)算，則針尖與樣品的相互作用F(zc,z)可以表示為

(2)

式中:A為Hamaker常數(shù);R為探針針尖的曲率半徑;E為樣品的彈性模量;ν為樣品的泊松比;η為黏性系數(shù);h為樣品厚度;zc為懸臂梁的平衡位置;a0為原子間距離;E*為等效剛度。

利用振型分解法可以將歐拉-伯努利方程轉(zhuǎn)化成形如下式的n個(gè)常微分方程的求解[12]：

(3)

最終求解出探針運(yùn)動(dòng)函數(shù)w(L,t)為

(4)

2 模糊PID控制器設(shè)計(jì)

目前,AM-AFM一般采用PID控制器，傳統(tǒng)PID控制器的表達(dá)式如下：

(5)

式中:e(t)為誤差信號(hào);uPID為控制量，即懸臂梁高度;Kp、Ki、Kd分別是比例、積分、微分系數(shù)。模糊PID控制器在傳統(tǒng)PID控制器上加入模糊系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)更加有效的控制。

2.1 模糊PID控制器的結(jié)構(gòu)

模糊PID控制器在傳統(tǒng)PID控制器的基礎(chǔ)上，加入了一層模糊推理機(jī)，對(duì)PID控制器的Kp、Ki、Kd參數(shù)實(shí)現(xiàn)了實(shí)時(shí)在線調(diào)整，結(jié)構(gòu)如圖2所示，克服了傳統(tǒng)PID控制器中存在的參數(shù)修改不方便、不能自整定等缺點(diǎn)，進(jìn)一步完善了控制器性能，更好地適應(yīng)了控制系統(tǒng)參數(shù)和工作條件的變化。

圖2 模糊PID控制器結(jié)構(gòu)

2.2 模糊中心和隸屬度函數(shù)的選擇

假定Kp∈[Kpmin，Kpmax]，Kd∈[Kdmin，Kdmax]，并依據(jù)Kp0、Ki0、Kd0，將范圍取為：Kpmin=0.004Kp0，Kpmax=1.033Kp0，Kdmin=0.7Kd0，Kdmax=2.35Kd0。

為了方便，本文將參數(shù)Kp、Kd歸一化為0～1之間的數(shù)，有：

(6)

(7)

假定積分時(shí)間常數(shù)與微分時(shí)間存在如下倍數(shù)關(guān)系：

Ti=αTd

(8)

則積分增益可以通過(guò)下面的式子算出來(lái)：

(9)

圖3 PID參數(shù)換算圖

假定模糊系統(tǒng)的輸入偏差e和偏差變化率de的論域?yàn)檫B續(xù)區(qū)間[emin,emax]和[demin, demax]，將其分為7個(gè)模糊子集，分別用負(fù)大(NB)、負(fù)中(NM)、負(fù)小(NS)、零(ZO)、正小(PS)、正中(PM)、正大(PB)來(lái)描述，皆選用三角形隸屬度函數(shù)，如圖4所示。

圖4e和de的隸屬度函數(shù)

圖5 K′p和K′d的隸屬度函數(shù)圖6 α的隸屬度函數(shù)

2.3 模糊規(guī)則的建立

模糊規(guī)則的建立要從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等方面考慮：比例系數(shù)Kp的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，Kp過(guò)大，易產(chǎn)生超調(diào)，過(guò)小，則會(huì)使相應(yīng)速度變慢，從而延長(zhǎng)調(diào)節(jié)時(shí)間；積分系數(shù)Ki的作用是消除系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，Ki越大，系統(tǒng)的靜態(tài)誤差消除越快，但Ki過(guò)大，在響應(yīng)過(guò)程的初期會(huì)產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，引起較大超調(diào)，Ki過(guò)小，將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差難以消除；微分系數(shù)Kd的作用是改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，在響應(yīng)過(guò)程中對(duì)偏差變化進(jìn)行提前預(yù)報(bào)，但Kd過(guò)大，會(huì)使響應(yīng)過(guò)程提前制動(dòng)，延長(zhǎng)調(diào)節(jié)時(shí)間。

由此根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出以下規(guī)律：

表1 的模糊規(guī)則表

3 仿真結(jié)果

基于上述仿真平臺(tái)，分別用PID控制器和模糊PID控制器對(duì)兩個(gè)典型樣品信號(hào)進(jìn)行仿真，通過(guò)掃描圖像的對(duì)比，檢驗(yàn)?zāi)：齈ID對(duì)AM-AFM掃描過(guò)程的控制效果，仿真結(jié)果如下：

