劉海濤，王磊，趙萬華

（西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，710049，西安）

由于機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性對(duì)于機(jī)床的加工精度有很大影響［1-3］，因此為了避免共振、顫振等不良現(xiàn)象的發(fā)生，提高機(jī)床的加工精度，在機(jī)床的設(shè)計(jì)階段必須對(duì)高速機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì)。

Liang等分析了結(jié)合部預(yù)載對(duì)整機(jī)尤其是進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)剛度的影響［4］。Jui等研究了考慮線性導(dǎo)軌預(yù)載的立式機(jī)床的穩(wěn)定性問題［5］。Ching等研究了導(dǎo)軌預(yù)載對(duì)立式立柱-主軸箱系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的作用［6］。Feng等建立了滾珠絲杠動(dòng)結(jié)合部預(yù)緊力可調(diào)整的進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，并對(duì)螺母的振動(dòng)進(jìn)行了譜分析［7］。

若要實(shí)現(xiàn)真正的基于動(dòng)態(tài)性能的主動(dòng)設(shè)計(jì)，就必須弄清各種因素對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，如模態(tài)、振型等影響因素，以及各種影響因素之間復(fù)雜的耦合、制約關(guān)系，并在設(shè)計(jì)階段進(jìn)行合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和剛度分配，以達(dá)到各種因素相匹配的目的。目前，以動(dòng)態(tài)參數(shù)為目標(biāo)，針對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面的研究還比較少，本文以典型的工作臺(tái)進(jìn)給系統(tǒng)為例，建立了考慮絲杠螺母結(jié)合面、導(dǎo)軌結(jié)合面和軸承結(jié)合面的進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了各種因素變化下系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的變化規(guī)律，找出了不同動(dòng)態(tài)范圍的敏感因素。通過綜合各因素對(duì)機(jī)床模態(tài)特性的影響規(guī)律，并以工作臺(tái)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為例，進(jìn)行了合理的剛度匹配。

1 進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 進(jìn)給系統(tǒng)等效動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示的工作臺(tái)系統(tǒng)，忽略進(jìn)給工作臺(tái)內(nèi)部的筋板結(jié)構(gòu)，將其簡化為相同外形尺寸的實(shí)心結(jié)構(gòu)，采用實(shí)體單元進(jìn)行等效，同時(shí)定義等效彈性模量E和等效密度ρ。如圖2所示，采用Timoshenko梁單元定義絲杠、線性彈簧阻尼單元以建立各結(jié)合面的等效模型。每個(gè)導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面由1組y、z方向的彈簧來等效，用于約束工作臺(tái)y、z方向的自由度。由4個(gè)滑塊組合在一起約束工作臺(tái)繞x、y、z方向旋轉(zhuǎn)的自由度，采用1組彈簧阻尼單元等效絲杠-螺母結(jié)合面，約束工作臺(tái)x方向的自由度。采用1組三向彈簧來模擬軸承對(duì)絲杠的支撐，由1組x方向的扭轉(zhuǎn)彈簧阻尼單元來模擬電機(jī)的伺服剛度，并約束絲杠扭轉(zhuǎn)的自由度。

1.2 導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面剛度

圖3為導(dǎo)軌滑塊副滾珠的受力狀態(tài)，根據(jù)赫茲接觸理論［8］，法向變形為

式中：Kn為赫茲接觸系數(shù)；Qn為法向載荷。對(duì)式（1）求導(dǎo)得到單一導(dǎo)軌滑塊副法向的接觸剛度為

圖1 典型的工作臺(tái)進(jìn)給系統(tǒng)示意圖

圖2 進(jìn)給系統(tǒng)的等效動(dòng)力學(xué)模型

圖3 導(dǎo)軌-滑塊副單一滾珠受力圖

式中：Qp為預(yù)加載荷。

同理，單一導(dǎo)軌滑塊副切向接觸剛度

式中：δτ為切向變形量。采用式（2）、式（3）同樣可以計(jì)算軸承副結(jié)合面的法向和切向接觸剛度［9］。

1.3 絲杠-螺母副結(jié)合面剛度

圖4為采用雙螺母預(yù)緊的絲杠-螺母副受力示意圖。若已知預(yù)緊力和外加負(fù)載，則式（1）同樣適用于絲杠-螺母副接觸剛度的計(jì)算。當(dāng)有軸向外載荷作用時(shí)，作用在絲桿上的總軸向力為

