李瑞瑩，李志華

（河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 211100）

振動是反映水輪機(jī)健康狀況及運(yùn)行安全的重要指標(biāo)。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，一方面水輪機(jī)容量、比速和調(diào)節(jié)的越來越頻繁，使得對水輪機(jī)振動及運(yùn)行安全的要求愈來愈高；另一方面，隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展，振動檢測與分析的水平也在不斷上升。因而采用好的振動檢測方法，提高故障診斷及處理水平，將振動控制在合格范圍內(nèi)，對水輪機(jī)正常運(yùn)行有十分重要的意義。

文中從數(shù)學(xué)建模及仿真的角度研究傳感器布置對水輪機(jī)振動特征參數(shù)的影響，在傳統(tǒng)三點(diǎn)檢測法的基礎(chǔ)上，同時(shí)建立二點(diǎn)和四點(diǎn)法的主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型，以掃描點(diǎn)處的相對誤差為特征參數(shù)進(jìn)行研究。第一、二、三節(jié)分別分析了3種傳感器布置方法對特征參數(shù)的影響，通過對仿真結(jié)果的比較得到最佳的傳感器布置方法。

1 三點(diǎn)布置法傳感器位置對振動參數(shù)影響

1.1 三點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型的建立

傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)誤差三點(diǎn)法檢測原理圖如圖1所示。

圖1 三點(diǎn)法檢測原理圖Fig. 1 Detection principle diagram of three-point method

圖中，A，B，C為三個(gè)非接觸式渦流傳感器。O點(diǎn)為這3個(gè)測點(diǎn)的理想旋轉(zhuǎn)中心，以O(shè)點(diǎn)建立直角XOY坐標(biāo)系，同時(shí)設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β。取主軸系統(tǒng)的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)軸中心O為極心作極坐標(biāo)系，極角θ為逆時(shí)針方向, R(θ)為主軸旋轉(zhuǎn)誤差，在極坐標(biāo)中它可以分解為Rx(θ)，Ry(θ)。r(θ)是極坐標(biāo)下θ角對應(yīng)的主軸半徑。這樣整個(gè)主軸的運(yùn)動就可以用主軸瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)中心在直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)誤差和主軸本身在極坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)動[1]來描繪。

參考三點(diǎn)法檢測原理，建立三點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)模型[2]圖如圖2所示。

圖2 三點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型Fig. 2 Spindle rotation mathematical model of three-point method

如圖，已知主軸標(biāo)準(zhǔn)圓方程為x2+y2=r2，圓上任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y)，極坐標(biāo)為(ρ,θ)，經(jīng)過傾斜角δ，圓心平移到(x0,y0)后，圖形上任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)變?yōu)?x1,y1)，新的旋轉(zhuǎn)平移方程可推導(dǎo)如下：

1)逆時(shí)針傾斜角，圖形上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)值由(ρ,θ)轉(zhuǎn)化為 (ρ,θ+δ)

3)將解帶入標(biāo)準(zhǔn)圓方程，變形為

4)將三個(gè)傳感器與標(biāo)準(zhǔn)圓心所在直線看成三條掃描線，且設(shè)直線方程為y=kx，聯(lián)立該直線與上式可簡化為一個(gè)一元二次標(biāo)準(zhǔn)方程ax2+bx+c=0，其中

1.2 傳感器位置對振動參數(shù)影響

仿真時(shí)，設(shè)主軸旋轉(zhuǎn)的標(biāo)準(zhǔn)圓方程為x2+y2=402，以3個(gè)傳感器夾角α=120°，β=120°為標(biāo)準(zhǔn)情況來進(jìn)行布置，此時(shí)掃描直線斜率k1=0，k2=-1.732 1，k3=1.732 1[3]。在MATLAB中仿真編程，可得到S1、S2、S3在相對掃描點(diǎn)處的測量數(shù)據(jù)(X1,Y1)、(X2,Y2)、(X3,Y3)。同時(shí)由于每個(gè)傳感器沿X和Y 方向的分量都有自己獨(dú)特的頻率成分，首先對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT變換，將時(shí)域信號轉(zhuǎn)化為頻域信號[4]，進(jìn)一步進(jìn)行觀察。得到三點(diǎn)布置法中FFT波形圖如圖3所示。

對FFT波形圖進(jìn)行分析，可知頻率對旋轉(zhuǎn)誤差幾乎沒影響，但振幅對旋轉(zhuǎn)誤差的影響卻很大，接下來只考慮振幅，忽略頻率對旋轉(zhuǎn)誤差的影響。

