李正國，全 菲

（1.深圳職業(yè)技術學院，廣東 深圳 518055；2.南華大學 電氣工程學院，湖南 衡陽 421005）

傅里葉變換（FFT）算法是目前電網(wǎng)中諧波分析常采用的方法，然而傅里葉變換是一種傳統(tǒng)的諧波檢測分析算法，雖然它能夠精確地確定平穩(wěn)信號中各次諧波的幅值等電力參數(shù)，但傅立葉變換對局部信號做處理相當于將信號作了平均，局部特征丟失了，無法判斷奇異點的空間分布情況，即無法定位暫態(tài)信號發(fā)生的時間［1］。因此，F(xiàn)FT只適用于確定性的平穩(wěn)信號諧波的分析，即使改進后的加窗傅里葉變換也仍然沒有從根本上解決這一矛盾。

小波變換具有靈活時頻特性，可以準確確定信號發(fā)生突變的時刻，濾除干擾信號，有效地從信號中提取信息。小波包變換將頻帶進行多次劃分，對多分辨率分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應地選擇相應頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時頻分辨率，因此，小波包具有更廣泛的應用價值［2］。文獻［3］利用加窗傅里葉變換有效抑制頻譜泄露的特性提出了加窗傅里葉變換求穩(wěn)態(tài)信號的頻譜，文獻［4-5］分別提出了基于FFT和小波包變換的電力系統(tǒng)諧波檢測方法。

筆者將加窗傅里葉變換抑制頻譜泄露和小波包變換準確確定信號發(fā)生突變的時刻及對頻帶進行多次劃分具有較高分辨率的優(yōu)點結合起來對電力系統(tǒng)諧波進行分析。該分析方法不僅可減少分析過程中的頻譜泄露，得到比較準確的穩(wěn)態(tài)諧波幅值，而且也能進行暫態(tài)信號發(fā)生和終止的時間及幅值分析。經(jīng)過仿真實驗結果證實，該方法在電力系統(tǒng)諧波分析中具有可行性，可為電力系統(tǒng)諧波的分析和治理提供依據(jù)。

1 基于加窗FFT和小波包變換的諧波檢測法

1.1 頻譜泄露

假設信號只含基波頻率，則

矩形窗函數(shù)為

信號的傅里葉變換為

矩形窗函數(shù)的傅里葉變換為

則離散化的輸入信號傅里葉變換為

Sa（t）函數(shù)又稱抽樣函數(shù)，t≠0時，隨著t的絕對值增大，函數(shù)值的絕對值震蕩著不斷減小，向0趨近?？梢钥闯霾皇菃我坏淖V線，而是擴散到整個頻譜軸，即能量不再集中，發(fā)生了頻譜泄露［6］。

1.2 加窗傅里葉變換

電網(wǎng)信號主要包含整數(shù)次諧波，基于余弦窗的窗函數(shù)特點：只要選擇觀測時間是信號周期的整數(shù)倍，則其頻率在各次整數(shù)倍諧波頻率處幅值為0，諧波之間不發(fā)生相互泄露。

窗函數(shù)的表達式為

可不是嗎，沒有味道了也就沒有了興趣，這似乎正暗示了兩個人的愛情，剛好走到了盡頭，剛好可以結束了。女人選擇了緘默，換一個詞來說可能是逃跑。

式中 ak決定了不同的窗，為了滿足插值定理，則窗函數(shù)的離散傅里葉變換為

窗函數(shù)的選擇原則：①主板盡量窄；②盡量減少窗譜旁瓣的相對幅度。該設計選用Hamming窗：

由加窗FFT變換求出其諧波含量及諧波主要分布范圍，再由小波包變換求其細節(jié)。

2 小波包分析檢測方法

信號的小波包分析過程：①對信號進行分解，得到基波和各次諧波分量在相應尺度空間上的系數(shù)；②根據(jù)基波和各次諧波分量在相應尺度空間上的系數(shù)，重構出基波信號和各次諧波信號，從而實現(xiàn)對諧波的檢測。定義子空間是函數(shù)wn（t）的閉包空間，而是函數(shù)w2n（t）的閉包空間，并令wn滿足雙尺度方程：

式中 k∈Z，g（k）=（-1）h（1-k）；

小波包重構算法為

式中 hl-2k，gl-2k分別為小波包重構的低通和高通濾波器組總的分解層數(shù)。

目前，電網(wǎng)中存在的諧波以低次諧波（2～25次）為主，該設計需要分析31次以內(nèi)的諧波。根據(jù)采樣定理可知，fS≥2×50×31=3 100Hz，該設計中取fS=3 200Hz。對信號進行4層基于db24的小波包分析，在小波包分析的分解過程中，對0～fS／2的所有頻段都進行高分辨率分析，加大諧波檢測過程中的運算量，降低檢測的實時性。

該設計選擇db24小波包進行4層小波包分解。小波包算法將原始信號分解成一系列子帶信號，用fS表示小波包分解各節(jié)點的頻帶，對0～1 600Hz頻率的實際信號進行4層小波包分解后的16個頻段的劃分如圖1所示［7］。

由圖1看出，原始信號的4層小波包變換分解是一個完整的樹型結構，對低頻和高頻部分均進行了分解，并且分解后每一個頻帶Un4都具有相同的帶寬，也就是在每一個頻帶內(nèi)所包含的諧波次數(shù)相同。小波包的空間分割可以把原始信號分解到不同的小波子空間，小波包的分解提高了對信號高頻成分的分辨率。

