田德余

（1．深圳大學化學與化工學院，廣東 深圳518060；2．國防科技大學，湖南 長沙410073）

引 言

最優(yōu)化即在某些限制條件下決定一組變量，使其對應(yīng)的目標函數(shù)取得最大（小）值。最優(yōu)化方法是化學計量學的一個重要組成部分，在自然科學、社會科學、工程設(shè)計、現(xiàn)代化管理及日常生活等諸多領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。

最優(yōu)化方法有梯度法、牛頓法、模式搜索法、綜合約束函數(shù)雙下降法、改進型約束變尺度法、遺傳算法等［1－5］。模式搜索法優(yōu)于梯度法等其他方法［6］；其原理簡單，容易與目標函數(shù)的求解程序結(jié)合，而且可優(yōu)化多個獨立變量的目標函數(shù)。用該法編制程序的計算特點是收斂快、可靠性好、適用性廣、運行簡便等。遺傳算法［7－13］由美國Michigan大學J．Holland教授于1975年首先提出［14－15］，是一種借鑒自然界中適者生存、優(yōu)勝劣汰思想、具有全局收斂性的優(yōu)化算法，遺傳算法采用自適應(yīng)概率搜索技術(shù)，避免陷入局部最優(yōu)解，因而具有顯著的搜索效率。為此本文重點介紹了模式搜索法和遺傳算法。

1 模式搜索法

模式搜索法是運用最廣泛的直接法，又稱為步長加速法［1，5，16］，先用試探過程（即探索性移動）環(huán)繞基點采用坐標輪換法尋找有利的方向，然后用加速過程（即模式移動）在選定的有利方向上加速搜索，通過這個過程達到最優(yōu)點。

近年來，國內(nèi)外開展了固體推進劑優(yōu)化設(shè)計方法研 究［14－15，17－22］。1977年，V Swaminathan［23］用 無規(guī)搜索法按最小自由能原理評估推進劑的能量；1978年，V Swaminathan［24］采用平衡常數(shù)計算法和梯度投影優(yōu)化理論確定含金屬鋁固體推進劑組分的最佳配比；之后又采用罰函數(shù)優(yōu)化理論優(yōu)化含金屬推進劑的比沖［10］。1982年，Chang C W 等［11］采用直接搜索法與CEC71程序相結(jié)合，得到固體火箭推進劑具有最高比沖的最佳配比，具體方法如下。

1．1 用圖形法直接顯示組分與性能的關(guān)系

采用快速回歸處理［25］得到性能與組分關(guān)系的回歸方程，以此方程為基礎(chǔ)，計算出一系列等比沖值，再按這些數(shù)值，逐點繪出一系列等性能三角圖，進而從圖中選擇最高比沖的最佳配比，獲得最高比沖及最佳配方范圍，可以迅速繪制出等比沖、等特征速度、等燃燒溫度等一系列等性能三角圖及二維等高圖［1，26－33］，并能自動標注出各條等高線的比沖、特征速度、燃燒溫度、燃燒產(chǎn)物等的具體數(shù)值，由圖可直觀地讀出最高比沖、最高特征速度等的最高性能值的范圍，進而得出最高比沖（或其他性能）下的最佳配比范圍。圖1 為不同推進劑的等性能三角圖。

圖1 不同推進劑配方的等比沖圖Fig．1 Isospecific impulse diagrams of different propellants

由圖1（a）可以看出，最里層等高線比沖為2 616 N·s／kg，HTPB質(zhì)量分數(shù)約為12%，AP質(zhì)量分數(shù)約為70%，Al質(zhì)量分數(shù)約為20%，略外層比沖等高線的比沖值為2 615N·s／kg，研制人員可根據(jù)配方設(shè)計及工藝實際調(diào)整或選擇配方。由圖1（b）可看出，PGN／CL－20／Al推進劑在比沖達到2 691N·s／kg后，分為兩個高比沖配方區(qū)，一個在鋁質(zhì)量分數(shù)為12%～18%、PGN 在23%～29%的范圍內(nèi)，最高比沖約為2 703N·s／kg；另一個在鋁質(zhì)量分數(shù)為8%～19%、PGN 質(zhì)量分數(shù)為7%～18%的范圍內(nèi)，最高比沖約為2 733N·s／kg。由圖1（c）可以看出，PEG－BTTN－NG／CL－20－RDX／Al推進劑在較寬的組分變化范圍內(nèi)都可以達到2 680N·s／kg以上的高比沖值，并且出現(xiàn)雙曲線圖形，由圖形可以初步設(shè)計出高比沖的實際配方［1，27］。