圖3 三點(diǎn)法FFT波形圖Fig. 3 FFT waveform of three-point method

當(dāng)只α變化β不變時(shí)，以α=120°，β=120°為標(biāo)準(zhǔn)情況用“0”表示[5]；α每減小2°代表負(fù)偏離一個(gè)單位度，用“-1”表示；α每增加2°代表正偏離一個(gè)單位度，用“1”表示。由于α和β的變化只影響(X2,Y2)和(X3,Y3)的測量值，故以(X2,Y2)和(X3,Y3)為被測對象，同時(shí)以最大相對誤差值作為特征參數(shù)進(jìn)行研究，經(jīng)過MATLAB仿真，得到特征參數(shù)與角度的關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4 三點(diǎn)法僅α變化時(shí)最大相對誤差曲線Fig. 4 Maximum relative error curve of three-point method only α change

觀察可知，隨α角度變化Y2和Y3最大相對誤差值幾乎沒什么影響，X2最大相對誤差隨α偏離度地增大明顯變小，X3最大相對誤差隨α偏離度增大明顯變大，總體而言，在-2～2的偏離范圍內(nèi)，整體效果較好。

當(dāng)只β變化α不變時(shí)，以α=120°，β=120°為標(biāo)準(zhǔn)情況用“0”表示；β每減小2°代表負(fù)偏離一個(gè)單位度，用“-1”表示；β每增加2°代表正偏離一個(gè)單位度，用“1”表示。由于β的變化只影響(X3,Y3)的測量值，故以(X3,Y3)為被測對象，同時(shí)以最大相對誤差為特征參數(shù)進(jìn)行研究，經(jīng)過MATLAB仿真，得到特征參數(shù)與角度的關(guān)系曲線如圖5所示。

觀察可知，隨β角度變化Y3最大相對誤差幾乎沒什么影響，但整體呈上升趨勢，在-10～0的偏離范圍內(nèi)整體效果較好。

圖5 三點(diǎn)法僅β變化時(shí)最大相對誤差曲線Fig. 5 The maximum relative error curve of three-point method only βchange

2 二點(diǎn)布置法傳感器位置對振動參數(shù)影響

2.1 二點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型的建立

與三點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型類似，將傳感器個(gè)數(shù)減少為兩個(gè)，如圖6所示，便可得到兩點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型，S1,S1為兩個(gè)傳感器所在位置。二點(diǎn)法的數(shù)學(xué)模型分析過程與三點(diǎn)法類似，這里不再重復(fù)。

圖6 二點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型Fig. 6 Spindle rotation mathematical model of two-point method

2.2 傳感器位置對振動參數(shù)影響

仿真時(shí)，設(shè)主軸旋轉(zhuǎn)的標(biāo)準(zhǔn)圓方程為x2+y2=402，以傳感器夾角α=90°為標(biāo)準(zhǔn)情況來進(jìn)行布置，此時(shí)掃描直線斜率k1=0，k2=1.6331e+016。在MATLAB中仿真編程，可得到S1、S2在相對掃描點(diǎn)處的測量數(shù)據(jù)(X1,Y1)、(X2,Y2)。

當(dāng)α變化時(shí)，以α=90°為標(biāo)準(zhǔn)情況用“0”表示，α角度偏離度設(shè)置與三點(diǎn)法相同。由于α的變化只影響(X2,Y2)的測量值，而X2在標(biāo)況下的真值為0，此時(shí)相對誤差無意義，故只將Y2的最大相對誤差作為特征參數(shù)進(jìn)行研究，經(jīng)過MATLAB仿真，得到特征參數(shù)與角度的關(guān)系曲線如圖7所示。

觀察圖7可知，隨α角度的變化Y2最大相對誤差在0.275%到0.325%范圍幅度變化較大，在1到10的偏離范圍內(nèi)整體效果較好。

3 四點(diǎn)布置法傳感器位置對振動參數(shù)影響

3.1 四點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型的建立

與三點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型類似，將傳感器個(gè)數(shù)增加為4個(gè)，如圖8所示，便可得到四點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型，S1，S2，S3，S4為4個(gè)傳感器所在位置。四點(diǎn)法的數(shù)學(xué)模型分析過程與三點(diǎn)法類似，這里不再重復(fù)。

圖7 二點(diǎn)布置法Y2相對誤差曲線Fig. 7 Y2 relative error curve of two-point method

圖8 四點(diǎn)法主軸旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型Fig. 8 Spindle rotation mathematical model of four-point method

3.2 傳感器位置對振動參數(shù)影響

仿真時(shí)，設(shè)主軸旋轉(zhuǎn)的標(biāo)準(zhǔn)圓方程為x2+y2=402，以傳感器夾角α=90°，β=90°，γ=90°為標(biāo)準(zhǔn)情況來進(jìn)行布置， 此 時(shí) 掃 描 直 線 斜 率 k1=0，k2=1.6331e+016，k3=0，k4=1.6331e+016。在 MATLAB 中仿真編程，可得到S1，S2，S3，S4在相對掃描點(diǎn)處的測量數(shù)據(jù)(X1,Y1)、(X2,Y2)、(X3,Y3)、(X4,Y4)。

