劉立東，宋煥生

（長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064）

由于一維離散混沌映射的產(chǎn)生電路簡便、易于操作，因此其在電子通信、雷達(dá)等工程中的應(yīng)用越來越廣泛[1-6]。工程上對(duì)一維離散混沌信號(hào)的控制和同步往往建立在準(zhǔn)確獲得系統(tǒng)參數(shù)的基礎(chǔ)上，而實(shí)際上混沌映射的參數(shù)具有未知性和不確定性，很難直接從觀測的混沌信號(hào)中獲得，因此需要一種有效的參數(shù)估計(jì)方法。

目前已有很多學(xué)者對(duì)一維離散混沌映射的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行了研究[7-11]。例如文獻(xiàn)[9]，提出了一種改進(jìn)的“字提升（wordlifting）”方法，這種方法能夠從觀測信號(hào)中快速有效的估計(jì)參數(shù)，但是其是建立在混沌信號(hào)初始值已知的前提下。文獻(xiàn)[10]在此基礎(chǔ)上提出了一種基于粒子群的參數(shù)估計(jì)方法，這種方法收斂速度快且不需要獲得混沌映射的初始值。不論文獻(xiàn)[9]還是文獻(xiàn)[10]，這些方法均采用統(tǒng)計(jì)的方法而未從混沌的本質(zhì)特征入手，雖然這些方法收斂速度快，但是其估計(jì)精度不高。文獻(xiàn)[11]提出了一種“均值估計(jì)方法（mean value method，簡稱 MVM）”，這種方法從混沌的本質(zhì)特征入手，利用混沌信號(hào)各態(tài)歷經(jīng)特性，發(fā)現(xiàn)了一維離散混沌映射的參數(shù)和混沌信號(hào)的均值之間存在近似一一對(duì)應(yīng)的單調(diào)關(guān)系，并通過這種關(guān)系進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，該方法操作簡便，估計(jì)精度較高。考慮到混沌映射對(duì)參數(shù)的敏感性，例如在相同初始值條件下，系統(tǒng)參數(shù)有細(xì)微的調(diào)整（比如量級(jí)），經(jīng)過一定次數(shù)的迭代，參數(shù)調(diào)整后的混沌信號(hào)和之前的混沌信號(hào)呈現(xiàn)出完全不相關(guān)的特性。為了更好的對(duì)混沌信號(hào)控制和同步，需要一種高精度的參數(shù)估計(jì)方法。

文中在MVM方法的基礎(chǔ)上提出了一種基于同步的一維離散混沌映射的參數(shù)估計(jì)方法，它充分利用了混沌信號(hào)各態(tài)歷經(jīng)性和混沌同步的參數(shù)敏感性，具有高的估計(jì)精度。該方法的基本思路如下：首先，利用一維離散混沌映射參數(shù)和信號(hào)均值的近似一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系得到系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍；然后在這個(gè)范圍里利用離散混沌映射同步時(shí)的參數(shù)敏感性得到精度更高的估計(jì)值。雖然本文方法的研究集中在一維離散混沌映射，但是該方法的思想依然可以擴(kuò)展到多維離散混沌映射中。

1 MVM方法原理

本文方法建立在MVM方法的基礎(chǔ)之上，下面先介紹MVM方法原理。

令 f(·)為離散混沌映射方程，θ為定義在[θa,θb]上的系統(tǒng)參數(shù)，混沌信號(hào)xθ,(n｛｝)為由 f(·)產(chǎn)生的混沌信號(hào)，即

文獻(xiàn)[11]的作者發(fā)現(xiàn)了大多數(shù)離散混沌信號(hào)的均值函數(shù)M(θ)（見式 2）是關(guān)于參數(shù) θ的單調(diào)函數(shù)，

其中N為混沌信號(hào)的長度。由于M(θ)是單調(diào)函數(shù)，那么系統(tǒng)的參數(shù)的值θ和M(θ)就一一對(duì)應(yīng)，因此系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)值θ^可以通過下式得到：

