傅冠健 趙玉民

（上海交通大學(xué) 物理與天文系 上海 200240）

質(zhì)子-中子相互作用與殼模型配對(duì)近似

傅冠健 趙玉民

（上海交通大學(xué) 物理與天文系 上海 200240）

質(zhì)子-中子相互作用和質(zhì)子-中子配對(duì)是原子核結(jié)構(gòu)中有趣的問(wèn)題。本文指出，經(jīng)驗(yàn)上由結(jié)合能提取的質(zhì)子-中子相互作用和殼模型計(jì)算得到的T=0質(zhì)子-中子相互作用的計(jì)算結(jié)果很接近；計(jì)算中奇奇核和偶偶核的結(jié)合能應(yīng)該附加一個(gè)額外項(xiàng)，這個(gè)額外項(xiàng)由質(zhì)子-中子相互作用給出。自旋平行的質(zhì)子-中子配對(duì)（角動(dòng)量為9，同位旋為0）在96Cd的10+、12+、14+、16+、112+、114+和116+態(tài)以及92Pd原子核的10+和12+態(tài)中重要，而傳統(tǒng)的SD配對(duì)近似對(duì)于10+和12+態(tài)的描述更合適。

質(zhì)子-中子相互作用，T=0質(zhì)子-中子配對(duì)，配對(duì)近似

原子核是由質(zhì)子和中子構(gòu)成的復(fù)雜多體系統(tǒng)，核子間的相互作用可以分為質(zhì)子-質(zhì)子相互作用(T=1, TZ=-1)、中子-中子相互作用(T=1, TZ=1)、以及質(zhì)子-中子相互作用(T=0或1, TZ=0)，其中T和TZ分別是同位旋和同位旋三分量。人們對(duì)T=1相互作用（特別是同類(lèi)核子間的相互作用）和同類(lèi)核子的配對(duì)現(xiàn)象已有比較深入的認(rèn)識(shí)。在這方面人們發(fā)展了很多理論模型，如辛弱數(shù)理論[1-2]、BCS理論[3-4]、相互作用玻色子模型[5]、殼模型配對(duì)近似理論[6-8]等，并取得了巨大成功。

人們很早就認(rèn)識(shí)到質(zhì)子-中子相互作用（尤其是T=0的部分）在原子核的形變、相變、集體運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)象中起重要作用[9]，但是對(duì)質(zhì)子-中子相互作用的理解仍然比較膚淺。由于理論計(jì)算上的困難，關(guān)于質(zhì)子-中子配對(duì)（尤其是T=0配對(duì)）的研究比較少。2011年斯德哥爾摩研究組首次給出了92Pd原子核低能部分的能級(jí)圖，并指出1g9/2軌道上自旋平行的質(zhì)子-中子配對(duì)(J=9，T=0)在低激發(fā)態(tài)中的主導(dǎo)現(xiàn)象[10]。單軌道的殼模型理論計(jì)算表明[11]，這種新的配對(duì)機(jī)制在92Pd附近的原子核中確實(shí)重要，相互作用玻色子模型的計(jì)算也得到類(lèi)似的結(jié)果[12]。

本文總結(jié)我們近年來(lái)關(guān)于質(zhì)子-中子相互作用和自旋平行質(zhì)子-中子配對(duì)方面的研究[13-14]。我們通過(guò)兩種途徑研究質(zhì)子-中子相互作用：用結(jié)合能實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取質(zhì)子-中子相互作用，以及在殼模型框架下計(jì)算質(zhì)子-中子相互作用。在原有的殼模型配對(duì)近似理論基礎(chǔ)上引入了同位旋自由度[15]，在同位旋守恒的配對(duì)近似框架下研究自旋平行的質(zhì)子-中子配對(duì)在96Cd和92Pd原子核低激發(fā)態(tài)中的貢獻(xiàn)。

1 質(zhì)子-中子相互作用

原子核中最后一個(gè)質(zhì)子和最后一個(gè)中子之間的相互作用可以用四個(gè)相鄰原子核結(jié)合能的雙重差分來(lái)定義[16-17]，即：