當(dāng)只α變化，β、γ不變時(shí)，以α=90°，β=90°，γ=90°為標(biāo)準(zhǔn)情況用“0”表示；α角度偏離度設(shè)置與三點(diǎn)法相同。由于的α變化只影響(X2,Y2)、(X3,Y3)和(X4,Y4)的測量值，且在標(biāo)況下，X2、Y3和X4的真值為0，此時(shí)相對誤差無意義，故只研究Y2、X3和Y4在變化時(shí)的相對誤差值，經(jīng)過MATLAB仿真得到特征參數(shù)與角度的關(guān)系曲線如圖9。

由圖9可知，當(dāng)α變化時(shí)Y2、X3和Y4三者的變化幅度都較大，Y2在偏離度為“1”時(shí)取得極小值，在-3～8的偏離范圍內(nèi)效果較好；X3在“-9”處取得極小值，在-10～3的偏離范圍內(nèi)效果較好；Y4在“6”處取得極小值，在0到7的偏離范圍內(nèi)影響較小。總體而言，在0～3的偏離范圍內(nèi)取得較好的效果。

當(dāng)只β變化，α、γ不變時(shí)，只影響(X3,Y3)和(X4,Y4)的測量值，且在標(biāo)況下，Y3和X4的真值為0，此時(shí)相對誤差無意義，故只研究X3和X4在β變化時(shí)的相對誤差值，經(jīng)過MATLAB仿真，得到特征參數(shù)與角度的關(guān)系曲線如圖10所示。

分析圖10可知，隨變化，和的變化幅度在0.26%到0.32%的范圍內(nèi)都較大。比較之下，在-2到7的偏離范圍內(nèi)最大相對誤差較?。辉?2到5的偏離范圍內(nèi)受影響較小?？傮w而言，在-2到5的偏離范圍內(nèi)效果較好。

圖9 四點(diǎn)法僅α變化時(shí)最大相對誤差曲線Fig. 9 Maximum relative error curve of four-point method only change α

圖10 四點(diǎn)法僅β變化時(shí)最大相對誤差曲線Fig. 10 Maximum relative error curve of four-point method only βchange

當(dāng)只γ變化，α、β不變時(shí)，只影響到(X4,Y4)的測量值，又在標(biāo)況下，X4的真值為0，此時(shí)相對誤差無意義，故只研究Y4在γ變化時(shí)的相對誤差值，經(jīng)過MATLAB仿真，得到特征參數(shù)與角度的關(guān)系曲線如圖11所示。

圖11 四點(diǎn)法僅γ變化時(shí)最大相對誤差曲線Fig. 10 Maximum relative error curve of four-point method only change γ

由圖11可知，最大相對誤差值隨的變化在0.28%～0.32%的范圍內(nèi)幅值變化大。在標(biāo)況下取得最小值，且在-1～3的偏離范圍內(nèi)整體效果較好。

3.3 仿真結(jié)果分析

將變化時(shí)3種傳感器布置的最大相對誤差曲線圖4、圖7和圖9進(jìn)行比較，三點(diǎn)法中整體最大相對誤差在0.3%～1.4%的區(qū)域內(nèi)變化，且最大值和最小值相差1%；二點(diǎn)法中最大相對誤差變化在0.275%～0.325%的區(qū)域內(nèi)，最值之間相差0.05%；四點(diǎn)法中整體最大相對誤差在0.254%～0.324%的區(qū)域內(nèi)變化，最大變化范圍是0.07%。從曲線變化幅度上看，二點(diǎn)法和四點(diǎn)法的穩(wěn)定性要優(yōu)于三點(diǎn)法，且在-7～2的偏離范圍內(nèi)曲線整體效果較好。

同理，將β變化時(shí)不同布置方法的最大相對誤差曲線圖5、圖10進(jìn)行比較，三點(diǎn)法中最大相對誤差變化在0.4%～1.4%的區(qū)域內(nèi)，變化幅度為1%；四點(diǎn)法中整體最大相對誤差在0.26%～0.318%的區(qū)域內(nèi)變化，變化范圍是0.047%。對比可知四點(diǎn)法在曲線變化幅度和最值方面都要優(yōu)于三點(diǎn)法，且在-2～5的偏離范圍內(nèi)曲線整體效果較好。將變化時(shí)的最大誤差曲線圖11進(jìn)行分析，此時(shí)四點(diǎn)布置法在標(biāo)況下取得最小值，且在-1～3的偏離范圍內(nèi)整體效果較好。

4 結(jié)束語

文中以掃描點(diǎn)處的相對誤差值作為振動特征參數(shù)，從數(shù)學(xué)建模和仿真角度研究了傳感器布置對特征參數(shù)的影響。通過以上分析可知[6]，四點(diǎn)布置法的整體效果要優(yōu)于二點(diǎn)法和三點(diǎn)法，且傳感器角度在-1～2的偏離范圍內(nèi)，即α、β和γ布置在88°～94°的范圍內(nèi)整體效果較好。

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