其中M-1表示的逆函數(shù)。

但是，本文研究發(fā)現(xiàn)M(θ）并不是嚴(yán)格意義上的單調(diào)函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)θ的采樣間隔較大時(shí)，M（θ）為單調(diào)函數(shù)；但是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)θ采樣間隔較小時(shí)，M（θ）并不是單調(diào)函數(shù)，這些可以用Chebyshev系統(tǒng)來驗(yàn)證，見圖1和圖2。圖1中當(dāng)θ以0.05個(gè)單位作為采樣間隔時(shí)，M（θ）呈現(xiàn)出單調(diào)遞增，這時(shí)可以通過式（3）計(jì)算得到參數(shù)的估計(jì)值，估計(jì)誤差小于0.05。但當(dāng)θ以0.001個(gè)單位作為采樣間隔時(shí)，M（θ）并不單調(diào)，見圖2。因此，如果需要更高精度的估計(jì)值，需要對(duì)MVM方法進(jìn)行改進(jìn)。

圖1 chebyshev混沌映射中和參數(shù)關(guān)系圖（參數(shù)采樣間隔為0.05）Fig.1 The relationship between of chaotic sequence generated by Chebyshev map(parameter sampling length is 0.05)

圖2 chebyshev混沌映射中和參數(shù)關(guān)系圖（參數(shù)采樣間隔為0.001）Fig.1 The relationship between of chaotic sequence generated by Chebyshev map(parameter sampling length is 0.001)

2 基于混沌同步的統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法

為了得到高精度的參數(shù)估計(jì)值，文中在MVM方法的基礎(chǔ)上結(jié)合混沌同步特性提出一種新的參數(shù)估計(jì)方法。

文中方法主要分兩步進(jìn)行。第一步利用離散混沌映射均值函數(shù)和參數(shù)近似一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，獲得包含被估計(jì)參數(shù)真實(shí)值的一個(gè)小區(qū)間；第二步利用離散混沌映射同步參數(shù)敏感性在內(nèi)以小步長間隔采樣并進(jìn)行同步誤差比較，選擇同步誤差最小的參數(shù)作為參數(shù)的估計(jì)值。

本文方法的第一步，即，獲得包含被估計(jì)參數(shù)真實(shí)值的一個(gè)小區(qū)間l的思路如下。

首先，根據(jù)式（4）計(jì)算觀測混沌信號(hào)的均值。其中θ0為被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值，xθ0(n)為真實(shí)值時(shí)的觀測混沌信號(hào)。從式（4）中可以看出如果觀測序列已知，則M(θ0)值為常數(shù)。

然后，在被估計(jì)參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)根據(jù)式（5）計(jì)算不同參數(shù)時(shí)混沌信號(hào)的均值，其中θi為參數(shù)取值區(qū)間內(nèi)的采樣值，M(θi)隨著 θi的變化而變化，混沌信號(hào)的初始值可在混沌信號(hào)的值域范圍內(nèi)隨機(jī)選擇。

最后，令 M(θ0)與 M(θi)相交，定義它們的交點(diǎn)間范圍為需要的小區(qū)間。這個(gè)過程可以用圖3來描述，圖3以chebyshev為例，其中兩條縱向虛線間就是 M(θ0)與 M(θi)相交的交點(diǎn)范圍，即為需要的小區(qū)間l。

圖3 和相交后得到的參數(shù)估計(jì)值的范圍（估計(jì)值的真實(shí)值為，包含于兩條縱向曲線決定的區(qū)間內(nèi)）Fig.3 intersects withto define the needed interval(the interval is between the two dot lines for Chebyshev map with）

與MVM方法不同的之處是：在MVM方法中使用式（3）來估計(jì)參數(shù)的值；而本文是通過式（4）和式（5）得到被估計(jì)參數(shù)的一個(gè)小區(qū)間，然后在這個(gè)小區(qū)間內(nèi)以小步長采樣并通過混沌同步的方法得到參數(shù)估計(jì)值。下面給出如何通過混沌同步的方法在小區(qū)間內(nèi)得到參數(shù)估計(jì)值。

考慮兩個(gè)混沌映射：一個(gè)為主控信號(hào)，其未知參數(shù)為θ0，由式（6）定義；另一個(gè)為受控信號(hào)，其參數(shù)θ^∈l，由式（7）定義。

假設(shè)被觀測的混沌信號(hào)為主控混沌映射產(chǎn)生的信號(hào)，為了使受控混沌映射和主控系統(tǒng)同步，需要在受控混沌映射增加一個(gè)控制項(xiàng)，見式（8）。

其中 u(n)的表達(dá)式見式（9）。

式（9）中k為耦合系數(shù)。為了進(jìn)一步得到精度更高的參數(shù)估計(jì)值，本文通過式（10）在小區(qū)l間內(nèi)選擇參數(shù)估計(jì)值θ^0，