式中，Z是質(zhì)子數(shù)，N是中子數(shù)，B是原子核結(jié)合能，這里的結(jié)合能取正值。δV1p-1n在重核區(qū)的系統(tǒng)性較好，在輕核區(qū)較差。從圖1可以看到大部分δV1p-1n為負(fù)值，這表明質(zhì)子-中子相互作用是吸引的。如果以雙幻核作為核心把所有價(jià)核子之間的δV1p-1n累加起來(lái)，就得到總的質(zhì)子-中子相互作用：

另一方面，我們?cè)跉つＰ涂蚣芟虏捎肬SDB有效相互作用[18]計(jì)算sd殼原子核的基態(tài)波函數(shù)。USDB相互作用是sd空間殼模型計(jì)算中常用的相互作用之一。該相互作用包含3個(gè)單粒子能量參數(shù)和63個(gè)兩體剩余相互作用矩陣元參數(shù)，這些參數(shù)基于核子-核子散射實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)sd殼原子核實(shí)驗(yàn)?zāi)芗?jí)擬合得到。利用計(jì)算得到的基態(tài)波函數(shù)進(jìn)一步計(jì)算T=0質(zhì)子-中子相互作用和T=1質(zhì)子-中子相互作用的期望值，分別記為

圖2是殼模型計(jì)算得到的質(zhì)子-中子相互作用與經(jīng)驗(yàn)提取的質(zhì)子-中子相互作用的比較?？梢钥吹絍pn和VT=0在數(shù)值上非常接近，VT=1,TZ=0的強(qiáng)度比VT=0的強(qiáng)度小很多。這表明經(jīng)驗(yàn)提取的質(zhì)子-中子相互作用是殼模型框架下T=0質(zhì)子-中子相互作用的一個(gè)好的近似。

圖1 原子核中最后一個(gè)質(zhì)子和最后一個(gè)中子之間的經(jīng)驗(yàn)相互作用Fig.1 Empirical proton-neutron interaction between the last proton and the last neutron.

圖2 sd殼原子核的T=0質(zhì)子-中子相互作用和T=1質(zhì)子-中子相互作用與經(jīng)驗(yàn)質(zhì)子-中子相互作用的比較Fig.2 Total isoscalar and isovector valence proton-neutron interactions vs. total empirical valence proton-neutron interaction for nuclei in the sd shell.

從圖1中還看到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，即偶質(zhì)量數(shù)原子核的δV1p-1n強(qiáng)度明顯大于奇質(zhì)量數(shù)原子核的δV1p-1n強(qiáng)度。文獻(xiàn)[19-20]曾提出質(zhì)子-中子對(duì)力會(huì)導(dǎo)致奇奇核的結(jié)合能額外地增強(qiáng)，文獻(xiàn)[21]進(jìn)一步指出由質(zhì)子-中子相互作用引起的組態(tài)混雜最終導(dǎo)致奇奇核的結(jié)合能額外地增強(qiáng)，這樣可以解釋?duì)腣1p-1n的奇偶性。然而文獻(xiàn)[19]提出：假設(shè)偶偶核結(jié)合能額外地增強(qiáng)，也可以解釋?duì)腣1p-1n的奇偶性。那么δV1p-1n奇偶性的真正原因是什么？是奇奇核的結(jié)合能額外地增強(qiáng)，還是偶偶核的結(jié)合能額外地增強(qiáng)，亦或是兩者兼而有之？

為了研究這個(gè)問(wèn)題，我們討論Vpn。文獻(xiàn)[9]指出Vpn近似與NpNn成正比，其中Np(Nn)是價(jià)質(zhì)子（中子）數(shù)。對(duì)于一種同位素（假設(shè)質(zhì)子數(shù)為Z），Vpn可以被近似表示為一個(gè)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性公式Vpn≈aZN+bZ。如果假設(shè)Vpn精確符合上述線(xiàn)性關(guān)系，那么通過(guò)計(jì)算會(huì)發(fā)現(xiàn)δV1p-1n的奇偶性不復(fù)存在，正是因?yàn)閂pn對(duì)于線(xiàn)性關(guān)系的偏離才有δV1p-1n的奇偶性。

圖3 V′ 和V′隨中子數(shù)N的變化pn′pnFig.3 Vp′n and Vpn vs. neutron number N for a few sd shell nuclei.

