何華燦

(西北工業(yè)大學 計算機學院，陜西 西安 710072)

1 一個“平凡人”的不平凡貢獻

1)“S型超協(xié)調邏輯”是我國學者張金成自創(chuàng)的一種邏輯，與它最接近的系統(tǒng)有巴西的“次協(xié)調邏輯”、美國的“不協(xié)調邏輯”和澳大利亞的“R型超協(xié)調邏輯”，不同的是他們都是通過直接約束矛盾律的有效使用范圍來包含“無害矛盾”，而張金成是在堅持排斥“邏輯矛盾”的同時，直接把“辯證矛盾”作為邏輯系統(tǒng)的研究對象，其“數(shù)理辯證邏輯”的指向更加明確。張金成的論文《邏輯及數(shù)學演算中的不動項與不可判定命題》(以下簡稱為《張文》)是在S型超協(xié)調邏輯基礎上的一項重大研究突破，取得了一系列開創(chuàng)性成果，顛覆了現(xiàn)代數(shù)學中許多業(yè)已被公認的片面結論。然而，這些開創(chuàng)性研究成果只有在“開放論域”環(huán)境中解讀，才能顯示其存在的意義和思想光芒。如果硬要把它們拉回到“封閉論域”環(huán)境中去解讀，所有存在的意義和思想光芒必將全部被湮滅，這是由于2種不同邏輯理論的立論基礎和研究范疇所決定的，無法避免。

2)張金成是一個自學成才的年輕學者，一個再普通不過的“平凡人”，他沒有顯赫的教育背景和學位，沒有在“官科”機構中任職的社會地位，他的這些前無古人的開創(chuàng)性成果更顯得難能可貴！也正因為如此，他的這些開創(chuàng)性成果也很容易被人誤判為是“民科”之流的“低劣之作”而被打入冷宮，無人理睬。所以，作者特寫此文予以具名推薦和說明，一是表示對作者的研究成果的高度負責，愿意向學術界公開為《張文》承擔一部分文責，以利其公開發(fā)表，與廣大讀者見面；二是通過“開放的論域”環(huán)境來解讀“不動項”存在的理論意義，并通過“封閉論域”環(huán)境和“開放論域”環(huán)境之間的相互辯證轉化關系來解讀“不動項”的認識論價值，以便讀者深入理解，準確地把握《張文》的意義和貢獻。

2 “悖論”的外在表現(xiàn)和內在本質

1)在數(shù)學形成期，所謂“數(shù)學知識”都是一些零星分布的直接觀測結果和實際操作經驗總結，數(shù)學理論處在“原始開放”狀態(tài)，各種知識之間并未形成嚴格的“認識鏈條”。是古希臘人泰勒斯(公元前624-547)倡導數(shù)學定理的邏輯證明，才逐步利用形式邏輯把各種已知知識組成一個松散的認識鏈條，部分已知知識之間可以相互驗證。直到歐幾里德(公元前325-265)《幾何原本》的出現(xiàn)，開創(chuàng)了在公理系統(tǒng)基礎上利用形式邏輯組成嚴格的數(shù)學理論體系的先河，標志著“封閉數(shù)學”體系結構的正式形成。這種“封閉數(shù)學”可以在一個封閉論域上，利用極少量稱為公理的已知知識和形式邏輯，建立一個“完整的認識鏈條”，這個認識鏈條不僅能夠把該封閉論域上的所有已知知識全部串聯(lián)到認識鏈條上，而且能夠把在邏輯上蘊含于公理系統(tǒng)中的全部“未知知識”演繹出來。這是數(shù)學發(fā)展史上一個前所未有的巨大進步，但數(shù)學也因此付出了失去“開放性”的巨大代價。數(shù)學家們逐步陷入到“封閉性思維”的習慣中，慢慢忘卻了“開放性思維”的古老傳統(tǒng)，這就是為什么后來在“封閉數(shù)學”發(fā)展過程中，各種“悖論”頻頻出現(xiàn)的思想根源。每當一個“域外不動項”被意外發(fā)現(xiàn)時，習慣于“封閉性思維”的數(shù)學家們都會抱著排斥的心態(tài)去對待，他們不知所措，陷入困惑、恐慌和理論危機之中，在強烈的“數(shù)學地震”面前，沒有數(shù)學家能重新回想起古老的“開放性思維”傳統(tǒng)，到域外去尋找形成“地震”的成因。在漫長的“解?！边^程中，僅有個別具有突破“封閉性思維”勇氣和辯證處理問題才能的數(shù)學家，才有幸在域外發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學對象，擴大數(shù)學的論域，創(chuàng)立新的數(shù)學理論，至此這個“悖論”才算獲得解決，“數(shù)學地震”的影響才算消除。但是，只要有“封閉數(shù)學”，新的“悖論”就一定會出現(xiàn)，“數(shù)學地震”仍然會時有發(fā)生，它一直困擾著現(xiàn)代數(shù)學。