出現(xiàn)雙曲線圖形主要是黏合劑組分中不僅有隋性黏合劑聚乙二醇（PEG），還含有能量高的硝化甘油（NG）及丁三醇三硝酸酯（BTTN）增塑劑。黏合劑的質(zhì)量分數(shù)為15%～23%、鋁粉質(zhì)量分數(shù)為13%～19%時，比沖為2 689～2 694N·s／kg；黏合劑的質(zhì)量分數(shù)為5%～13%、鋁粉質(zhì)量分數(shù)為7%～20%時，比沖為2 693～2 734N·s／kg，根據(jù)PEGBTTN－NG／CL－20－RDX／Al等比沖三角圖，并結(jié)合工藝實踐，可初步設(shè)計出高能固體推進劑的配方［1，27，33］。

圖2為GAP－ADN－DNOAF推進劑比沖等高線圖。由圖2 可以看出，在二硝基偶氮氧化二呋咱（DNOAF）含量不變的條件下，根據(jù)黏合劑聚疊氮縮水甘油醚（GAP）、氧化劑二硝酰胺銨（ADN）含量的變化繪制比沖等高線圖，陰影部分在較寬的組分變化范圍內(nèi)比沖可達到2 620N·s／kg，并且出現(xiàn)雙曲線圖形，由圖形也可以初步找出高比沖配方。在氧化劑質(zhì)量分數(shù)為64%～79%、黏合劑質(zhì)量分數(shù)為9%～21%時，推進劑的比沖為2 620～2 630N·s／kg，最高比沖為2 630N·s／kg。

圖2 GAP－ADN－DNOAF比沖等高線圖Fig．2 The specific impulses contour of GAP－ADN－DNOAF propellant

圖3為CTPB／AP／Al推進劑特征速度三維立體圖，由圖3可形象直觀地看出丁羧推進劑組分含量變化對特征速度的影響?？傊脠D形、圖象法可直觀形象地看出比沖、特征速度等性能參數(shù)的變化范圍及最高值的配方配比，對配方設(shè)計人員選擇最優(yōu)配方和性能具有指導意義。

圖3 CTPB／AP／Al推進劑特征速度三維圖Fig．3 Three－dimensional diagram of CTPB／AP／Al propellant characteristic velocity

圖4為GAP／ADN／Al推進劑的二維綜合圖。由圖4 可以看出，GAP／ADN／Al推進劑比沖約2 440～2 693N·s／kg，最高比沖約為2 693N·s／kg，特征速度約為1 506～1 650m／s，最高特征速度為1 630m／s。

圖4 GAP／ADN／Al推進劑二維綜合圖Fig．4 Two－dimensional collective diagram of GAP／ADN／Al propellant

固定氧化劑的質(zhì)量分數(shù)為65%，黏合劑PEGNG－BTTN與鋁粉含量變化對推進劑比沖的影響結(jié)果見圖5。由圖5可以看出，在一定范圍內(nèi)，CL－20推進劑的比沖最高，接近2 700N·s／kg，其次分別為含RDX 和ADN的推進劑，但含ADN推進劑在較寬的范圍內(nèi)比沖均較高，AP 推進劑比沖相對較低。若將氧化劑組合，如CL－20－RDX（1∶1）、ADNRDX（1∶1），比沖可進一步提高，最高達2 740N·s／kg。