2 自旋平行的質(zhì)子-中子配對(duì)

在原有的殼模型配對(duì)近似理論基礎(chǔ)上，我們發(fā)展了同位旋守恒的殼模型配對(duì)近似方法。這是目前研究同位旋標(biāo)量的核子配對(duì)組態(tài)唯一的、直接的方法。假設(shè)雙幻核外有2n個(gè)價(jià)核子，那么配對(duì)近似的組態(tài)空間由n個(gè)集體對(duì)耦合而成：

其中：

式中，A(ri)?表示一個(gè)角動(dòng)量為Jri和同位旋為T(mén)ri的集體對(duì)；y(abri)是集體對(duì)結(jié)構(gòu)系數(shù)。

我們利用這個(gè)方法研究96Cd和92Pd低激發(fā)態(tài)中的質(zhì)子-中子配對(duì)(J=9, T=0)。我們把96Cd和92Pd看做雙幻核100Sn以下、2p1/22p3/21f5/21g9/2殼層內(nèi)的價(jià)空穴系統(tǒng)，將自旋平行的質(zhì)子-中子配對(duì)記為A(9)，采用JUN45有效相互作用[22]計(jì)算并比較幾種不同的組態(tài)空間下的T=0低激發(fā)態(tài)波函數(shù)。其中JUN45相互作用是2p1/22p3/21f5/21g9/2空間殼模型計(jì)算中常用的相互作用之一，該相互作用包含4個(gè)單粒子能量參數(shù)和133個(gè)兩體剩余相互作用矩陣元參數(shù)，這些參數(shù)基于唯象相互作用通過(guò)擬合2p1/22p3/21f5/21g9/2殼原子核實(shí)驗(yàn)?zāi)芗?jí)得到。

我們首先考察96Cd原子核。96Cd是雙幻核100Sn以下的兩質(zhì)子空穴-兩中子空穴系統(tǒng)。我們?cè)谝韵?個(gè)殼模型空間下計(jì)算T=0態(tài)波函數(shù)：(1) 單軌道的1g9/2子空間；(2) 雙軌道的2p1/21g9/2子空間；(3) 三軌道的2p1/22p3/21g9/2子空間；(4) 2p1/22p3/21f5/21g9/2全空間。我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同角動(dòng)量、能量最低的T=0態(tài)，空間(1)和空間(4)中計(jì)算得到的波函數(shù)重疊(overlap)平方約等于0.7，空間(2)和空間(4)中計(jì)算得到的波函數(shù)重疊平方同樣約等于0.7。而對(duì)于絕大部分T=0低激發(fā)態(tài)，空間(3)和空間(4)中計(jì)算得到的波函數(shù)重疊平方大于0.9。這表明對(duì)于T=0低激發(fā)態(tài)，2p1/22p3/21g9/2子空間是2p1/22p3/21f5/21g9/2全空間好的截?cái)嘟啤?/p>

我們?cè)谝韵?個(gè)配對(duì)空間下計(jì)算96Cd原子核不同角動(dòng)量、能量最低態(tài)的波函數(shù)：(1) T=0自旋平行的A(9)配對(duì)子空間；(2) T=1傳統(tǒng)的SD配對(duì)子空間；(3) 2p1/22p3/21f5/21g9/2殼模型全空間。我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于態(tài)，空間(1)和空間(3)中計(jì)算得到的波函數(shù)重疊平方大于0.5，A(9)配對(duì)子空間是殼模型全空間的有效截?cái)嘟疲粚?duì)于這兩個(gè)態(tài)，傳統(tǒng)的SD配對(duì)近似描述則更合適；空間(2)和空間(3)中計(jì)算得到的波函數(shù)重疊平方約等于0.9。