表2 的模糊規(guī)則表

表3 α的模糊規(guī)則表

(1) 樣品為高20 nm的一維臺(tái)階信號(hào)，仿真圖像如圖7所示，其參數(shù)設(shè)置如下：

PID控制器參數(shù)初值：Kp0=0.052，Ki0=618，Kd0=2.109×10-6。激勵(lì)頻率f=44.8 kHz，自由振幅Afree=50 nm，工作振幅Aset=30 nm，掃描速度v=2 μm/s，采樣周期與振蕩周期之比n=5。Hamaker常數(shù)10-19J，探針針尖半徑Rtip=20 nm，樣品楊氏模量Esample=50 GPa，探針楊氏模量Etip=130 GPa，樣品及探針泊松比υsample=υtip=0.3。

圖7顯示了樣品用傳統(tǒng)PID掃描和模糊PID掃描的圖像。傳統(tǒng)PID的參數(shù)取為Kp0、Ki0、Kd0，也就是模糊PID控制器的初始值。x坐標(biāo)是采樣周期數(shù)，y坐標(biāo)是垂直高度，掃描圖顯示為探針平衡位置高度。由圖可見(jiàn)，傳統(tǒng)PID掃描圖像上升沿的調(diào)節(jié)時(shí)間約為50個(gè)采樣周期，而模糊PID掃描圖像約為20個(gè)采樣周期，

圖7 臺(tái)階信號(hào)掃描對(duì)比圖

且超調(diào)量約為1.85%，由此可知采用模糊PID控制，系統(tǒng)在保持著極高的穩(wěn)定性的同時(shí)，快速性也得到了很大的提高。

(2) 樣品為最大起伏至25 nm的三維復(fù)雜信號(hào)，仿真圖像如圖8所示，參數(shù)設(shè)置只需將上例中的掃描速度改為v=6.6 μm/s，采樣周期與振蕩周期之比改為n=10，其余設(shè)置相同。

圖8中，深灰色曲面的是樣品，淺灰色曲面是掃描圖像。圖8(a)為傳統(tǒng)PID掃描圖，圖8(b)為模糊PID掃描圖。x，y軸表示采樣周期數(shù)，z軸表示垂直高度，掃描圖顯示為探針平衡位置高度。三維復(fù)雜樣品的仿真結(jié)果直觀地體現(xiàn)了模糊PID對(duì)探針掃描過(guò)程的控制效果，可以看出(a)中圖像較樣品圖像有較大的滯后，相比之下，(b)中圖像更好地跟蹤了樣品表面，尤其是對(duì)于傳統(tǒng)PID難于跟蹤的凹坑，模糊PID控制的掃描圖像滯后明顯小于傳統(tǒng)PID，更顯示出前者控制品質(zhì)的優(yōu)越性。

(a) 傳統(tǒng)PID

(b) 模糊PID

4 結(jié) 語(yǔ)

基于歐拉-伯努利模型對(duì)AM-AFM探針動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行建模，建立了一套AM-AFM仿真平臺(tái)。對(duì)AM-AFM掃描樣品表面過(guò)程進(jìn)行有效的仿真，不僅為AM-AFM本科生實(shí)驗(yàn)操作者提供了一定的指導(dǎo)，也為檢驗(yàn)

模糊PID對(duì)AM-AFM的控制效果提供了有效的手段；結(jié)合Ziegler-Nichols法調(diào)出一組初始PID參數(shù)，將此初值運(yùn)用于模糊系統(tǒng)參量范圍的確定及模糊中心和隸屬度函數(shù)的選擇上，并通過(guò)模糊系統(tǒng)適當(dāng)?shù)貙?duì)PID參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，使得模糊PID控制取得了良好的控制效果；通過(guò)平臺(tái)進(jìn)行掃描仿真直觀地反映出模糊PID對(duì)表面起伏較大的樣品掃描跟蹤具有較高的準(zhǔn)確性和快速性， 明顯地體現(xiàn)出模糊PID相比于傳統(tǒng)PID控制的優(yōu)越性，并為今后將模糊PID等智能控制運(yùn)用于AFM實(shí)際操作等更深一步的工作提供了一定的依據(jù)。

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