2)現(xiàn)在《張文》改變了這個“被動挨震”的局面，他通過S型超協(xié)調邏輯，用開放的心態(tài)主動把人們的視角從已知的論域內引到未知的“域外”，讓大家認識到在數(shù)學中制造大地震的所謂“悖論”不過是“域外不動項”而已。只要是有“自指代”的地方，就一定有“域外不動項”存在。只要是論域能夠被完全兩分為正集合和反集合的地方，如果有條件存在不動項，它必然是“域外不動項”。只要有“域外不動項”，在它上面必然存在“域外不可判定命題”。如果有人一定要在域內利用經典邏輯去分析這個“域外不可判定命題”，他看到的就是一個無法在域內消除的“悖論”。根據(jù)這些規(guī)律性認識，《張文》成功的證明了過去在“封閉數(shù)學”中“嚴格證明”出來的許多“正確結論”，原來都是“開放數(shù)學”中的域外不動項，所謂的“嚴格證明”，其實已經超出了經典邏輯的有效控制范圍，全部不能成立。

3)詳細的證明結論和證明過程請大家閱讀《張文》的具體論述，在這里只強調以下幾點：

①“三分論域”的現(xiàn)象普遍存在。在自然界和科學理論中，存在大量的三分現(xiàn)象。如數(shù)學中有大于1的“正整數(shù)域”和小于1的“正小數(shù)域”，它們以“1”為分界線；還有“正數(shù)域”和“負數(shù)域”，它們以“0”為分界線；謂詞P(x)不僅可以是“永真”公式或者“永假”公式，還可以是“半真半假”公式；人的身體狀況不僅有作為兩極的“健康”狀態(tài)和“生病”狀態(tài)，還有形形色色的“亞健康”狀態(tài)；現(xiàn)代物理學已證實，在大家熟悉的“正物質世界”之外，還存在一個陌生的“反物質世界”，2個世界被一個未知的“過渡空間”隔離。一旦正物質和反物質穿過“過渡空間”相遇，就會一起湮滅，轉化為能量。

②“不動項”普遍存在。如果函數(shù)y=f(x)，則稱x=f(x)為的自指代方程。如有x0∈U，f(x0)=x0，則稱x0是不動點，x0是函數(shù)y=f(x) 和y=x的交點。Brouwer不動點定理表明：如果f: [0,1]→[0,1]是連續(xù)映射，則必存在x0∈[0,1]，使f(x0)=x0。所以，只要存在自指代方程，就一定存在不動點。把1維不動點推廣到2維以及n維以及一般化集合中，稱為“不動項”。不動項可是一個集合、命題或其他數(shù)學對象等，它們都具有相同的結構形式x=f(x)。對不動點，一定有x0∈U，是U內不動點。而對不動項，則沒有這個限制，凡是在U內外找到的滿足x=f(x)的x0，都是不動項，但是，U內(以下稱域內)不動項與U外(以下稱域外)不動項有本質區(qū)別，U外不動項相對于內項，已經發(fā)生了“變異”。

③“域外不可判定命題”普遍存在。當一個已知論域可被分割成正集合、反集合和不動項集合3部分時，表明這個不動項已被人類認知，包含在論域中，是“域內不動項”。對含有域內不動項的論域可用經典邏輯描述，由于命題的二值性，不動項的邏輯意義被完全掩蓋。但“域外不動項”已經超出了經典邏輯的約束范圍，如果把經典命題的約束范圍自覺不自覺地推廣到“域外不動項”上，就會出現(xiàn)“域外不可判定命題”。

④“悖論”普遍存在。把在“域外不動項”上出現(xiàn)的“域外不可判定命題”自覺不自覺地拉回到域內，用經典邏輯去解讀，就出現(xiàn)了“悖論”，其實這些“悖論”并不威脅經典邏輯在域內的正常使用。

⑤消除這一類“悖論”的基本方法就是還“悖論”以“域外不動項”和“域外不可判定命題”的本色，通過主動接納這個新的數(shù)學對象、認識其基本性質、擴大研究的論域和建立新的數(shù)學理論，完全可以包容這個“域外不動項”為新的“域內不動項”。在這個新的數(shù)學理論中，老的“悖論”自然會消失。但是如果沒有開放的眼光，新的“悖論”仍然隨時有可能再現(xiàn)。