本文提出的參數(shù)估計(jì)方法步驟總結(jié)如下：

1).通過式（2）計(jì)算觀測混沌信號(hào)xθ0(n｛｝)的均值；

2).通過式（2）和式（3）得到被估計(jì)參數(shù)值的一個(gè)小區(qū)間l；

3).通過混沌同步的方法經(jīng)過式（10）得到參數(shù)的估計(jì)值。

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果

為了驗(yàn)證本文參數(shù)估計(jì)方法的有效性，選取了典型的Chebyshev和Tent一維離散混沌映射做數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。Chebyshev和Tent混沌映射表達(dá)式分別為x(n)=cos(θcos-1(x(n-1)))，x(n)=θ-1-θx(n-1)，其中 x(n)∈[-1,1]。 仿真中的參數(shù)N=2000，在小區(qū)間l內(nèi)的采樣步長為10-6，混沌同步耦合系數(shù)k=1，參數(shù)的真實(shí)值在(1.2,2)區(qū)間內(nèi)等間隔的選取16個(gè)，參數(shù)估計(jì)的仿真結(jié)果見圖4和圖5。從圖4和圖5中可以看出，本文參數(shù)估計(jì)方法的精度更高，其原因是由于本文方法利用了離散混沌信號(hào)參數(shù)和均值近似一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并借助混沌同步的參數(shù)敏感性來得到估計(jì)精度高的值。

圖4 文獻(xiàn)[10,11]和本文方法對(duì)Chebyshev混沌映射參數(shù)估計(jì)的誤差對(duì)比圖Fig.4 The estimation error of MVM in [10,11]and the proposed method in this paper for Chebyshev map

圖5 文獻(xiàn)[10,11]和本文方法對(duì)Tent混沌映射參數(shù)估計(jì)的誤差對(duì)比圖Fig.5 The estimation error of MVM in [10,11]and the proposed method in this paper for Tent map

4 結(jié)論

文中提出了一種混沌信號(hào)的參數(shù)估計(jì)方法，改方法建立在混沌信號(hào)參數(shù)值與信號(hào)均值近似一一對(duì)應(yīng)和混沌同步參數(shù)敏感性的基礎(chǔ)上。和已有的方法相比，本文方法的估計(jì)精度更高，可以達(dá)到數(shù)量級(jí)10-5。高精度的參數(shù)估計(jì)為混沌信號(hào)的重構(gòu)和混沌信號(hào)的控制奠定了基礎(chǔ)。

[1]Hu J,Guo J.Breaking a chaotic secure communication scheme[J].Chaos,2008,18(10):01321(1)-01321(7).

[2]Wang K.Symbolic Vector Dynamics Approach to Initial Condition and Control Parameters Estimation of Coupled Map Lattices[J].IEEE Trans.Circuits and Systems I:Regular Papers,2008,55(4):1116-1124.

[3]Jovic B,Unsworth C.Fast synchronization of chaotic maps for secure chaotic communications[J],Electronics Letters,2010,46(1):1-2.

[4]Liu L,Hu J,He Z.A Velocity Measurement Method Based on Scaling Parameter Estimation of Chaotic System[J].Metrology and Measurement System,2011,18(2):275-282.

[5]Liu L,Hu J,He Z.Chaotic signal reconstruction with application to noise radar system[J].EURASIP Journal on Advances in Signal Processing,2011,1(2),1-8.

[6]Liu L,Hu J,He Z.A Robust Controller for Synchronization of Chaotic System[J].Journal of Optoelectronics and Advanced Materials,2011,13(4),354-358.

[7]Ghosh D.Adaptive scheme for synchronization-based multi-parameter estimation from a single chaotic time series and its applications[J].Physical Review E,2008,78:056211(1)-056211(5).

[8]Tao C,Zhang Y.Jiang J.Estimating system parameters from chaotic time series with synchronization optimized by a genetic algorithm[J].Physical Review E,2007,76:016209(1)-016209(7).

[9]Wang K,Pei W,He Z.Estimating initial conditions in coupled map lattices from noisy time series using symbolic vector dynamics[J].Physical.Letter.A,2007,367(6):316-321.

[10]Gao F,Lee J J,Li Z Q.Parameter estimation for chaotic system with initial random noises by particle swarm optimization[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,42(3):1286-1291

[11]Leung H,Shanmugam S,Xie N.An ergodic approach for chaotic signal estimation at low SNR with application to ultra-wide-band communication[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(5):1091–1103.