張肇文 申 虹

（南開大學 物理科學學院 天津 300071）

非均勻核物質(zhì)狀態(tài)方程研究

張肇文 申 虹

（南開大學 物理科學學院 天津 300071）

在相對論平均場理論框架下研究非均勻核物質(zhì)，自洽的Thomas-Fermi近似是一種有效的方法。這種方法假設(shè)了非均勻核物質(zhì)是由原子核及核外中子氣和質(zhì)子氣構(gòu)成。在溫度T、質(zhì)子分支比Yp以及重子密度ρB確定的情況下，通過改變Wigner-Seitz原胞半徑，對系統(tǒng)的每重子自由能進行最小化，從而得到熱力學穩(wěn)定態(tài)，原胞內(nèi)的重子分布也可以自洽地得到。由自洽的Thomas-Fermi近似得到的結(jié)果可以與之前工作所得到的結(jié)果進行詳細比較，之前的工作所采用的是參數(shù)化的Thomas-Fermi近似方法。

非均勻核物質(zhì)，狀態(tài)方程

高溫致密物質(zhì)的狀態(tài)方程對于研究天體物理現(xiàn)象非常重要，例如：超新星爆發(fā)和中子星形成[1-4]。核物質(zhì)狀態(tài)方程是超新星爆發(fā)研究的重要輸入量，由于超新星爆發(fā)過程的復雜性，使得描述系統(tǒng)的核物質(zhì)狀態(tài)方程十分復雜。目前被廣泛采用的狀態(tài)方程有采用液滴模型構(gòu)造的狀態(tài)方程[5]，以及采用Thomas-Fermi近似方法構(gòu)造的狀態(tài)方程[4,6-7]和采用自洽相對論平均場計算給出的狀態(tài)方程[8]。本文采用了自洽的Thomas-Fermi近似與相對論平均場理論相結(jié)合的方法來處理非均勻物質(zhì)相。

自洽的Thomas-Fermi近似方法所給出的原子核的性質(zhì)與實驗數(shù)據(jù)非常接近[9]。最近，Thomas-Fermi近似方法被用于研究在亞核密度下原子核的pasta相的性質(zhì)[10-11]。我們前期工作中[12]，參數(shù)化的Thomas-Fermi近似只考慮了droplet相。本文通過對比核子分布以及熱力學量來檢驗自洽的Thomas-Fermi近似(STF)與參數(shù)化的Thomas-Fermi近似(PTF)的區(qū)別。另外本文還考慮了bubble相所帶來的影響。

關(guān)于有效的核相互作用，我們采用了相對論平均場理論(Relativistic Mean Field, RMF)，核子之間通過交換介子發(fā)生相互作用，其中介子包括了標量-同位旋標量介子σ、矢量-同位旋標量介子ω以及矢量-同位旋矢量介子ρ。本文采用了TM1參數(shù)組[11]，它能給出很好的有限核的基態(tài)性質(zhì)，并且預言中子星的質(zhì)量上限為2.18 M⊙。 另外在前期的工作中，PTF的計算也是將TM1的結(jié)果作為輸入量，因此可以在相同的RMF理論中對STF和PTF進行詳細的對比。

1 理論模型

對于均勻核物質(zhì)，我們采用RMF理論來計算其性質(zhì)，對于非均勻核物質(zhì)相，由于原子核的存在而使得系統(tǒng)的自由能降低，我們采用STF近似方法來得到場的運動方程。

在RMF理論中，由質(zhì)子、中子和電子組成的系統(tǒng)，它的拉氏密度為：

式中，Wμν、Raμν和Fμν分別是ωμ、ρaμ以及Aμ的全反對稱張量，所采用的TM1參數(shù)組由表1給出。

表1 TM1參數(shù)組(MeV)Table1 Parameter set TM1 (MeV).

從拉氏密度式(1)出發(fā)，得到一組Euler-Lagrange方程。在RMF近似下，介子場可視為經(jīng)典場，可以由它們的期望值所代替，其運動方程由式(2)-(5)給出：

式中，in和,sin分別是粒子種類i的粒子數(shù)密度和標量密度，它們由式(7)、(8)給出。核子滿足以下方程：

式中，M*=M+gσσ是核子的有效質(zhì)量。

非均勻物質(zhì)相由Wigner-Seitz近似描述，核物質(zhì)分布于電中性的球形Wigner-Seitz原胞中，原胞內(nèi)的核子密度分布由STF近似給出，核子密度通常是徑向坐標r的函數(shù)。在STF近似中，系統(tǒng)的狀態(tài)由熱力學平衡條件確定，這給出了平均場滿足的方程(2)-(5)，粒子及反粒子在各能級上的占據(jù)幾率見式(9)、(10)。通過自洽求解這些耦合方程，可以確定系統(tǒng)的熱力學平衡狀態(tài)及其性質(zhì)。在Wigner-Seitz原胞中，核子在坐標r處的粒子數(shù)密度和標量密度分別為：

