陳 璐，袁建平

（西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072）

隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，許多空間任務(wù)對(duì)航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)能力有更高的要求，快速、穩(wěn)定、高精度的姿態(tài)控制系統(tǒng)成為空間技術(shù)的重要研究方向。

目前用于衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)主動(dòng)控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)類型主要有推力器、反作用飛輪、控制力矩陀螺等?？刂屏赝勇莅▎慰蚣芸刂屏赝勇?（SGCMG）和雙框架控制力矩陀螺（DGCMG）。如果轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速可變，兩者又可變?yōu)樽兯倏刂屏赝勇荩╒SCMG）和雙框架變速控制力矩陀螺（DGV）?？刂屏赝勇莸墓ぷ髟硎牵咚俎D(zhuǎn)子（以下也稱飛輪）自轉(zhuǎn)軸方向繞框架軸轉(zhuǎn)動(dòng)，引起飛輪自轉(zhuǎn)角動(dòng)量進(jìn)動(dòng)而輸出力矩。相比RW，CMG的輸出力矩則大得多，且響應(yīng)速度更快，功耗更低且使用壽命長?？刂屏赝勇莸倪@些優(yōu)點(diǎn)，使其成為最有前景的航天器姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，并在國內(nèi)外的許多航天器系統(tǒng)中（如 “ISS”和天宮一號(hào)等）得到應(yīng)用[1-2]。

VSCMG比CMG多一個(gè)自由度，因此可以避免CMG群的奇異性。VSCMG是Ford和Hall等人[3]在1997年的AAS/AIAA的飛行力學(xué)專業(yè)會(huì)議上以“框架動(dòng)量輪”的形式首次提出的。Schaub等人[4]將其命名為VSCMG，并推導(dǎo)基于單CMG和多CMG航天器的動(dòng)力學(xué)方程，并設(shè)計(jì)了基于速度、加速度的操縱律實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)控制。Yoon研究了基于一個(gè)VSCMG的航天器角速度和姿態(tài)控制問題[5]，研究了VSCMG群的奇異特性，提出了避免奇異的零運(yùn)動(dòng)方法，研究了基于VSCMG航天器的能量/姿態(tài)一體化控制系統(tǒng)的自適應(yīng)控制律。

從上世紀(jì)60年代開始，基于DGCMG的航天器姿態(tài)控制成為研究的熱點(diǎn)。Bauer[6]采用四桿連接的分析方法研究了基于DGCMG航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程。Ahmed[7]利用Lagrange方程建立了DGCMG的動(dòng)力學(xué)模型，研究了一種自適應(yīng)反饋控制律來實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤。Liu等人[8]提出了一種采用轉(zhuǎn)子可變速DGCMG為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的空間飛行器姿態(tài)最優(yōu)控制律，采用連續(xù)逼近方法，通過變分法估計(jì)性能指標(biāo)變化，應(yīng)用最速下降法和共軛梯度法得到期望解。周荻[9]研究了基于DGCMG群的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了穩(wěn)定的非線性控制律和奇異魯棒+零運(yùn)動(dòng)操縱律，并進(jìn)行了不同構(gòu)型DGCMGs系統(tǒng)的奇異性分析。

無論是VSCMG還是DGCMG，它們都只有兩個(gè)自由度，無法實(shí)現(xiàn)三維的姿態(tài)控制，為此，文中研究了雙框架變速控制力矩陀螺（DGV）。由于DGV有3個(gè)自由度，其能完成三維的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)。本文推導(dǎo)了基于DGV的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，然后用Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了該非線性系統(tǒng)的控制律和操縱律，并研究了基于加速度的操縱律，仿真結(jié)果表明，該執(zhí)行機(jī)構(gòu)能夠很好地實(shí)現(xiàn)航天器三維的姿態(tài)跟蹤和快速機(jī)動(dòng)。

1 基于DGV的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，DGV主要由外框架、內(nèi)框架、轉(zhuǎn)子和力矩電機(jī)等一些其它附件組成。外框架軸與內(nèi)框架軸互相垂直，內(nèi)框架軸與轉(zhuǎn)子軸互相垂直，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速可變，因此DGV系統(tǒng)具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

圖1 DGV結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The structure of a DGV

本文將航天器本體部分視作剛體，由于控制力矩陀螺框架連同轉(zhuǎn)子相對(duì)于上述部分發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，所以以控制力矩陀螺系統(tǒng)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的剛體航天器為多剛體系統(tǒng)?；诖耍疚臄M采用矢量力學(xué)建模方法。此外，本文研究中還做出如下假設(shè)：假設(shè)DGV的框架、轉(zhuǎn)子質(zhì)量均勻分布，安裝也完全對(duì)稱。因此，DGV的內(nèi)外框架及轉(zhuǎn)子質(zhì)心重合，即為DGV的質(zhì)心，由此得出基于DGV的航天器系統(tǒng)質(zhì)心位置保持不變。