圖6是PEG／ADN／Al推進劑中鋁粉質(zhì)量分數(shù)為16%時，氧化劑ADN與黏合劑含量變化對PEG／ADN／Al推進劑燃氣產(chǎn)物含量的影響。

圖5 含不同氧化劑的推進劑比沖的二維圖Fig．5 Two－dimensional diagram for specific impulses of propellant containing different oxidizers

圖6 PEG／ADN／AL推進劑燃氣產(chǎn)物與組分關(guān)系圖Fig．6 The relationship between combustion gas products and compositions of PEG／ADN／Al propellant

將數(shù)十個固體推進劑配方計算、優(yōu)化、直至繪制出圖形，整個過程都是由SPOD 軟件在幾分鐘內(nèi)完成，由這些圖形可形象、直觀地看出推進劑比沖等性能與組分之間的關(guān)系，其中不少圖形是首次繪制、發(fā)表，對研制新型推進劑配方提供了很大的方便。

1．2 用模式搜索法尋找最優(yōu)點

1．2．1 直接搜索法

1984年，作者采用模式搜索法與DYKS程序相結(jié)合，獲得了復合固體推進劑具有最高比沖的最佳配比［26，28－29，34］。DYKS為 根 據(jù) 懷 特（White）的 最 小自由能原理［35］、用FORTRAN 語言編制的簡要能量特性計算程序的簡稱。1989年，采用綜合約束函數(shù)雙下降法，即SCDD（Synthesied Constrained Dual－descent）法優(yōu)化固體推進劑能量特性［36］。之后用改進型約束變尺度法程序——CVM01（Constrained Variable Metric）即約束非線性混合離散變量優(yōu)化方法對推進劑配方的能量特性進行優(yōu)化設(shè)計［37］。作者用模式搜索法，結(jié)合能量特性精確計算程序［1，34，38］，探索了優(yōu)化的具體方法。

1．2．2 約束變尺度法

約 束 變 尺 度 法［1，26，36－37］CVM01（Constrained Variable Metric）是一種改進型約束變尺度法程序，該程序的特點是收斂快、可靠性好、適用性廣、運行簡便等，但優(yōu)化結(jié)果只是接近最優(yōu)值，而不是唯一值，隨著起始輸入值的變化，目標函數(shù)比沖的優(yōu)化結(jié)果也有變化，輸入的初始組分含量不同，優(yōu)化得到的比沖值不同，求得的最佳配比也不同，比沖在2 603～2 616N·s／kg的范圍內(nèi)變化。

1．2．3 混合離散變量直接搜索法

混合離散變量直接搜索法［1，4，24，27］（MDOD）是在綜合非線性規(guī)劃的“爬山”策略思想和組合優(yōu)化中的“查點”策略思想的基礎(chǔ)上提出的一種約束非線性混合離散度量優(yōu)化設(shè)計方法。這種方法能夠在設(shè)計空間中直接搜索離散點，它由“爬山”搜索和“查點”搜索兩部分組成。

作者分別用改進型約束變尺度法（CVM01）和混合離散變量直接搜索法（MDOD）程序與計算機上調(diào)試通過的計算能量特性的程序相結(jié)合，對丁羥推進劑配方的能量特性（比沖）進行了優(yōu)化設(shè)計，可任意設(shè)定丁羥推進劑中的3 種組分進行優(yōu)化，CVM01 程序的優(yōu)化結(jié)果表明，比沖為2 603～2 616N·s／kg。組分優(yōu)化結(jié)果的變化范圍也較大，HTPB 為8．23%～11．37%，AP 為65%～72．24%，Al為19．04%～25．29%。采用MDOD程序優(yōu)化丁羥推進劑配方，不管起始組分輸入值大小差異多大，通過優(yōu)化最終的比沖值為一定值，即為2 616N·s／kg，其最佳配比（質(zhì)量分數(shù)）為：HTPB 10．98%，AP 68．07%，Al 20．95%，其他優(yōu)化方法得不到完全一致的最高比沖值，由此可見MDOD是一種較好的通用優(yōu)化方法［1］。

