楊朝陽，楊霄鵬，李 騰，姚 昆，倪 娟

(1. 空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077；2. 解放軍94303部隊，山東 濰坊 261100)

1 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)系統(tǒng)憑借其固有的抗多徑效應(yīng)、頻譜利用率、低實現(xiàn)復(fù)雜度迅速成為研究熱點并被應(yīng)用于多個無線標(biāo)準(zhǔn)，如IEEE 802.11a/g、802.16、數(shù)字視頻廣播、LTE、B3G等[1]。然而，OFDM子載波之間需要保持正交，導(dǎo)致其對載波頻偏非常敏感。由于收發(fā)端晶振頻率失配或多普勒效應(yīng)造成的載波頻偏會破壞子載波間的正交性，產(chǎn)生載波間干擾(Inter Carrier Interference,ICI)，極大地惡化了系統(tǒng)性能。

針對這一問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了多種頻偏估計的算法。這些算法可以歸結(jié)為兩大類：數(shù)據(jù)輔助類[2-4]和非數(shù)據(jù)輔助類(盲估計)頻偏估計算法[5-10]。數(shù)據(jù)輔助類估計算法利用收發(fā)端已知的訓(xùn)練序列估計載波頻偏，該類算法性能較好，計算量小，但需要消耗額外的功率和帶寬資源。盲頻偏估計算法由于不需要訓(xùn)練序列或符號重傳，具有高頻帶利用率，成為近年來的研究熱點。文獻[4]提出了基于循環(huán)前綴的最大似然頻偏估計算法，其性能跟循環(huán)前綴的長度有關(guān)，且受多徑影響較大。文獻[5]提出了兩種適用于BPSK調(diào)制的載波頻偏盲估計算法，但只適用于BPSK調(diào)制，受調(diào)制類型的限制。文獻[6]提出了基于虛子載波的多信號分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)頻偏估計算法，通過最小化虛子載波上的信號功率來估計頻偏，但是該算法需要已知虛子載波的位置，不利于信道的動態(tài)分配。文獻[7]利用黃金分割算法減小了虛子載波算法的計算量。文獻[8]提出了基于最小輸出方差(Minimum Output Variance,MOV)盲頻偏估計算法，該算法不需要虛子載波且較MUSIC算法估計精度高，但是需要較多的數(shù)據(jù)塊。文獻[9]提出了適用于恒包絡(luò)調(diào)制的盲頻偏估計算法，但是其受調(diào)制類型的限制。針對以上盲頻偏估計存在的問題，文獻[10]提出了一種新的基于最小重建誤差(Minimum Reconstruction Error,MRE)的盲頻偏估計算法，在一定頻偏范圍內(nèi)代價函數(shù)為單峰函數(shù)，利用黃金分割搜索算法尋找代價函數(shù)最小值估計頻偏，然而該算法頻偏估計范圍較小。

本文在文獻[10]基礎(chǔ)上，提出了一種基于遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)的高精度盲頻偏估計器。在頻偏估計范圍較大時代價函數(shù)是多峰函數(shù)，此時黃金分割搜索算法容易陷入局部最優(yōu)，不一定能夠找到全局最優(yōu)解。本文利用GA強大的隨機搜索能力求得最佳頻偏估值，并且跟MOV、黃金分割算法做了對比分析。仿真結(jié)果表明，基于GA的盲頻偏估計算法較MOV算法、黃金分割搜索算法估計精度高，低信噪比下性能顯著，且不受頻偏估計范圍和調(diào)制類型的限制。

2 系統(tǒng)模型

帶載波間干擾的接收信號在第K個載波上的接收信號可以表示為

Y(k)=X(k)H(k)S(0)+

X(k)ΛS+W(k)

(1)

式中，N表示子載波的個數(shù)，X(k)、Y(k)分別表示第k個子載波上的發(fā)送、接收符號，H(k)表示第k個子載波上的信道衰落增益，Λ=diag(H(0),H(1),…,H(N-1))表示衰落對角矩陣，當(dāng)信道為高斯信道時H(k)=1，W(k)表示加性高斯白噪聲，S(m-k)表示載波間干擾系數(shù)：

(2)

式中,ε表示歸一化載波頻偏，ε=ΔF/Δf，ΔF是頻偏，Δf是子載波的間隔，S是N×N的ICI系數(shù)矩陣，S矩陣的第p行q列的元素為Sp,q=S(p-q)。完整的S矩陣為

(3)

觀察式(1)可以發(fā)現(xiàn),帶ICI干擾的接收信號可以被視為N個用戶的多載波碼分多址接入(Multi Carrier Code Division Multi Access,MC-CDMA)系統(tǒng)，第K個用戶的信息符號為X(k)，第K個用戶的擴頻碼對應(yīng)矩陣S的第K列[10]。通過對ICI的系數(shù)矩陣做特征值分解可以得到