我們考察92Pd原子核，92Pd是雙幻核100Sn以下的四質(zhì)子空穴-四中子空穴系統(tǒng)。由于計(jì)算困難，很難在2p1/22p3/21f5/21g9/2全空間下進(jìn)行研究，我們采用三軌道2p1/22p3/21g9/2空間。我們?cè)谝韵?種配對(duì)空間下計(jì)算92Pd原子核10+和12+態(tài)的波函數(shù)：(1) A(9)配對(duì)子空間；(2) SD配對(duì)子空間；(3) 2p1/22p3/21g9/2殼模型空間。發(fā)現(xiàn)空間(1)和空間(3)中計(jì)算得到的波函數(shù)重疊平方約等于0.5，空間(2)和空間(3)中計(jì)算得到的波函數(shù)重疊平方大于0.8，SD配對(duì)近似比A(9)配對(duì)近似更合適。

3 結(jié)語(yǔ)

本文總結(jié)了我們近年來(lái)關(guān)于質(zhì)子-中子相互作用方面的工作，利用原子核結(jié)合能實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取經(jīng)驗(yàn)質(zhì)子-中子相互作用，并用殼模型計(jì)算T=0質(zhì)子-中子相互作用和T=1質(zhì)子-中子相互作用，指出經(jīng)驗(yàn)質(zhì)子-中子相互作用與T=0質(zhì)子-中子相互作用的計(jì)算結(jié)果非常接近。計(jì)算表明奇奇核和偶偶核的結(jié)合能都有一個(gè)額外項(xiàng)，這個(gè)額外項(xiàng)由質(zhì)子-中子相互作用給出，利用這個(gè)額外項(xiàng)我們可以自然地解釋?duì)腣1p-1n的奇偶性。

研究自旋平行T=0質(zhì)子-中子配對(duì)（記為A(9)配對(duì)）在96Cd和92Pd原子核低激發(fā)態(tài)中的貢獻(xiàn)。在同位旋守恒的殼模型配對(duì)近似框架下，分別在2p1/22p3/21f5/21g9/2殼模型空間和配對(duì)截?cái)嘧涌臻g計(jì)算低激發(fā)態(tài)波函數(shù)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，A(9)配對(duì)在96Cd原子核的和1態(tài)以及92Pd原子核的態(tài)中重要，而傳統(tǒng)的SD配對(duì)近似對(duì)于這兩個(gè)原子核的態(tài)的描述則更合適。

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CLCTL11, O571.2

Proton-neutron interactions and nucleon-pair approximation

FU Guanjian ZHAO Yumin
(Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Background: Nucleon-pair correlations play an important role in low-lying states of atomic nuclei. Purpose: The aim is to study empirical proton-neutron interactions and investigate the contribution from spin-aligned proton-neutron pairs (with spin 9 and isospin 0) in low-lying states of96Cd and92Pd. Methods: The empirical proton-neutron interaction is obtained by using nuclear binding energies of a few neighboring nuclei and the nuclear shell model. The contribution from spin-aligned proton-neutron pairs in the shell model wave functions is evaluated by using the nucleon-pair approximation with isospin symmetry. Results: The empirical proton-neutron interaction is reasonably consistent with isoscalar interactions calculated by using the shell model. There exists an additional binding energy in both even-even and odd-odd nuclei originated from proton-neutron interactions. Spin-aligned isoscalar pairs play an important role in theand1 states of96Cd and thestates of92Pd. For thestates, the conventional isovector SD pairs are more relevant. Conclusion: Both isoscalar and isovector nucleon pairs play an important role in low-lying states of N=Z nuclei. This is a consequence of nonorthogonality feature of nucleon-pair basis.

Proton-neutron interaction, T=0 proton-neutron pair, Nucleon-pair approximation

TL11，O571.2

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.100502

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.11225524)和973項(xiàng)目(No.2013CB834401)資助

傅冠健，男，1988年出生，2010年畢業(yè)于上海交通大學(xué)，現(xiàn)為該校在讀博士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)樵雍私Y(jié)構(gòu)

趙玉民，E-mail: ymzhao@sjtu.edu.cn

2014-04-30，

2014-05-28