肖 科，雷虎民，邵 雷，段朝陽，王 君

(1．空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051;2．中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471009)

0 引言

軌跡線性化控制(TLC)是一種解決非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)控制問題的新方法，在導(dǎo)彈、移動(dòng)機(jī)器人和非最小相位系統(tǒng)等工程設(shè)計(jì)中得到廣泛運(yùn)用，且取得了良好的控制效果［1－2］。同時(shí)，許多學(xué)者利用模糊系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近特性，將軌跡線性化與模糊系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，以提高控制系統(tǒng)的魯棒性［3－4］。但是，上述逼近過程不可避免地存在逼近誤差，不能達(dá)到理想的控制效果。為消除逼近誤差的影響，一般引入一個(gè)魯棒補(bǔ)償項(xiàng)。該補(bǔ)償項(xiàng)的確定需要一個(gè)確切的最小逼近誤差界，而該值無法直接測(cè)量得到，只能進(jìn)行估計(jì)［5］。文獻(xiàn)［6］采用直接假定最小逼近誤差界的方法，這樣可能會(huì)導(dǎo)致2種情況:一是估計(jì)值太大，使得控制律設(shè)計(jì)過于保守;二是估計(jì)值太小，導(dǎo)致控制系統(tǒng)失穩(wěn)。文獻(xiàn)［7］采用在線自適應(yīng)調(diào)節(jié)的方法來估計(jì)最小逼近誤差的界，合理、較好地解決了這個(gè)問題，且適用性更廣。

本文研究了導(dǎo)彈系統(tǒng)的非線性、強(qiáng)耦合性和不確定干擾問題，設(shè)計(jì)了一種新的魯棒自適應(yīng)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀。使用軌跡線性化方法解決快回路非線性和強(qiáng)耦合性，將系統(tǒng)不確定和外界干擾引入慢回路，繼而用自適應(yīng)模糊系統(tǒng)逼近慢回路動(dòng)態(tài)模型，在最小逼近誤差界未知的情況下，借鑒文獻(xiàn)［7］的估計(jì)方法，設(shè)計(jì)自適應(yīng)魯棒補(bǔ)償項(xiàng)。該自動(dòng)駕駛儀能夠消除系統(tǒng)不確定性和外界干擾對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

1 導(dǎo)彈的非線性動(dòng)態(tài)模型

考慮如下導(dǎo)彈的非線性動(dòng)態(tài)模型:

由式(1)可知，導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)模型具有很強(qiáng)的非線性和耦合性。根據(jù)時(shí)標(biāo)分離原則，可以將導(dǎo)彈的非線性動(dòng)力學(xué)模型分為快、慢回路。其中快變量為x1=［ωzωyωx］T，慢變量為 x2=［α β γ］T，快回路控制輸入量為 u1=［δzδyδx］T，慢回路控制輸入量為 u2=［ωzωyωx］T，與快變量 x1一致。f1(x1，x2)是關(guān)于狀態(tài)量 x1和x2的光滑函數(shù)向量，f2(x2)是關(guān)于狀態(tài)量x2的光滑函數(shù)向量，g1(x1)與g2(x2)分別為關(guān)于狀態(tài)量x1和x2的矩陣函數(shù)。則導(dǎo)彈的快、慢回路的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

考慮建模時(shí)的誤差和外界擾動(dòng)，將式(2)改寫為

式中 Δf1(x1，x2)、Δg1(x1)和 Δf2(x2)、Δg2(x2)分別代表快回路和慢回路中因參數(shù)攝動(dòng)所導(dǎo)致的不確定性;ζ1、ζ2分別為快回路和慢回路中的外部擾動(dòng);Δx1代表快回路中的總的不確定作用量Ω1對(duì)造成的影響，并在慢回路中體現(xiàn)。