⑥在存在未知的“域外不動項”的情況下，盲目地使用“反證法”是一個危險的舉動，它會產生許多片面甚至錯誤的結論，數(shù)學界在這方面應該認真地反思，一味地維護自己祖先的“尊嚴”是不明智的。

3 《張文》的重大貢獻

1897年福爾蒂揭示了集合論中的第1個悖論，以后康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年羅素又發(fā)現(xiàn)了一個嚴格意義上的數(shù)學悖論。羅素悖論使整個數(shù)學大廈動搖，引起數(shù)學家高度重視，一個多世紀以來，人們提出了形形色色的解悖方案，推動了數(shù)學和邏輯的發(fā)展，具有一定的積極作用。但是，到目前為止悖論的存在規(guī)律和內在機制仍然沒有搞清?！稄埼摹穼外不動項的發(fā)現(xiàn)，把長久不解的各種“數(shù)學悖論”，“G?del不可判定命題”，“Cantor的對角線方法證明”完全統(tǒng)一起來，它們具有共同的數(shù)學形式，是完全等價的，任何一個集合上都可以構造一個“悖論”出來，“悖論”的內在規(guī)律基本上搞清楚了?！稄埼摹返闹卮筘暙I可用以下實例說明。

3.1 否定了“G?del不完全定理”的證明

1931年G?del證明“包含自然數(shù)的形式系統(tǒng)是不完全的”，這就是著名的G?del不完全定理，被認為是20世紀數(shù)學領域劃時代的貢獻，譽為“數(shù)學和邏輯發(fā)展史中的里程碑”。它已經滲透到數(shù)學、邏輯、語言、人工智能、自然科學、思維科學和認識論的乃至人文科學的各個角落?！癎?del不完全定理”一直被主流學派奉為金科玉律，享有無比崇高的榮譽。《張文》證明“G?del不可判定命題”是自然數(shù)系統(tǒng)中的域外不動項，進而得到“一般遞歸集合中也存在類似的不可判定命題(不動項)”，G?del不可判定命題(不動項)并不影響系統(tǒng)的完全性，“G?del不完全定理”的證明是不成立的。由于傳統(tǒng)思維的局限性，G?del發(fā)現(xiàn)了域外不動項，但是他沒有認識到，誤以為證明了“不完全定理”。這如同15世紀哥倫布發(fā)現(xiàn)了美洲新大陸，但是，他誤以為是到了印度，G?del犯了同樣的錯誤。

3.2 否定了“Cantor定理”的證明

1873年，Cantor用一一對應的方法定義了可數(shù)集合與不可數(shù)集合，用“對角線方法”證明了無窮集合不能與它的冪集合建立一一對應關系，自然數(shù)集的冪集合是不可數(shù)的，實數(shù)是不可數(shù)的。這些理論已經滲透到現(xiàn)代數(shù)學的各個具體領域。《張文》證明Cantor用“對角線方法”構造的項都是域外不動項，與“悖論”、“域外不可判定命題”在形式上都是一樣的，是一個域外“變異”項。因此，Cantor的證明是不成立的。

3.3 否定了“Turing停機問題不可判定”的證明

Turing 證明“停機問題不可判定”，這個定理是傳統(tǒng)《可計算理論》的一個重要定理，《張文》證明這個定理的證明也是對角線方法，構造的項都是域外不動項，與“G?del不完全定理”、“Cantor實數(shù)不可數(shù)”在形式上證明都是一樣的，“Turing停機問題不可判定” 證明是錯誤的。不可判定的“Turing機”是一個域外“變異”項。

自從“G?del不完全定理”，“Cantor的對角線證明法”的提出，國際國內都提出了不少質疑意見，但是，他們的觀點是零碎的，沒有把問題搞清晰，說透徹，因此沒有被主流學派接受。邏輯思維中域外不動項的發(fā)現(xiàn)，“G?del不完全定理”，“Cantor的對角線證明法”存在的問題已清晰地展現(xiàn)在人們的面前。我相信，隨著時間的發(fā)展和認識的深入，《張文》的價值將越來越顯著。

3.4 S型超協(xié)調邏輯改變了我們的邏輯思維方式

主要表現(xiàn)在：

1)反證法有適用范圍：不動項上出現(xiàn)的“矛盾”不能作為“反證法”在已定義集合上的推理依據(jù)，它從反面帶來了傳統(tǒng)理論中的一些深刻的邏輯錯誤。不動點的存在是廣泛的，只要有自指代，就會存在不動點，在這個基礎上盲目使用“反證法”，必然忽略“域外不動項”的存在，得出片面的結論。所以，不僅“G?del不完全定理”的證明是錯誤的，類似或者以“G?del不完全定理”為基礎的一些眾多定理、理論，如“圖靈機的停機問題”、“遞歸集合可判定問題，”等，都必須重新審查，這將涉及哲學、數(shù)理邏輯、計算機、函數(shù)論、測度論等以“Cantor對角線證明方法”為基礎的眾多科學領域。