化學勢iμ與有效化學勢iν的關(guān)系是：

在給定Wigner-Seitz原胞半徑及重子密度和質(zhì)子分支比的情況下，具體的求解過程如下：首先給出介子場的初始猜測，通過給定的質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)確定相應的化學勢，當化學勢確定后，就可以求得系統(tǒng)的各類密度分布，再將得到的密度分布代入介子場方程，從而得到新的介子場。這一自洽求解過程迭代數(shù)次，直至得到收斂的介子場和核子密度分布。得到自洽解后，則可以計算得到系統(tǒng)的熱力學性質(zhì)。Wigner-Seitz原胞半徑通過自由能密度最低條件確定。通常可以假設(shè)電子是均勻分布的，由于電子不參與自由能最小化的過程，我們在這里不包括電子的貢獻。核子的能量密度和熵密度為：

在自由能最小化的過程中，還需要考慮體心晶格的庫侖能修正項CEΔ[12]，這一修正對于bubble相和droplet相有所不同[13]。

PTF近似方法假設(shè)了核子在Wigner-Seitz原胞中的分布具有如下形式：

在溫度T、重子密度ρB以及質(zhì)子分支比Yp固定的情況下進行自由能最小化。ρB和Yp為原胞內(nèi)的平均值，由式(16)、(17)給出：

2 結(jié)果與討論

在關(guān)于非均勻核物質(zhì)相的研究中采用STF近似，同時考慮了droplet相和bubble相，并與均勻相的結(jié)果進行比較，從而確定具有最低自由能的穩(wěn)定態(tài)。結(jié)果表明，在靠近非均勻-均勻相變點密度附近，bubble相比droplet相具有更低的每重子自由能。

圖1 在T=1 MeV、ρB=1014 g.cm-3、Yp=0.3情況下Wigner-Seitz原胞內(nèi)質(zhì)子和中子的密度分布Fig.1 Density distributions of protons and neutrons inside the Wigner-Seitzce14ll forth-3e case of T=1 MeV, ρB=10 g.cmand Yp=0.3.

圖1 給出了在Wigner-Seitz原胞內(nèi)質(zhì)子與中子的密度分布，分別給出了在STF近似中得到的droplet相（點線）和bubble相（實線）以及在PTF近似中得到的droplet相（虛線）。在STF近似中，原胞中心區(qū)域的密度明顯比表面區(qū)域低，這是因為庫侖相互作用將更多的質(zhì)子推到表面。在PTF近似中，由于核子密度分布被限定為式(15)的形式，因此沒有出現(xiàn)這種現(xiàn)象。在重子密度附近，bubble相具有比droplet相更低的自由能，因此考慮了bubble相之后，會提高非均勻-均勻相變密度。例如，在重子密度、Yp=0.3和T=1 MeV情況下，在droplet相與 bubble相和均勻相之間，每重子自由能最低的態(tài)是bubble相，但是如果不考慮bubble相的話，均勻相的每重子自由能最低。

圖2給出了每重子自由能F隨重子密度的變化，其中STF近似的結(jié)果用實線表示，PTF近似的結(jié)果用虛線表示。我們發(fā)現(xiàn)兩種方法得到的結(jié)果存在微小的差別，這是因為它們處理表面效應和核子密度分布的方法不同。在STF近似中，原子核的表面效應和核子密度分布通過自洽求解得到，由于密度分布不均勻?qū)е碌谋砻婺埽ㄌ荻饶埽┌谑?13)中，無法將其與體積能分離開，這樣的關(guān)于表面能的處理是自洽的，沒有引入更多的近似和參數(shù)。另一方面，在PTF近似中，每個原胞的表面能無法自洽求解得到，假設(shè)其具有形式為，其中0F= 70 MeV.fm5為引入的模型參數(shù)。如圖2所見，PTF給出的每重子自由能結(jié)果小于STF的結(jié)果，這主要是因為PTF中所采用的參數(shù)F0較小導致。由于采用了較小的F0，低估了表面能的貢獻，從而使PTF給出的每重子自由能偏低。除此之外，由圖2看到，在重子密度ρB＞1013.9g.cm-3時，由于bubble相的存在，使得系統(tǒng)的每重子自由能明顯降低。

圖2 在Yp=0.3和0.5、T=1 MeV情況下每重子自由能F隨重子密度ρB的改變Fig.2 Free energy per baryon F vs. ρB for Yp=0.3 and 0.5 at T=1 MeV.