S=FHΦ(ε)F

(4)

式中，Φ表示對角矩陣，Φ=diag(φ0,φ1,…,φN-1),其中φn=exp(j2πεn/N);矩陣F是歸一化的離散傅里葉變換矩陣(DFT)，F(xiàn)H是矩陣F的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。通過公式(5)的推導(dǎo)得到ICI的系數(shù)矩陣S為一個正交矩陣。

SSH=(FHΨ(ε)F)(FHΨ(ε)F)H=

(FHΨ(ε)F)(FHΨ(-ε)F)=I

(5)

因此，可以把存在ICI的OFDM接收信號視為正交MC-CDMA系統(tǒng)，其對應(yīng)的擴頻碼為S。對接收信號Y乘以如下式所示的矩陣可以得到

R=YSHΛ-1=X+WSHΛ-1

(6)

由于SH為正交矩陣，所以WSH和W的互協(xié)方差矩陣是相等的。因此,可以根據(jù)R的符號對X作出判決，從而達到完全消除ICI的效果。然而在接收端歸一化載波頻偏ε未知，可以通過比較重建信號和接收端實際接收的信號來找出最佳的頻偏估值。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

3 基于GA算法的盲頻偏估計

黃金分割搜索算法是通過區(qū)間收縮求單峰函數(shù)極值的一種最優(yōu)化算法，然而在代價函數(shù)為多峰函數(shù)時，黃金分割搜索算法容易陷入局部最優(yōu)，不一定能找到全局最優(yōu)頻偏估值，也就是說黃金分割搜索算法頻偏估計范圍較小。為了找到最佳頻偏估值，擴大頻偏估計的范圍，本文利用GA強大的并行隨機搜索能力和全局尋優(yōu)能力來求得最佳頻偏估值。

圖1為基于GA算法頻偏估計流程圖。遺傳算法能夠以很大概率收斂到最優(yōu)頻偏估值或近似最優(yōu)頻偏估值[11],因此,本文將頻偏估計建模為最優(yōu)化問題，并引入遺傳算法進行求解。

圖1 遺傳算法頻偏估計流程圖Fig.1 The flow chart of frequency offset estimation based on genetic algorithm

頻偏估計算法的參數(shù)設(shè)計及其步驟如下所述。

(1)編解碼方式

假設(shè)歸一化載波頻偏在(-1，1)之間，采用二進制編碼方式，碼的長度取決于離散精度eps。

(12)

其中，l表示二進制編碼的長度，假設(shè)一個頻偏個體的編碼為X:blbl-1bl-2…b2b1，則對應(yīng)的解碼公式為

(13)

(2)隨機生成M個二進制數(shù)組作為頻偏初始種群。

(3)適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計

(14)

(4)選擇算子采用按比例的適應(yīng)度分配，也稱之為輪盤賭或蒙特卡羅法。即頻偏個體i的適應(yīng)度為f(i)，則其被選取的概率為

(15)

從上式可以看出適應(yīng)度越高的頻偏個體對應(yīng)的選取概率也越大，遺傳到下一代的概率也越大。

(5)交叉算子采用單點交叉方式，即在新復(fù)制的群體中隨機取一個位置，以一定的概率兩者互換從該位置起的末尾部分。模仿自然界基因重組，在對種群優(yōu)化的同時保證了其多樣性，決定了遺傳算法的全局搜索能力。

(6)變異算子采用基本位變異算子，以一定的概率隨機指定某一位二進制編碼個體上的基因值作變異運算，即二進制編碼取反。變異運算可以提升遺傳算法對頻偏的局部搜索能力，同時保持群體多樣性，可以防止早熟出現(xiàn)。

4 仿真分析

仿真參數(shù)為：子載波數(shù)為64，循環(huán)前綴16，分別采用恒模調(diào)制QPSK、非恒模調(diào)制16 QAM調(diào)制，這是為了驗證本文算法不受調(diào)制類型的限制，多徑信道參數(shù)如表1所示。GA算法采用的參數(shù)為：歸一化頻偏估計的范圍為(-1，1)，種群數(shù)一般取值20～50之間，本文取為NP=25，最大進化代數(shù)為NG=50，交叉概率Pc=0.8，變異概率為Pm=0.04，精度eps=0.000 1，對應(yīng)的二進制編碼為15位。