1.1 坐標(biāo)系定義及轉(zhuǎn)換關(guān)系

定義N-xNyNzN為慣性坐標(biāo)系，簡(jiǎn)寫為{N}；定義C-xByBzB為航天器本體坐標(biāo)系，質(zhì)心為航天器質(zhì)心C，簡(jiǎn)寫為{B}；定義O-xFyFzF、O-xGyGzG、O-xHyHzH分別為 DGV 的外框架、內(nèi)框架和轉(zhuǎn)子固連的坐標(biāo)系，簡(jiǎn)寫為 {F}、{G}、{H}，三者質(zhì)心均為DGV的質(zhì)心O，單位向量分別為{f→1，f→2，f→3}、{g→1，g→2，g→3}、{h→1，h→2，h→3}。

矩陣[AB]表示坐標(biāo)系 A 相對(duì)于 B 的方向余弦，[Mi（α）]表示繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)矩陣。外框架坐標(biāo)系（F系）到內(nèi)框架坐標(biāo)系（G系），內(nèi)框架坐標(biāo)系（G系）到轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系（H系）的歐拉角分別為ψ和θ，其旋轉(zhuǎn)軸分別為f→3和g→2。本文中，左上標(biāo)表示坐標(biāo)系，右上標(biāo)表示坐標(biāo)原點(diǎn)。

坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣如下：

其中，[BF]表示DGV的安裝矩陣，是固定的。

坐標(biāo)系間的相對(duì)角速度可以用角速率與旋轉(zhuǎn)軸的乘積表示：

1.2 航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

由于四元數(shù)在描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)有以下優(yōu)點(diǎn)：不包含三角函數(shù)、運(yùn)算簡(jiǎn)單、沒有奇點(diǎn)等，所以文中采用四元數(shù)作為姿態(tài)描述參數(shù)，基于四元數(shù)的航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為：

1.3 基于DGV的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

航天器系統(tǒng)關(guān)于其質(zhì)心C的角動(dòng)量為：

將上式投影到本體系B下，并將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的導(dǎo)數(shù)代入，整理可得精確的基于DGV的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

其中，[I]=B[I]=B[IS]+B[IG]+B[IG]+B[IH]+B[IW]，T→ext表示航天器所受的外力矩，兩者都是在本體系B下。

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

從基于DGV的航天器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中我們可以看出，DGV的輸出力矩是三維的，而其他附加項(xiàng)對(duì)航天器本體的作用也是在三維，所以，必須設(shè)計(jì)穩(wěn)定的控制律，以實(shí)現(xiàn)航天器的三維姿態(tài)機(jī)動(dòng)。本節(jié)的主要目標(biāo)就是，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)一種穩(wěn)定的控制律，能實(shí)現(xiàn)航天器跟蹤期望的姿態(tài)軌跡。

2.1 控制律設(shè)計(jì)

本節(jié)控制律設(shè)計(jì)的目的就是，使本體坐標(biāo)系B和參考系R之間的角速度、姿態(tài)趨于0。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對(duì)Lyapunov函數(shù)進(jìn)行微分：

Lyapunov穩(wěn)定性理論要求V˙必須是負(fù)半定，才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)P為一正定的角速度反饋增益矩陣，則V˙可表示為

結(jié)合兩式，可得穩(wěn)定性約束為：

參考轉(zhuǎn)移定理，可得如下關(guān)系

將基于DGV的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程（9）代入式（18），整理可得如下的Lyapunov穩(wěn)定性約束：

上式被稱作“控制律”。

2.2 基于速度的操縱律設(shè)計(jì)

為了盡可能發(fā)揮“力矩放大效應(yīng)”，操縱律方程（24）中框架轉(zhuǎn)動(dòng)角速度項(xiàng)要盡可能大，而慣性項(xiàng)（加速度項(xiàng)）應(yīng)盡可能小，因此，忽略框架的加速度項(xiàng)ψ¨和θ¨，可得如下的操縱律方程：

上式與VSCMG的操縱律方程相似，但又包含二次項(xiàng)和。由于二次項(xiàng)的存在，VSCMG的相關(guān)操縱律解法并不適用。因此，本文采用牛頓法直接求解上述操縱律方程[17]。

其中，[R]、[S]分別為[3×1]和[3×3]矩陣，但其中每一項(xiàng)都為[3×1]向量，具體如下：

上述操縱律方程不能解析求解，但可以用牛頓法求解如下方程組的根：

忽略二次項(xiàng)，可以得到如下的初值猜測(cè)：

采用下式進(jìn)行循環(huán)迭代，直至誤差|f（u→）|足夠?。?/p>

在文中后面的仿真過程中，誤差限取為10－9N·m。仿真結(jié)果表明，避免奇異的情況下，操縱律方程可以很快求得結(jié)果。

3 仿真及結(jié)果分析

文中基于Matlab仿真環(huán)境編制程序來驗(yàn)證所推導(dǎo)的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型及非線性反饋控制律和操縱律。航天器各部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣如下：