2)悖論無需排除：形形色色排除悖論的努力都是徒勞的，只要有“自指代”，就可能產生悖論。命題邏輯系統(tǒng)L，謂詞演算系統(tǒng)K，只要使用“自指代”，同樣會有悖論，集合論ZF系統(tǒng)中也沒有禁止“自指代”，ZF系統(tǒng)根本防止不了悖論，同樣會產生悖論。

“不動項定理”表明，以往為排除悖論的種種努力都是錯誤的。悖論不需要排除，解釋清晰后的“悖論”，不但無害，反而有益。無害是因為，悖論是U外項命題，不會對原有的集合U上的演算產生破壞；有益是因為，悖論命題是U外的一種未定義命題，可能是U外的一種新知。

針對某一“域外不動項”的出現(xiàn)，研究其科學的構造性，有可能導致一個新的數(shù)學對象的發(fā)現(xiàn)。如果xp存在，可以看成x=f(x)在U外有解；如果xp不存在，可以看成x=f(x)在U外無解或者沒有構造。Cantor對角線法構造的“無窮集合的冪集合之外的不動項”，“自然數(shù)集合的冪集合之外的不動項”，“實數(shù)集合之外存在的不動項”是否存在？都具有科學的構造性，能夠導致一個新的數(shù)學對象的發(fā)現(xiàn)，這給科學發(fā)現(xiàn)指明了一種探求方向。

3)辯證邏輯已經成嚴格意義上的邏輯：在S型超協(xié)調邏輯系統(tǒng)中，命題演算系統(tǒng)與謂詞演算系統(tǒng)，在正集合或反集合中都仍然有效，稱為正邏輯系統(tǒng)和反邏輯系統(tǒng)，它們簡單、整齊、對稱，經典邏輯公理全部有效，只有一條“正反集合對偶變換公理”,把兩個相對獨立的正、反集合聯(lián)系起來。當正、反集合之間出現(xiàn)不動項x0時，就表現(xiàn)為悖論P(x0)?┓P(x0)，或者不可判定命題。所以，S型超協(xié)調邏輯系統(tǒng)在正集合中是經典邏輯，在反集合中也是經典邏輯，只是在正反集合之間表現(xiàn)出辯證邏輯的特性。單獨從一個集合看，正集真命題在反集中為假，正集假命題在反集中為真，這如同歐氏幾何與非歐幾何之間的對應關系，正、反集合具有嚴格形式對稱關系，在中間形成正反均衡的不動項，這與非合作博弈論——納什均衡點在邏輯上殊途同歸。自然界，數(shù)學，物理等領域中美麗的對稱形式在S型超協(xié)調邏輯系統(tǒng)思維表現(xiàn)出來。S型超協(xié)調邏輯系統(tǒng)使以往的自然語言的辯證邏輯已經數(shù)學化，可以看成數(shù)理辯證邏輯，辯證邏輯將成為嚴格意義上的邏輯。

總之，域外不動項的發(fā)現(xiàn)是令人震驚的，它讓世人清楚看到，原來現(xiàn)代數(shù)學的基礎理論中竟然隱藏了如此嚴重的問題群。隨著人們認識的深入，《張文》的影響將與日俱增，它將影響以反證法思維方

式的眾多科學領域?？茖W史上從來沒有出現(xiàn)過像“哥德爾定理”、“康托爾定理”、“圖靈定理”等如此眾多的錯誤，綜合運用數(shù)理辯證邏輯和數(shù)理形式邏輯清理和重建這些理論，將是一場新的科學革命。

毋庸置疑，Cantor，G?del， Turing等一代偉人曾經在集合論、數(shù)理邏輯、計算機及哲學領域取得了劃時代的成就，但他們畢竟是人不是神，出現(xiàn)這樣的認識局限性可以理解。人類對客觀規(guī)律的認識過程是一個不斷逼近的過程，永遠沒有終點。

近一個世紀以來，“G?del不完全定理” “Cantor不可數(shù)定理”“ Turing機不可判定定理”像一道鎖鏈，束縛人們的思維，束縛了數(shù)學與計算機理論的發(fā)展?！癈antor的不可數(shù)理論” 像黑暗中的幽靈一樣，把人的思維帶人一個神秘的、不可知的世界?！稄埼摹穼②s走這個幽靈，數(shù)學將迎來一次重大解放。