2 遺傳優(yōu)化法

2．1 遺傳算法簡介

遺傳算 法［1，8－9，12，39］是建立在自然選擇和群體遺傳學機理基礎(chǔ)上的迭代、進化、具有廣泛適用性的搜索方法。遺傳算法與傳統(tǒng)算法的不同點為：（1）將決策變量的編碼（染色體）作為運算對象，而不是問題參數(shù)本身；（2）使用概率搜索技術(shù)；（3）遺傳算法還具有隱含的并行性，在搜索空間里使用相對少的串，就可以檢驗表示數(shù)量極大的區(qū)域；（4）遺傳算法直接以目標函數(shù)值作為搜索信息。

遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程搜索最優(yōu)解的方法，其整體搜索策略和優(yōu)化搜索方法在計算時不依賴于梯度信息或其他輔助知識，只需要影響搜索方向的目標函數(shù)和相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)。因此，遺傳算法提供求解復雜系統(tǒng)問題的通用框架不依賴于問題的具體領(lǐng)域，是一種解決搜索問題的通用算法，以其使用簡便、易于并行化等優(yōu)勢，在科學技術(shù)及工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

在化學配方的數(shù)值計算中，人們非常關(guān)心最優(yōu)值的問題。求解這個領(lǐng)域的最優(yōu)值有其特殊性：通常計算公式已知，公式參數(shù)（X1，X2，…Xn）需要在一定的區(qū)間內(nèi)，配方參數(shù)之間的關(guān)系為X1＋X2＋…＋Xn＝100%。如果利用傳統(tǒng)的方法尋找最優(yōu)值則需要對整個空間進行搜索，計算復雜且計算量巨大。遺傳算法是模擬自然界中物競天擇、適者生存的法則，通過對解空間進行進化從而求得最優(yōu)方案，其優(yōu)點是，即使算法中的某些參數(shù)不起作用，整個算法還可以正常工作，即整體種群的走向是越來越好。

遺傳算法包括選擇、交叉、變異、評估等幾個步驟。結(jié)合遺傳算法可以很好地避免對整個空間進行搜索。難點在于如何解決配方在變異和交叉時，各參數(shù)之和要保證恰好為100%，并保證各參數(shù)都不越界。

2．2 遺傳優(yōu)化法的特點

作者首次用遺傳算法對推進劑能量特性進行優(yōu)化，并用高級語言編制了程序，形成固體推進劑配方優(yōu)化設(shè)計軟件包（Optimization and Design of Solid Propellant Formulations），簡稱SPOD 軟件包［7］。該軟件包具有以下優(yōu)點：

（1）能量特性計算結(jié)果準確、可靠，符合國軍標（GJB／Z84－96）［40］要求。用該軟件包計算的比沖結(jié)果與國外文獻上的計算結(jié)果基本一致，相對誤差一般小于1%［1］；李猛等［41］用3種能量計算程序NASA－CEA、能星及SPOD 軟件程序?qū)?種典型的推進劑（CMDB推進劑、HTPB 推進劑、NEPE 推進劑及GAP推進劑）能量特性參數(shù)進行計算，結(jié)果表明標準理論比沖一致性較好，相對偏差小于0．7%，特征速度的相對偏差小于1．2%。

（2）解決了含少量催化劑或添加劑推進劑組分的比沖等能量特性參數(shù)不能計算的難題；可精確計算含任意組分的推進劑的能量特性參數(shù)。

（3）計算快速、方便，一次可計算十個或更多配方，耗時僅需幾秒鐘［1］。

（4）優(yōu)化結(jié)果準確度高，能結(jié)合工藝實際進行優(yōu)化。

對某型號推進劑的真實配方進行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果與真實配方相近，結(jié)果見表1。

表1 計算結(jié)果與文獻值的比較Table 1 Comparison of the calculated results with literature ones

由表1可以看出，比沖相對誤差小于0．40%、特征速度相對誤差小于0．60%，燃燒溫度的相對誤差小于4．5%，優(yōu)化結(jié)果與推進劑實例的能量特性接近，該優(yōu)化方法有較大的實用價值。