2 快回路軌跡線性化控制器設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)［7］采用動(dòng)態(tài)逆方法對(duì)快回路進(jìn)行控制，迫使快變量的變化率快速跟蹤控制指令的變化，而忽略快回路中的參數(shù)的攝動(dòng)和外界的擾動(dòng)對(duì)快變量的影響，將參數(shù)攝動(dòng)與外擾歸入慢回路進(jìn)行處理，削弱了系統(tǒng)的魯棒性。因此，本文采用軌跡線化方法對(duì)快回路進(jìn)行控制，既能快速跟蹤控制指令，又能減弱快回路對(duì)慢回路的擾動(dòng)。

快回路動(dòng)態(tài)模型:

其中，x2(k)為快速跟蹤微分器的微分輸出;r為跟蹤因子，且r越大，其跟蹤速度越快。其余相關(guān)參數(shù)含義詳見文獻(xiàn)［9］，在此不再贅述。

其中，

利用微分代數(shù)譜理論設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律［2］:

閉環(huán)跟蹤誤差方程:

由此得快回路標(biāo)準(zhǔn)TLC控制律:

由文獻(xiàn)［10］中定理4．13可知，線性時(shí)變反饋控制律(10)可保證非線性系統(tǒng)(8)在平衡點(diǎn)e(t)=0處指數(shù)穩(wěn)定。根據(jù)擾動(dòng)系統(tǒng)理論［10］，當(dāng)模型誤差‖d‖較小時(shí)，TLC控制律可保證快回路跟蹤誤差有界。

3 慢回路自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計(jì)

上節(jié)基于軌跡線性化方法設(shè)計(jì)了快回路控制器，在一定程度上削弱了快回路中不確定性帶來的影響，并減小了附加到慢回路中的不確定性輸入Δx1。同時(shí)，針對(duì)慢回路存在的參數(shù)攝動(dòng)和外界擾動(dòng)，以及從快回路引入的不確定性輸入Δx1與前二者之間的耦合影響，必須設(shè)計(jì)有效可靠的慢回路控制器。

慢回路動(dòng)態(tài)方程:

其中，

式中 Ω2為慢回路中的總的不確定性。

假設(shè)1 期望軌跡ydi，(i=1，2，3)有界，一階導(dǎo)數(shù)存在且為光滑函數(shù)。定義跟蹤誤差:

得

采用動(dòng)態(tài)逆控制律，則:

其中，Ks=diag(k1，k2，k3)(ki＞0，i=1，2，3)。

若所有擾動(dòng)不存在，即Ω2=0，將式(16)代入慢回路動(dòng)態(tài)方程(13)得

因此，當(dāng)無外界擾動(dòng)且f2(x2)和g2(x2)已知時(shí)，控制律(16)可使系統(tǒng)穩(wěn)定。但在實(shí)際系統(tǒng)中，f2(x2)和g2(x2)是時(shí)變、非完全可知的，同時(shí)擾動(dòng)Ω2也不為零，因此采用模糊系統(tǒng)逼近非線性函數(shù) f2(x2)和g2(x2)，并引入魯棒控制項(xiàng)來抵消逼近誤差和外部擾動(dòng)的影響。

3．1 自適應(yīng)模糊模型逼近

模糊邏輯系統(tǒng)由一系列“如果—?jiǎng)t—”的模糊規(guī)則組成，其中第i條規(guī)則為

由于模糊產(chǎn)生器、模糊推理機(jī)和模糊消除器各自都有不同的選取方法，因此把它們組合起來就可構(gòu)成多種模糊邏輯系統(tǒng)，本文選擇由乘積推理規(guī)則、中心平均模糊消除器、高斯型隸屬函數(shù)構(gòu)成的模糊邏輯系統(tǒng)。引入模糊基函數(shù) ξ(x)=［ξ1(x)，…，ξm(x)］T:

故y(x)=ξ(x)Tθ。則設(shè)計(jì)用于逼近未知非線性函數(shù)f2i(x2)和g2ij(x2)的模糊系統(tǒng)為

式中 ξfi和 ξgij是模糊基函數(shù)向量;θfi和 θgij是自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)向量。

設(shè)θfi和θgij的最優(yōu)逼近參數(shù)為和，最小模糊逼近誤差為εfi和εgij，其定義如下:

假設(shè)緊集Dx足夠大，保證對(duì)所有的x∈Dx，最小逼近誤差有界，即為已知常量。

令:

式中 ε0為任意小的正實(shí)數(shù);I為單位陣。

由于在實(shí)際系統(tǒng)中，往往無法確定模型最小逼近誤差的界，為此在不依賴建模誤差上界，的情況下，本文采取在線估計(jì)的自適應(yīng)模糊控制方法［7］。

3．2 慢回路控制器設(shè)計(jì)

對(duì)慢回路設(shè)計(jì)的控制律:

式中 ur為自適應(yīng)魯棒補(bǔ)償項(xiàng);u2c用式(16)表示。

自適應(yīng)律:

式中 χ，ηfi，ηgij，γ0，λ0均大于零;分別為的估計(jì)值。

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，可推導(dǎo)出慢回路在本文設(shè)計(jì)的帶魯棒補(bǔ)償項(xiàng)的自適應(yīng)模糊控制律的控制下，閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)有界，并且在有限時(shí)間內(nèi)，軌跡跟蹤誤差及其誤差一階導(dǎo)數(shù)均趨于零。

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀，分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)模糊動(dòng)態(tài)逆控制器(AFDI)和自適應(yīng)模糊TCL控制器(AFTCL)，并在Matlab環(huán)境下進(jìn)行仿真比較。初始條件 γ =5°，α =0°，β=0°，姿態(tài)角速率 x1=［0 0 0］T;舵偏u1=［0 0 0］T。三通道的控制指令分別取為:γc=0°，αc=20sin(0．5t+0．5)，βc=15sin(t)。在仿真中，氣動(dòng)參數(shù)的隨機(jī)攝動(dòng)范圍為30%，并分別在在快、慢回路中加入均值為0、方差為0．04的隨機(jī)噪聲。

2種控制器的模糊基函數(shù)向量ξfi和ξgij的高斯型隸屬度函數(shù)均取為

仿真得上述2種控制方式下三通道的響應(yīng)對(duì)比曲線如圖1～圖3所示。

圖1給出了三通道的控制指令的響應(yīng)曲線。從圖1可以看出，這2種控制器都有較快的響應(yīng)速度，但AFDI在快變量較小時(shí)表現(xiàn)出來的抗干擾能力明顯不如AFTCL，故本文采用的方法具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖2給出了三通道的快變量的變化曲線。由圖2可知，較之AFDI，AFTCL作用下的快變量的值稍大一些，但走勢(shì)較為平滑，表明該控制器穩(wěn)健的跟蹤性能。

圖3給出的三通道的舵偏控制量的變化曲線。由圖3可知，2種控制器的舵偏控制量均滿足要求，但快變量較小時(shí)AFTCL的舵偏控制量要大于AFDI的舵偏控制量，說明AFTCL在獲得較好的跟蹤效果的同時(shí)， 也相應(yīng)需要消耗較多的能量。

圖1 三通道控制指令響應(yīng)曲線Fig．1 Curves of three-channel command response

圖2 快變量變化曲線Fig．2 Curves of fast variable

圖3 舵偏角控制量變化曲線Fig．3 Curves of rudder deflection angle

5 結(jié)論

(1)軌跡線化方法既能快速跟蹤控制指令，又能減弱外界擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。

(2)在最小逼近誤差界未知的情況下，通過在線自適應(yīng)調(diào)節(jié)的方法獲得估計(jì)值，此方法與直接假定的方法比較，具有適用性更廣，也更加合理。

(3)在最小逼近誤差界未知的情況下，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒補(bǔ)償項(xiàng)能夠有效消除逼近誤差。

(4)該自動(dòng)駕駛儀的控制指令跟蹤能力隨快變量的增大而增強(qiáng)。當(dāng)快變量變小時(shí)，指令跟蹤誤差變大，舵偏控制輸出也相應(yīng)變大，但總體上舵偏控制輸出較小，能夠滿足控制要求。

(5)仿真結(jié)果表明，與自適應(yīng)模糊動(dòng)態(tài)逆控制器相比，自適應(yīng)模糊TCL控制器具有更強(qiáng)的魯棒性，提高了自動(dòng)駕駛儀的性能。

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