3 結(jié)語

我們采用STF近似和RMF理論對非均勻核物質(zhì)進行了研究，并將結(jié)果與前期工作中的PTF近似得到的結(jié)果做了詳細的比較，另外我們還考慮了在非均勻-均勻相變之前可能出現(xiàn)的bubble相的影響。

在STF近似中，核子密度分布和表面能由自洽求解得到，通過調(diào)節(jié)Wigner-Seitz原胞半徑對系統(tǒng)自由能進行最小化，并且同時考慮了droplet相和bubble

相。在與PTF近似結(jié)果對比后，我們發(fā)現(xiàn)兩種近似在低密區(qū)域，核子密度分布并沒有顯著差別，但是在靠近非均勻-均勻相變點附近會顯示出明顯的區(qū)別?？紤]到整體狀態(tài)方程密度范圍非常大，兩種近似方法得到的自由能等性質(zhì)差別可以忽略，并不影響狀態(tài)方程的整體行為。

1 Burrows A, Livne E, Dessart L, et al. A new mechanism for core-collapse supernova explosions[J]. The Astrophysical Journal, 2006, 640: 878-890

2 Janka H Th, Langanke K, Marek A, et al. Theory of core-collapse supernovae[J]. Physics Reports, 2007, 442: 38-74

3 Sumiyoshi K, Yamada S, Suzuki H, et al. Postbounce evolution of core-collapse supernovae: long-term effects of the equation of state[J]. The Astrophysical Journal, 2005, 629: 922-932

4 Shen H, Toki H, Oyamatsu K, et al. Relativistic equation of state for core-collapse supernova simulations[J]. The Astrophysical Journal Supplement Series, 2011, 197: 20-33

5 Lattimer J M, Swesty F D. A generalized equation of state for hot, dense matter[J]. Nuclear Physics A, 1991, 535: 331-376

6 Shen H, Toki H, Oyamatsu K, et al. Relativistic equation of state of nuclear matter for supernova explosion[J]. Progress of Theoretical Physics, 1998, 100: 1013-1031

7 Shen H, Toki H, Oyamatsu K, et al. Relativistic equation of state of nuclear matter for supernova and neutron star[J]. Nuclear Physics A, 1998, 637: 435-450

8 Shen G, Horowitz C J, Teige S. New equation of state for astrophysical simulations[J]. Physical Review C, 2011, 83: 035802

9 Centelles M, Schuck P, Vi?as X. Thomas-Fermi theory for atomic nuclei revisited[J]. Annals of Physics, 2007, 322: 363-396

10 Avancini S S, Brito L, Marinelli J R, et al. The pasta phase within density dependent hadronic models[J]. Physical Review C, 2009, 79: 035804

11 Avancini S S, Chiacchiera S, Menezes D P, et al. Warm“pasta” phase in the Thomas-Fermi approximation[J]. Physical Review C, 2010, 82: 055807

12 Sugahara Y, Toki H. Relativistic mean-field theory for unstable nuclei with non-linear σ and ω terms[J]. Nuclear Physics A, 1994, 579: 557-572

13 Oyamatsu K. Nuclear shapes in the inner crust of a neutron star[J]. Nuclear Physics A, 1993, 561: 431-452

CLCTL99

Relativistic equation of state for non-uniform nuclear matter

ZHANG Zhaowen SHEN Hong
(School of Physics, Nankai University, Tianjin 300071, China)

Background: The self-consistent Thomas-Fermi approximation has been widely used in atomic and nuclear physics. Many properties of nuclei can be described by the Thomas-Fermi approximation in good agreement with experimental data. Purpose: We studied the non-uniform nuclear matter using the self-consistent Thomas-Fermi approximation with a relativistic mean-field model. Methods: The non-uniform matter was assumed to be composed of a lattice of heavy nuclei surrounded by dripped nucleons. We determined the thermodynamically favored state by minimizing the free energy density with respect to the radius of the Wigner-Seitz cell, while the nucleon distribution in the cell was determined self-consistently in the Thomas-Fermi approximation. Results: A detailed comparison is made between the present results and previous calculations in the Thomas-Fermi approximation with a parameterized nucleon distribution that has been adopted in the widely-used-Shen-EOS (equation of state). Conclusion: It has been found that there is no obvious difference in nucleon distributions at lower densities, while the difference becomes noticeable near the transition density to uniform matter. For thermodynamical quantities, such as the free energy and entropy per baryon, the results of both methods generally agree well with each other.

Non-uniform nuclear matter, Equation of state

TL99

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.100514

國家自然科學基金(No.11075082、No.11375089)資助

張肇文，男，1987年出生，2010年畢業(yè)于南開大學，理論物理專業(yè)

申虹，E-mail: songtc@nankai.edu.cn

2014-04-21，

2014-09-01