（5）優(yōu)化速度快、時間短、效率高

為測試其優(yōu)化效果，選擇幾組真實推進劑配方進行優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化值與真實配方很接近，結(jié)果見表2。

表2 SPOD 對HTPB推進劑配方范圍設(shè)置、優(yōu)化結(jié)果以及與真實配方的比較Table 2 Comparison of the composition range setting of HTPB propellant，optimized results obtained by SPOD and real formulations

設(shè)計一個實用的配方需要很長的時間，利用該軟件只需要幾分鐘到幾十分鐘，大大縮短研制時間，提高了產(chǎn)品研發(fā)效率。

（6）一次可優(yōu)化3～8種組分，為推進劑配方設(shè)計提供了很大的方便。

以NEPE 推進劑為例［27］，黏合劑為PEG，氧化劑為高氯酸銨及HMX，添加劑為鋁粉，增塑劑為NG、BTTN，催化劑為Fe2O3，設(shè)定初始配方范圍，求最終優(yōu)化配方，結(jié)果見表3。

表3 用SPOD 對NEPE推進劑配方范圍設(shè)置、優(yōu)化結(jié)果以及與真實配方的比較Table 3 Comparison of the composition range setting of NEPE propellant，optimized results obtained by SPOD and real formulations

（7）遺傳優(yōu)化的種群個數(shù)和迭代次數(shù)可以調(diào)節(jié)

種群個數(shù)和迭代次數(shù)對優(yōu)化結(jié)果影響不大。種群個數(shù)選取5～25，迭代次數(shù)選取20～100時，優(yōu)化結(jié)果波動不大；迭代次數(shù)選擇100 次，種群選擇25個，優(yōu)化計算準確度與計算時間比值較好。

在使用過程中由于設(shè)定的種群、最大迭代次數(shù)不同，優(yōu)化計算的時間及最終結(jié)果也不同。表4列出3種配方優(yōu)化時種群、最大迭代次數(shù)對計算時間及最終優(yōu)化結(jié)果的影響。

表4 優(yōu)化時種群、最大迭代次數(shù)對計算時間及最終優(yōu)化結(jié)果的影響Table 4 Effect of optimization population and maximum number of iterations on the computation time and final optimization results

由表4可以看出，種群和最大迭代次數(shù)越大優(yōu)化時間越長，優(yōu)化結(jié)果越趨于真實配方值，但總體看來優(yōu)化結(jié)果的差值不大，如配方2和配方3的優(yōu)化結(jié)果相近，故選用配方2。

（8）可繪制出等性能三角圖、二維等高圖、三維立體圖、推進劑成分與多種性能關(guān)系的二維綜合圖、推進劑中氧化劑含量固定、黏合劑與添加劑含量變化對比沖等性能影響圖（也可設(shè)定黏合劑含量固定、氧化劑與添加劑含量變化對比沖等性能影響圖）、推進劑組分與燃氣產(chǎn)物關(guān)系圖等一系列圖形。這些圖形可形象、直觀地看出推進劑比沖等性能與組分的關(guān)系，對研制新型推進劑配方提供了極大的方便。

3 結(jié) 論

（1）固體推進劑配方優(yōu)化設(shè)計SPOD 軟件具有優(yōu)化結(jié)果準確度高，優(yōu)化速度快，能結(jié)合工藝實際調(diào)整優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化組分可達3～8種，最多可達9種組分，并繪制出多種圖形，直觀地反映了固體推進劑配方與性能的關(guān)系，可滿足固體推進劑配方的設(shè)計要求，為推進劑配方設(shè)計提供了很大的方便。

（2）固體推進劑配方優(yōu)化設(shè)計軟件應(yīng)用廣泛，用遺傳算法原理和編程方法略加修改即可用于炸藥、發(fā)射藥、化學及高分子材料等多個領(lǐng)域的配方優(yōu)化設(shè)計，可節(jié)省大量的人力物力。

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