表1 多徑信道參數(shù)Table 1 The parameters of the multipath fading channel

如圖2所示，圖(a)、(b)分別為歸一化頻偏真實值為0.3、0.6，不同信噪比下代價函數(shù)跟頻偏估值之間的關(guān)系曲線?？梢钥闯鲈陬l偏估值分別為0.3、0.6時，即頻偏估值跟真實頻偏相等時，代價函數(shù)取得最小值，驗證了理論分析。同時通過圖2還可以得到，不論是恒模QPSK調(diào)制還是非恒模16QAM調(diào)制，代價函數(shù)在最佳頻偏估值時均取得最小值，這使得該盲頻偏估計算法不受調(diào)制類型的限制。

(a)QPSK調(diào)制下代價函數(shù)與頻偏估值曲線

(b)16QAM調(diào)制下代價函數(shù)與頻偏估值曲線

比較圖3(a)、(b)可以得到，不論是在小頻偏還是大頻偏下基于遺傳算法的盲頻偏估計都能夠在第5代左右收斂，同時還可以看出調(diào)制階數(shù)對頻偏估值沒有影響。觀察圖3(c)可以得到本文提出的頻偏估計算法具有很高的估計精度，且在很少代數(shù)時即可達到收斂，其計算量是可以接受的。

圖4為信噪比15 dB、QPSK調(diào)制下，仿真1 000次求平均得到的每一代種群中代表頻偏的最佳個體、最差個體和種群平均適應(yīng)度曲線。通過圖4可以看出種群中最優(yōu)個體在第5代左右適應(yīng)度曲線已經(jīng)收斂，與此同時平均適應(yīng)度和最小適應(yīng)度也逐漸上升并達到收斂。

(a)QPSK調(diào)制ε=0.05時頻偏估值曲線

(b)16QAM調(diào)制ε=0.6時的頻偏估值曲線

(c)頻偏估計誤差隨進化代數(shù)曲線

圖4 適應(yīng)度值隨進化代數(shù)的變化曲線Fig.4 The fitness valuecurve versus evolution generation

定義頻偏估計的均方誤差(Mean Square Error,MSE)為

(16)

圖5為頻偏ε=0.3、P取1 000時的MSE對比曲線。MOV表示最小輸出方差頻偏估計算法，block前面的數(shù)字表示數(shù)據(jù)塊的數(shù)目;MRE-Gold表示基于黃金分割搜索的最小重建誤差頻偏估計算法，其迭代次數(shù)取19，在(-0.5，0.5)區(qū)間收縮，則迭代19次后的區(qū)間變?yōu)?0.5+0.5)×0.61819=0.000 107，這跟遺傳算法取的精度eps=0.000 1近似相等；MRE-GA表示本文提出的基于遺傳算法的頻偏估計算法，其搜索區(qū)間為(-1，1)。搜索區(qū)間可以根據(jù)需要進行設(shè)置，與此同時對應(yīng)的二進制編碼長度也會隨之改變。通過觀察圖5可以看出基于最小重建誤差的盲頻偏估計算法具有很高的估計精度，在只有一個數(shù)據(jù)塊時，在同一信噪比下其估計精度較MOV算法大約有一個數(shù)量級的提升。而本文所提出的基于遺傳算法的盲頻偏估計精度高于黃金分割搜索算法，尤其在低信噪比下較MRE-Gold算法具有更好的估計性能。結(jié)合圖4可以看到遺傳算法在迭代進行到第5代左右即可收斂，而黃金分割搜索算法需要迭代19次，其有效降低了時間復(fù)雜度，提高了實時性。同時本文所提算法不受頻偏估計范圍的限制，這是由遺傳算法強大的全局尋優(yōu)能力決定的。而黃金分割只適用于單峰函數(shù)求極值，其估計范圍有限。因此，本文算法在實際應(yīng)用中具備更大的適用范圍和魯棒性。

圖5 多徑信道下頻偏估計MSE曲線Fig.5 The frequency offset estimation MSE in multipath fading channel

5 結(jié)束語

本文通過對基于最小重建誤差的盲頻偏估計算法的深入研究和分析，提出了基于GA算法的高精度盲頻偏估計算法。所提算法將最優(yōu)化思想與OFDM盲頻偏估計相結(jié)合，利用GA算法強大的全局搜索和優(yōu)化能力，提高了頻偏估計的精度和頻偏估計的范圍。與此同時，該算法不依賴于任何特定的子載波分配方案，也不依賴于空子載波，所有載波都可以發(fā)送數(shù)據(jù)，具有較高的頻譜效率。相對于枚舉法、黃金搜索算法降低了時間復(fù)雜度，提高了系統(tǒng)實時性，這對實時要求較高的通信系統(tǒng)設(shè)計具有較大的參考價值。針對遺傳算法早熟現(xiàn)象的改進算法在OFDM盲頻偏估計中的應(yīng)用有待進一步研究。

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