圖1 4層小波包分解Figure 1 Resolution of 4-layers wavelet packet

3 諧波檢測方法的仿真實驗

在該方法中，首先用加窗FFT變換檢測出信號的各頻率成分及穩(wěn)態(tài)諧波的幅值。對于暫態(tài)的諧波信號，可以用小波包變換檢測出其發(fā)生的時間和結束的時間，然后再利用加窗傅里葉變換對暫態(tài)信號發(fā)生的時間段進行分析得到暫態(tài)信號的幅值。同時，小波包變換對信號分析，可將檢出信號中的衰減信號分離出來。

設電網(wǎng)中的信號在0～1s含有1，3，5，7次穩(wěn)態(tài)諧波及21次諧波的衰減信號，即

在（1 500～2 000）／3 200時間段內(nèi)出現(xiàn)11次諧波，其信號函數(shù)表示為

原始電網(wǎng)電壓信號x（t）時域波形如圖2所示。

圖2 電網(wǎng)電壓信號的時域波形Figure 2 Waveform of power grid voltage in time domain

3.1 加Hamming窗FFT運行結果顯示

電網(wǎng)電壓信號加窗傅里葉變換后幅頻特性曲線如圖3所示，可以看出，電網(wǎng)信號中含有50，150，250，350，550，1 050Hz的信號。

加Hamming窗FFT變換諧波幅值偏差如表1所示，從測試結果可以看出，該實驗所采用的加Hamming窗傅里葉變換可以準確地求出1，3，5，7次諧波的幅值，而對含11次諧波的突變信號和含21次諧波的衰減信號的幅值測量結果誤差非常大。說明加窗FFT只適合于穩(wěn)態(tài)信號的諧波分析，而不適合用于分析暫態(tài)諧波。

圖3 電網(wǎng)電壓信號加窗傅里葉變換后幅頻特性曲線Figure 3 Amplitude-frequency characteristic curve of power grid voltage after hamming window FFT

表1 加Hamming窗FFT變換諧波幅值偏差Table 1 Deviation of harmonic amplitude after hamming window FFT

3.2 基于db24的小波包分析

小波變換對衰減信號和突變信號有較好的檢測與分析［8］，小波包［9］變換亦然，在進行小波包分解重構后可以得到比較準確的衰減信號和突變信號，采用4層小波包變換，仿真結果如圖4～10所示。圖4所示重構后的信號S130～S1315所對應的頻段與圖1第4層的頻段相對應，可知S130對應的是0～100Hz的重構信號，該設計中對應為50Hz的基波頻率。同理可知，S131，S132，S133，S137分別對應的是3，5，7，11次諧波重構信號，含21次諧波的衰減重構信號為S1315。由S135可以清晰地看到f=1 500和2 000Hz處出現(xiàn)了極大值點，說明含有11次諧波的暫態(tài)信號發(fā)生和終止時間分別為1 500／3 200≈0.469s和2 000／3 200=0.625s。從圖5～9可以看出，小波包分解可以準確地重構基波信號，3，5，7，11次諧波重構有少許誤差。從S1313中可以看出21次諧波衰減信號仍有少量泄露，但不影響分析。2 1次諧波衰減信號頻率集中在1 050Hz處，可以直接重構第1層小波包分解的高頻部分8 00～1 600Hz，得到更精確的衰減信號波形，圖10即為對第1層小波包分解高頻部分重構的波形。

圖4 db24小波包分解重構后的信號波形Figure 4 Waveform of signals after db24wavelet packet resolution and reconstruction

圖5 重構的基波信號與標準基波信號對比Figure 5 Comparison of reconstructed fundamental wave and standard fundamental wave

圖6 重構后的3次諧波信號與標準諧波信號對比Figure 6 Comparison of reconstructed 3-harmonic wave and standard 3-harmonic wave

圖7 重構的5次諧波信號與標準諧波信號對比Figure 7 Comparison of reconstructed 5-harmonic wave and standard 5-harmonic wave

圖8 重構后的7次諧波信號與標準諧波信號對比Figure 8 Comparison of reconstructed 7-harmonic wave and standard 7-harmonic wave

圖9 重構后的11次諧波信號與標準諧波信號對比Figure 9 Comparison of reconstructed 11-harmonic wave and standard 11-harmonic wave

圖10 重構后的衰減信號Figure 10 Attenuation signal after reconstruction

由小波包分解重構信號已經(jīng)得到含11次諧波的暫態(tài)信號發(fā)生和終止的時間，則可以對（1 500～2 000）／3 200s時間段的信號進行加Hamming窗傅里葉變換，得到此段時間內(nèi)11次諧波時的穩(wěn)態(tài)諧波信號。通過仿真得到在（1 500～2 000）／3 200s內(nèi)11次諧波的幅值為2.828 8，與設定的2.828之間的誤差僅為0.028%。

4 結語

小波包分析具有許多優(yōu)良的特性從而得到廣泛應用。筆者給出分析電網(wǎng)諧波簡單且有效的方法，通過MATLAB的仿真結果可以看出該方法不僅簡單有效地提取了電網(wǎng)中存在的基波和各次穩(wěn)態(tài)諧波，同時提取出了暫態(tài)信號，準確地定位暫態(tài)諧波發(fā)生的起始及終止位置，并且能夠得到準確的諧波信號幅值。

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