崔鳳午

(白城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 白城 137000)

1 雙曲螺線曲率中心的曲率和撓率

結(jié)論1設(shè)雙曲螺線的曲率為k(t)，撓率為τ(t)，則

結(jié)論2雙曲螺線的曲率中心的方程為

證明設(shè)曲線的曲率中心軌跡方程

={3acosht,asinht,at-2asinhtcosht}．

定理1雙曲螺線的曲率中心軌跡的曲率為

由曲率公式得

定理2雙曲螺線的曲率中心軌跡的撓率為

證明由定理1證明可得

由撓率公式

結(jié)論4雙曲螺線的曲率中心軌跡的撓率大于零

證明由定理2知

將80cosh4t-176cosh2t+105看成以cosh2t為變量的二元一次函數(shù)

a=80>0，=b2-4ac=1762-4×80×105<0

所以

80cosh4t-176cosh2t+105>0

即雙曲螺線的曲率中心的撓率大于零．

2 雙曲螺線曲率中心在一點鄰近的結(jié)構(gòu)[3-5,10]

引理3曲線在一點鄰近和它的近似曲線有相同的曲率和撓率

下面我們通過雙曲螺線曲率中心軌跡的近似曲線在基本三棱形的三個平面上的投影來觀察雙曲螺線在一點鄰近的形狀．

它是半立方拋物線．

在從切平面上的投影是

它是立方拋物線．

在密切平面上的投影是

它是拋物線．

通過以上三個投影的立體圖形可以看出空間曲線在一點鄰近的近似形狀．因為雙曲螺線曲率中心的撓率[8]

所以曲線上的點有以下變化規(guī)律

-∞0sx*y*z*--+-++++

綜上得以下結(jié)論

圖1 曲線由下往上成右旋曲線

定理1、定理2給出雙曲螺線曲率中心軌跡的曲率、撓率計算公式，揭示了雙曲螺線曲率中心彎曲和扭曲規(guī)律，定理3討論了雙曲螺線曲率中心在一點鄰近的結(jié)構(gòu)．

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]崔鳳午.空間曲線曲率中心軌跡的曲率與撓率[J].武漢科技學(xué)院學(xué)報 2010(2):41～43.

[3]傅朝金.空間曲線的曲率和撓率[J].高等函授學(xué)報(自然科學(xué)版),2003(5):13～14

[4]陳省身,陳維桓.微分幾何講義[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

[5]呂林根,徐子道.解析幾何(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[6]梅向明,王匯淳.微分幾何(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[7]崔鳳午. 一般螺線曲率中心軌跡的曲率與撓率[J]. 白城師范學(xué)院學(xué)報,2009,(6):1～4.

[8]崔鳳午. 泛函微分方程在研究二次曲線性質(zhì)中的應(yīng)用[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2004，(3)：31～33.

[9]崔鳳午. 雙曲螺線曲率中心軌跡的曲率與撓率[J]. 南陽理工學(xué)院學(xué)報 2011,(3):114～116.

[10]崔鳳午.維維安妮(Viviani)曲線在一點鄰近的結(jié)構(gòu) [J]. 白城師范學(xué)院學(xué)報,2011,(3):1～5.

[11] 崔鳳午. Viviani曲線的曲率、撓率及Frenet公式[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,(3):28～29.