B[IS]=diag（[15 45 30]） kg·m2G[IG]=diag（[0.04 0.02 0.02]） kg·m2H[IH]=diag（[0.02 0.02 0.04]） kg·m2H[IW]=diag（[0.3 0.2 0.2]） kg·m2

航天器的姿態(tài)跟蹤主要研究對(duì)于期望機(jī)動(dòng)軌跡的跟蹤問題，文中選取四元數(shù)為姿態(tài)描述參數(shù)，四元數(shù)以正弦規(guī)律變化，可以求得期望角速度也按正弦規(guī)律變化。參考軌跡姿態(tài)四元數(shù)的初值為q→（t0）=[0.5 0.5 0.5 0.5]，角速度初值為w→（t0）=[－0.05 0.2 0]rad/s。轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速初值為 Ω（t0）=500 rad/s，內(nèi)外框架角、框架角速率初值均為0。

仿真中采用本文所設(shè)計(jì)的非線性反饋控制律和基于加速度的操縱律，具體的仿真參數(shù)為K=200，[P]=diag（[200 200 200]），Kψ˙=0.04，Kθ˙=0.2。 仿真時(shí)間設(shè)定為 60 s，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 航天器姿態(tài)（四元數(shù)描述）Fig.2 Attitude of spacecraft body（quaternion）

圖3 航天器本體角速度Fig.3 Angular velocity of spacecraft body

圖4 框架角度Fig.4 Gimbal angles

圖5 框架角速率Fig.5 Gimbal rates

圖2 、3可以看出，在仿真時(shí)間15 s左右，航天器的跟蹤誤差已經(jīng)很小，達(dá)到10－4量級(jí)，由此可以說明基于加速度的操縱律，能很好地實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)跟蹤。圖4、5顯示了在姿態(tài)跟蹤過程中框架角和框架角速率的變化曲線，其中轉(zhuǎn)子的角速度在500 rad/s附近。圖5中，在28 s附近，內(nèi)框架角速率有一處波動(dòng)，這是由于此時(shí)內(nèi)框架通過奇異位置（θ=－90°），和前文的奇異分析很好地吻合。

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了精確的基于DGV航天器系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)穩(wěn)定的反饋控制律和操縱律，實(shí)現(xiàn)跟蹤參考軌跡。研究了更為精確的基于加速度的操縱律。仿真結(jié)果表明，一個(gè)DGV作為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)即可完成航天器三維方向的姿態(tài)跟蹤。

[1]Gurrisi C，Seidel R，Dickerson S，et al.Space station control moment gyroscope lessons learned[R].Proceedings of the 40th Aerospace Mechanisms Symposium，NASA NASA/CP－2010－216272， Kennedy Space Center，2010：12－14.

[2]張志方，董文強(qiáng).控制力矩陀螺在天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器姿態(tài)控制上的應(yīng)用[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2011，37（6）:52－59.ZHANG Zhi-fang，DONG Wen-qiang.The application of control moment gyro in attitude control of Tiangong－1 spacecraft[J].Aerospace Control and Application，2011，37（6）:52－59.

[3]Ford K A，Hall C D.Flexible Spacecraft Reorientations Using Gimbaled Momentum Wheels[C]//Proceedings of the AAS/AIAA 1997 Astrodynamics Specialist Conference，edited by F.Hoots， B.Kaufman， P.Cafola， and D.Spencer， Univelt， Inc.， San Diego， CA， 1997.

[4]Schaub H.Novel Coordinates for Nonlinear Multibody Motion with Applications to Spacecraft Dynamics and Control[D].Texas A&M University，1998.

[5]Yoon H.Spacecraft Attitude and Power Control Using Variable Speed Control Moment Gyros[D].Georgia Institute of Technology，2004.

[6]Bauer R J.Kinematics and dynamics of a double-gimbaled control moment gyroscope [J].Mechanism and Machine Theory，2002（37）:1513-1529.

[7]Ahmed J，Bernstein D S.Adaptive Control of Double-Gimbal Control-Moment Gyro with Unbalanced Rotor[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2002，25（1）:105-115.

[8]Liu T C，Chubb W B，Seltzer SM，et al.Optimal control of a variable spin speed CMG system for space vehicles[C]//IEEE Conference on Decision and Control，incl Symp on Adapt Processes.San Diego:CA，USA ，1973:722-726.

[9]周荻，周凈揚(yáng).基于雙框架控制力矩陀螺的空間飛行器非線性姿態(tài)控制[J].宇航學(xué)報(bào)，2009，30（1）:179-187.ZHOU Di，ZHOU Jing-yang.Nonlinear attitude control of spacecraft based on double gimbaled control moment gyroscopes[J].Journal of Astronautics，2009，30（1）:179-187.

[10]Oh H S，Vadali SR.Feedback control and steering laws for spacecraft using single gimbal control moment gyros[J].Journal of the Astronautical Sciences，1991，39（2）:183-203.