楊 誠(chéng) ，孔繁軍，戴 晶

（中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第 七一九研究所，湖北 武 漢 4 30064）

多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制是當(dāng)前控制領(lǐng)域研究的前沿方向，包含一致性、同步、編隊(duì)控制、分布式濾波等問(wèn)題，在多機(jī)器人編隊(duì)系統(tǒng)[1]、無(wú)人飛機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[2]、傳感器網(wǎng)絡(luò)和分布式觀測(cè)與監(jiān)控[3]等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用前景。蜂擁是多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制研究領(lǐng)域的一個(gè)重要問(wèn)題，它描述的是大量個(gè)體朝著一個(gè)方向以相同的速度運(yùn)動(dòng)，且個(gè)體彼此之間保持一定的距離——既不分離，也不發(fā)生碰撞。由于蜂擁在人工仿生網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等眾多工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，大量研究者對(duì)蜂擁行為進(jìn)行了深入的研究。

1987年，Reynolds給出了蜂擁控制的3個(gè)基本要求[4]，即分離（Separation）、聚合（Cohesion）和速度匹配（Alignment）。之后，Olfati-Saber[5]提出了一個(gè)理論上的蜂擁控制框架，設(shè)計(jì)了不同的數(shù)學(xué)算法并進(jìn)行了綜合性分析。文獻(xiàn)[6]中，作者對(duì)蜂擁控制算法中的人工勢(shì)函數(shù)重新進(jìn)行了構(gòu)造，利用加邊延遲規(guī)則結(jié)合新構(gòu)造的人工勢(shì)函數(shù)克服分裂現(xiàn)象。

目前，多智能體系統(tǒng)蜂擁控制研究大多采用的是連續(xù)的控制系統(tǒng)模型，即智能體通過(guò)與鄰居智能體之間進(jìn)行連續(xù)的通訊來(lái)獲得鄰居的狀態(tài)。然而在實(shí)際系統(tǒng)中，連續(xù)的信息傳輸必然帶來(lái)巨大的能源消耗?；诖?，文中提出一種基于事件驅(qū)動(dòng)的控制機(jī)制來(lái)實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的蜂擁行為。事件驅(qū)動(dòng)控制機(jī)制是指在一個(gè)控制環(huán)中控制器和執(zhí)行器當(dāng)某個(gè)事件觸發(fā)時(shí)發(fā)起一次通訊的控制方法[7]。近年來(lái)，事件驅(qū)動(dòng)機(jī)制作為一種替代傳統(tǒng)周期性時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)的控制方式被提出，這是因?yàn)?，一方面事件?qū)動(dòng)更符合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中個(gè)體交互和決策的行為特征；另一方面，事件驅(qū)動(dòng)是按需驅(qū)動(dòng)，即當(dāng)智能體有“需要”時(shí)，控制任務(wù)才執(zhí)行。從仿生學(xué)應(yīng)用的角度來(lái)看，這種控制機(jī)制更能夠適應(yīng)受通訊約束的分布式多智能體系統(tǒng)的設(shè)計(jì)需求，同時(shí)也有利于優(yōu)化系統(tǒng)資源。例如，在配備有微處理器的分布式無(wú)線傳感器/執(zhí)行器網(wǎng)絡(luò)中，應(yīng)用事件觸發(fā)的控制策略，可以降低處理器功率消耗，延長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)壽命。

本文針對(duì)多智能體系統(tǒng)的蜂擁控制問(wèn)題，首先結(jié)合傳統(tǒng)勢(shì)函數(shù)和速度一致性算法，設(shè)計(jì)了由事件驅(qū)動(dòng)機(jī)制觸發(fā)速度信息交互的混雜控制算法；進(jìn)一步針對(duì)每個(gè)智能體，給出了基于誤差的分布式事件驅(qū)動(dòng)條件。理論上證明了系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的蜂擁運(yùn)動(dòng)，同時(shí)采用加邊延遲效應(yīng)設(shè)計(jì)了有界的勢(shì)函數(shù)保持網(wǎng)絡(luò)的連通性。最后，仿真驗(yàn)證了方法的正確性。