式中：Zef為有效工作的滾珠數(shù)目；Q1、Q2分別為2個(gè)螺母與滾珠的接觸力。

圖4 絲杠-螺母副受力狀態(tài)示意圖

由外部軸向力引起的軸向位移為［10-11］

結(jié)合式（4）、式（5），由剛度表達(dá)式

即可求解滾珠絲杠-螺母副的軸向接觸剛度。

2 仿真分析

2.1 工作臺(tái)力學(xué)屬性對(duì)模態(tài)特性的影響

由圖5a可以看出，進(jìn)給系統(tǒng)的第1階固有頻率fi（i=1，2，3，4）對(duì)工作臺(tái)結(jié)構(gòu)等效彈性模量的變化不敏感，在E=30GPa左右達(dá)到飽和，而對(duì)工作臺(tái)結(jié)構(gòu)等效密度的變化極為敏感。該階振型為工作臺(tái)沿x方向竄動(dòng)，決定該階振型頻率大小的是工作臺(tái)的質(zhì)量以及絲杠-螺母副接觸剛度、軸承副接觸剛度以及絲杠自身拉壓剛度，對(duì)反映工作臺(tái)自身剛性的等效彈性模量并不敏感。

圖5b可以按系統(tǒng)振型的變化分成2個(gè)區(qū)域。第1個(gè)區(qū)域的振型為絲杠自身的彎曲，同時(shí)帶動(dòng)工作臺(tái)沿z方向作微幅振動(dòng)。在該區(qū)域內(nèi)，工作臺(tái)自身剛度遠(yuǎn)大于絲杠的剛性，由于二者在該方向的剛度是串聯(lián)作用，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性取決于剛度小的因素，因此系統(tǒng)的固有頻率對(duì)工作臺(tái)的自身力學(xué)屬性不敏感。第2個(gè)區(qū)域的振型為絲杠、工作臺(tái)的彎曲，此時(shí)系統(tǒng)的固有頻率對(duì)工作臺(tái)的自身力學(xué)屬性很敏感。同理，對(duì)比圖5c和圖5d中系統(tǒng)第3、4階固有頻率的變化規(guī)律和對(duì)應(yīng)的振型，可以找出工作臺(tái)自身力學(xué)屬性對(duì)于系統(tǒng)固有頻率的影響規(guī)律。

2.2 絲杠-螺母副接觸剛度對(duì)模態(tài)特性的影響

由2.1節(jié)的分析可知，絲杠-螺母副接觸剛度和絲杠自身拉壓剛度對(duì)于進(jìn)給系統(tǒng)沿x方向振動(dòng)的模態(tài)影響較大，而絲杠自身的拉壓剛度又取決于絲杠的公稱直徑。圖6為當(dāng)絲杠公稱直徑和絲杠-螺母副軸向接觸剛度發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)前4階固有頻率的變化。由圖6a可以看出，絲杠公稱直徑D對(duì)于系統(tǒng)沿x方向的振動(dòng)影響很大，絲杠沿軸向的拉壓剛度可表示為

圖5 運(yùn)動(dòng)工作臺(tái)對(duì)系統(tǒng)前4階固有頻率的影響

式中：l為絲杠的長度；A為絲杠的截面積。

圖6 絲杠公稱直徑和絲杠-螺母副軸向接觸剛度對(duì)固有頻率的影響

因此，增大絲杠公稱直徑可以有效地提高絲杠自身的拉壓剛度，從而提高進(jìn)給系統(tǒng)沿x方向的固有頻率。同理，增大絲杠-螺母副軸向接觸剛度也可提高進(jìn)給系統(tǒng)的1階固有頻率。由圖6b可以看出，在第1個(gè)區(qū)域內(nèi)，由于絲杠直徑較大，絲杠自身彎曲剛度較工作臺(tái)的彎曲剛度和導(dǎo)軌-滑塊z方向的剛度大，因此該階振型主要由工作臺(tái)的力學(xué)屬性和導(dǎo)軌-滑塊z方向的剛度決定，而對(duì)絲杠的直徑和絲杠-螺母副接觸剛度不敏感。在第2個(gè)區(qū)域內(nèi)，由于絲杠直徑變小，絲杠的彎曲剛度降低，因此該階模態(tài)對(duì)絲杠直徑的變化很敏感。同理，由圖6c和圖6d可得絲杠的直徑和絲杠-螺母副接觸剛度對(duì)第3、4階模態(tài)的影響規(guī)律。

2.3 導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面剛度對(duì)模態(tài)特性的影響

由圖1可知，導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面約束了進(jìn)給系統(tǒng)y方向和z方向的自由度，因此導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面接觸剛度的變化將影響進(jìn)給系統(tǒng)沿y、z方向的振動(dòng)模態(tài)。

由圖7a可以看出，當(dāng)導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面接觸剛度kg不是很小時(shí)（大于130MN／m），系統(tǒng)沿x方向的振動(dòng)模態(tài)對(duì)導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面剛度不敏感，而系統(tǒng)的第2階模態(tài)為工作臺(tái)沿z方向振動(dòng)，導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面剛度對(duì)其影響很大。同理，可以對(duì)比振動(dòng)模態(tài)對(duì)系統(tǒng)第3、4階模態(tài)的影響，如圖7c和圖7d所示。