1 符號(hào)說(shuō)明

首先，介紹本文需要用到的符號(hào)。R和Z分別表示實(shí)數(shù)集和非負(fù)整數(shù)集，Z+表示正整數(shù)集。Rn表示維實(shí)向量空間，Rnxn表示n×n階實(shí)矩陣空間。In表示n維單位矩陣，In表示所有元素都為 1的 n維向量。對(duì)于對(duì)稱(chēng)矩陣 A∈Rn×n，λmax(A)和 λmin(A)分別表示A的最大特征值和最小特征值。此外，用∩代表邏輯“或”運(yùn)算，∪代表邏輯“與”運(yùn)算?！ぁ硎揪仃嚨淖V范數(shù)，?表示Kronecker積。

定義 G =(V，E，A）表示 n 維空間的無(wú)向圖，其中 V =是個(gè)智能體體的集合。Ni={j∈V，(j，i)∈E}表示頂點(diǎn)的鄰居集合，ni表示集合Ni的基數(shù)。E是由V中的無(wú)序點(diǎn)對(duì)構(gòu)成的邊集， 可表示為 E ?{(i，j):i，∈V,j≠i}（簡(jiǎn)單圖），{j，i}∈E?(i，j}∈E，那么這個(gè)圖被稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)的(Symmetric)或者無(wú)向圖 (Undirected)，若圖中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在一條路徑，則稱(chēng)圖G為連通圖，否則為非連通圖。A={aij}N×N表示鄰接矩陣，其所有元素都是非負(fù)實(shí)數(shù)，當(dāng)(i，j}∈E 時(shí)，aij＞0，否則 aij=0。度矩陣D=diag｛ dij｝是N×N階對(duì)角陣，其中那么，Laplacian矩陣L可以表示為

引理2.1[5]：是無(wú)向圖G的Laplacian矩陣，鄰接矩陣A=AT且為非負(fù)的，那么：

1)L 的特征值滿足 0=λ1(L)≤λ2(L)≤…≤λN(L)，當(dāng)且僅當(dāng)圖G是連通的，有代數(shù)相關(guān)性λ2(L)＞0，且

2)矩陣L是半正定的矩陣，滿足下面的性質(zhì)：

引理2.2[8]：假設(shè)圖G是一個(gè)n維的無(wú)向圖，在圖 G中加入一些邊構(gòu)成圖 G1。 那么，λ2(L(G1))≥λ2(L(G))，其中 L(G)，L(G1)分別表示圖G和G1的Laplacian矩陣。

2 模型描述

考慮N智能體在n維的歐式空間中運(yùn)行，可以假設(shè)第i個(gè)智能體的運(yùn)動(dòng)方程如下：

其中 xi∈Rn，vi∈Rn，ui∈Rn分 別 代表 智 能 體 i 的 位 置 向量，速度向量和控制輸入。

2） 如果(i,j)?E(t-)并且則智能體 i 和智能體j之間在時(shí)刻t產(chǎn)生一條連邊；

對(duì)每個(gè)智能體i，速度信息通訊只需在事件驅(qū)動(dòng)時(shí)刻點(diǎn)處觸動(dòng)，因此控制輸入為

定義‖xi-xj‖=‖xij‖，Ψxij(‖xij(t)‖)為非負(fù)光滑有界的分段人工勢(shì)函數(shù)，勢(shì)函數(shù)的梯度表示為▽?duì)穢ij(‖xij(t)‖)，滿足

3 主要結(jié)果

定義4-1：對(duì)于一個(gè)多智能體系統(tǒng)，如果說(shuō)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的蜂擁狀態(tài)，那么當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的初始狀態(tài)，滿足

滿足時(shí)被驅(qū)動(dòng)。其中 θi∈(0,1)，?i=1,2,…,N,ni是 t時(shí)刻智能體 i鄰域內(nèi)個(gè)體數(shù)。常數(shù) a＜λ2(L(0))/(N-1)，λ2(L(0))是初始時(shí)刻系統(tǒng)的代數(shù)相關(guān)性。假設(shè)初始能量Q0為一個(gè)有限值，并且網(wǎng)絡(luò)是初始連通的。那么可以得到如下結(jié)論：

1)對(duì)于任意的t≥0，圖G(t)是連通的并且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有碰撞發(fā)生；

2)統(tǒng)漸進(jìn)的實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的蜂擁狀態(tài)。

證明：對(duì)于系統(tǒng)（7），定義一個(gè)類(lèi)似能量的Lyapunov函數(shù))

由于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是時(shí)變的，Q是一個(gè)分段連續(xù)函數(shù)。定義系統(tǒng)的拓?fù)淝袚Q時(shí)間系列為t是它的不連續(xù)點(diǎn)。另外，控制輸入的更新序列為失一般性，假設(shè)T0=0。在區(qū)間t∈[T0,T1]上，對(duì)Lyapunov函數(shù)Q求導(dǎo)，可得

其中，ni是智能體i在t時(shí)刻鄰域內(nèi)智能體的個(gè)數(shù)，并且有可以得到

即Q˙(t)≤0,tk時(shí)刻沒(méi)有邊會(huì)斷開(kāi)。因此整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中網(wǎng)絡(luò)是保持連通的。再根據(jù)引理2.2有，對(duì)于?t≥0，λ2(L(0))≤λ2(L(t)),那么事件條件式(8)可以應(yīng)用于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中。進(jìn)一步，根據(jù)人工勢(shì)函數(shù)的定義，同樣可以得到對(duì)于?t＞0智能體之間的距離不會(huì)趨近于0，因此在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中智能體之間沒(méi)有碰撞發(fā)生。

下面分析定理4-1中的結(jié)論2)。假設(shè)在時(shí)刻tˉkα，有mk條邊增加到網(wǎng)絡(luò)中來(lái)，因此，系統(tǒng)(7)的拓?fù)淝袚Q次數(shù)是有限的，那么網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)最終將保持不變。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的最后一個(gè)拓?fù)淝袚Q時(shí)刻是tˉk′α，那么對(duì)于 t∈是連續(xù)的且單調(diào)遞減的。接下來(lái)的分析可以限制到區(qū)域因此，集合｝是一個(gè)正的不變集。其中

注釋4-1：由于系統(tǒng)的平均速度v=v(0)，假設(shè)每個(gè)智能體能獲得系統(tǒng)的初始全局平均速度，那么事件驅(qū)動(dòng)條件式(9)可以寫(xiě)為

定理4-2：考慮一個(gè)具有個(gè)智能體的系統(tǒng)，它們的運(yùn)動(dòng)方程為(4)，每個(gè)智能體的控制輸入為式(5)并由集中式事件驅(qū)動(dòng)更新，在如下事件條件

滿足時(shí)被驅(qū)動(dòng)。假設(shè)初始的能量Q0為一個(gè)有限值并且網(wǎng)絡(luò)是初始連通的。那么：

1)對(duì)于任意的t≥0，圖G(t)是連通的并且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程沒(méi)有碰撞發(fā)生；

2)系統(tǒng)漸進(jìn)的實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的蜂擁狀態(tài)。

5 數(shù)值仿真

考慮10個(gè)智能體在二維平面上的運(yùn)動(dòng)。它們的初始位置和速度分別隨機(jī)產(chǎn)生于[-25,10]×[-25,10]和[-10,10]×[-10,10]。鄰域半徑R=30,智能體之間的理想距離為[8,10]，延遲距離為 τ=5，常數(shù) a可取 a=0.1＜λ2(L(0))/(N-1)。 仿真的結(jié)果如圖1和2所示。圖1繪出了所有智能體從t=0到t=20 s的運(yùn)動(dòng)軌跡。xi1,xi2分別是位置沿x,y坐標(biāo)軸的分量，箭頭代表速度的方向。圖2顯示了每個(gè)智能體速度模值的收斂情況并用垂直于時(shí)間軸的實(shí)線表示事件驅(qū)動(dòng)時(shí)刻。

6 結(jié)論

本文采用事件驅(qū)動(dòng)控制方法，研究了多智能體系統(tǒng)的蜂擁問(wèn)題。提出了一種分布式事件驅(qū)動(dòng)混雜控制算法，利用鄰域內(nèi)其他個(gè)體的位置信息和事件驅(qū)動(dòng)時(shí)刻點(diǎn)處的速度信息，設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制策略實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的蜂擁行為。算法設(shè)計(jì)中，考慮到控制能量的有界性和網(wǎng)絡(luò)的連通性，利用加邊延遲效應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。最后仿真驗(yàn)證了結(jié)果的有效性。

圖1 10個(gè)智能體從t=0 s到t=20 s的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 The moving trajectories of 10 agents from 0 to 20s

圖2 10個(gè)智能體速度模值的收斂情況和事件驅(qū)動(dòng)時(shí)刻Fig.2 The convergence trajectories of the modulus of velocity and the event-triggered instants of 10 agents

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