2.4 導(dǎo)軌-滑塊跨距對(duì)系統(tǒng)模態(tài)特性的影響

在導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面接觸剛度不變的條件下，改變導(dǎo)軌、滑塊跨距同樣可以對(duì)系統(tǒng)的模態(tài)特性產(chǎn)生影響。從圖8a中的1階振型可以看出，該階振型由絲杠-螺母副接觸剛度和絲杠自身剛度主導(dǎo)，改變導(dǎo)軌-滑塊跨距對(duì)該階模態(tài)幾乎沒有影響，而圖8b、圖8c和圖8d中的振型都包含工作臺(tái)沿z方向和y方向的振動(dòng)，而不同導(dǎo)軌-滑塊的跨距將改變工作臺(tái)的約束條件，從而對(duì)其模態(tài)頻率產(chǎn)生影響。由第2、3、4階固有頻率的變化規(guī)律可知，導(dǎo)軌-滑塊的最優(yōu)分布為：dx=400mm，dy=300mm。

3 基于模態(tài)特性的匹配設(shè)計(jì)實(shí)例

通過分析各種因素對(duì)系統(tǒng)模態(tài)特性的影響規(guī)律，得到了各種因素間的耦合制約關(guān)系，根據(jù)這些制約關(guān)系對(duì)剛度進(jìn)行了匹配設(shè)計(jì)。以工作臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為例，當(dāng)外界激振頻率不超過150Hz、系統(tǒng)振動(dòng)的模態(tài)為工作臺(tái)沿x方向振動(dòng)時(shí)，該階模態(tài)對(duì)工作臺(tái)自身剛性的等效彈性模量不敏感，因此在保證靜態(tài)剛度的條件下，應(yīng)盡可能地減小工作臺(tái)的質(zhì)量。本文在保證外形尺寸相同的條件下，設(shè)計(jì)了2種結(jié)構(gòu)的工作臺(tái)，并進(jìn)行了對(duì)比。第1種結(jié)構(gòu)工作臺(tái)的底面壁厚為42mm，筋壁厚為20mm，總質(zhì)量為171kg（見圖9a）；第2種結(jié)構(gòu)工作臺(tái)的底面壁厚為30mm，筋壁厚為15mm，總質(zhì)量為154kg（見圖9b）。

圖7 導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面接觸剛度對(duì)固有頻率的影響

圖8 導(dǎo)軌-滑塊跨距對(duì)前4階固有頻率的影響

采用前3階自由模態(tài)等價(jià)的方法，計(jì)算得到了2種工作臺(tái)的等效密度、等效彈性模量，以及進(jìn)給工作臺(tái)系統(tǒng)的1階模態(tài)。由表1可以看出，2種結(jié)構(gòu)工作臺(tái)的等效彈性模量相差很小，但結(jié)構(gòu)1工作臺(tái)的等效密度較大，使得工作臺(tái)的質(zhì)量較大，由于進(jìn)給系統(tǒng)的1階模態(tài)對(duì)工作臺(tái)的質(zhì)量很敏感，因此結(jié)構(gòu)1比結(jié)構(gòu)2工作臺(tái)構(gòu)成的系統(tǒng)固有頻率f低9%。

圖9 2種不同內(nèi)部筋板結(jié)構(gòu)的工作臺(tái)示意圖

表1 2種結(jié)構(gòu)工作臺(tái)的等效密度和等效彈性模量

4 結(jié) 論

本文采用有限元方法對(duì)影響進(jìn)給系統(tǒng)模態(tài)特性的各種因素進(jìn)行了分析，得到的主要結(jié)論如下。

（1）當(dāng)系統(tǒng)沿x方向振動(dòng)時(shí)，對(duì)模態(tài)影響最大的因素是工作臺(tái)的質(zhì)量、絲杠-螺母副接觸剛度、軸承副接觸剛度以及絲杠自身的拉壓剛度。

（2）當(dāng)導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面剛度相對(duì)較大時(shí)，系統(tǒng)沿x方向的振動(dòng)模態(tài)對(duì)導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面剛度的變化不敏感，但系統(tǒng)沿z方向振動(dòng)時(shí)受導(dǎo)軌-滑塊結(jié)合面剛度的影響較大。

（3）改變導(dǎo)軌-滑塊跨距可以改變工作臺(tái)沿z方向和y方向振動(dòng)的模態(tài)頻率，并存在導(dǎo)軌-滑塊跨距最優(yōu)的分布。

（4）在進(jìn)行剛度匹配設(shè)計(jì)時(shí)，當(dāng)確定了系統(tǒng)的工作頻率范圍，以及對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響最顯著的因素、影響規(guī)律時(shí)，應(yīng)優(yōu)先提高顯著因素。

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