夏能弘，郭 杰，田孟林，周歧斌，姜恩宇

(1.上海電力學院，上海 200090;2.上海市防雷中心，上海 201615)

有關低頻磁場屏蔽問題的研究已經(jīng)有很多，［1-3］大部分研究工作的關注對象主要包括線結(jié)構(gòu)、板結(jié)構(gòu)以及圓柱形外殼結(jié)構(gòu).其中，平板結(jié)構(gòu)常用于建筑中，通過遮擋或屏蔽來構(gòu)筑電磁兼容的空間.屏蔽板的材料一般包括鐵磁性材料和非鐵磁性材料.

為了對金屬板的屏蔽效能進行評估和比較，有效的數(shù)值計算工具十分必要.目前，已有多種成熟的數(shù)值計算方法可用于處理復雜幾何結(jié)構(gòu)的電磁問題.其中，部分元等效電路法(Partical Equivalent Electrical Circuit，PEEC)由于其對電氣互聯(lián)結(jié)構(gòu)的全波計算能力，受到了廣泛關注.［4-6］該數(shù)值方法可將電磁場問題轉(zhuǎn)換到電路領域進行分析，使電磁場的場作用機理更容易理解.

對于3D電磁場數(shù)值分析，PEEC方法的一個重要制約因素是對象經(jīng)離散后會產(chǎn)生大量體積元或面元，且在多對象共存的情況下尤為顯著.因此，對PEEC模型進行優(yōu)化、降低計算成本、減少求解時間是非常有意義的工作.其中，減少待求解未知數(shù)的數(shù)量是一種十分有效的途徑.

本文提出了一種基于PEEC的電磁場對稱建模方法，該方法只需對原始對象的一部分進行計算.本文中假定對象金屬板由線性磁性材料制成.首先，根據(jù)經(jīng)典PEEC理論，對整塊鐵磁板結(jié)構(gòu)建立PEEC模型.然后，對分布于金屬板上的電磁物理量進行分析，考察各對稱部分的電磁分量的分布規(guī)律，分析它們的對稱和反對稱關系.根據(jù)這些規(guī)律，對已建立的PEEC模型進行改進，即可得到對稱模型.隨著未知量的大幅減少，求解矩陣的尺寸也隨之大幅壓縮，對計算資源的需求顯著降低.這種改進的3D電磁建模技術(shù)可用于求解更復雜的3D結(jié)構(gòu).

1 等效電路法

本文主要研究鐵磁金屬板對由外部載流線激發(fā)的低頻磁場的屏蔽作用.金屬板和電源線之間的互耦作用通過一組相互耦合的電路元件模擬.金屬板中的渦電流可通過PEEC法來求解.板周圍空間的磁場則可由外部電流源及板中次生的渦流疊加產(chǎn)生.模型結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 模型結(jié)構(gòu)的剖面示意

外部電流源是一個由細絲導體構(gòu)成的方形回路，交流電流在其上循環(huán)流動.薄金屬板放置于電流源上方，起磁場屏蔽作用.金屬板由線性磁性材料制成，其相對電導率為σ，相對磁導率為μr.由于該板的厚度比平面尺寸小得多，故可以認為該板的渦流在厚度方向的分量可忽略不計，即該板中的渦流方向為切線方向.

1.1 電場積分方程

PEEC方法源于電場積分方程，該方程表明了在空間r點處，矢量磁位A(r)與標量電勢φ(r)的關系，即為:

式中:J(r)——渦流電流密度.

由于該屏蔽板為磁性材料，板本身磁化所產(chǎn)生的矢量磁位也需要加以考慮.因此，總的矢量磁位為 A(r)=Ac(r)+Am(r)+As(r).式中，Ac(r)由渦流電流產(chǎn)生，Am(r)由磁極化產(chǎn)生，As(r)則來自于外部電流源.

式中:r，r＇——考查點和作用源的位置矢量.

重寫式(1)，可得到一個新的電場積分方程為:

式中:ΔUl——沿著l線段的電勢差.

1.2 幾何離散

為了進行數(shù)值計算，首先必須進行幾何離散，即將鐵磁板剖分成眾多微體積元，稱為勢單元.圖2給出了勢單元的平面排列圖.

圖2 勢單元的平面排列示意

在一個平面上有NX×NY個勢單元(NX和NY分別表示x軸和y軸方向上的勢單元數(shù)).由于渦流電流在相鄰的勢單元之間流動，因此這里規(guī)定電流單元形成于相鄰兩個勢單元的中心點之間.對渦電流進行正交分解，這些電流單元可分為兩類:X電流元和Y電流元，如圖3所示.它們的數(shù)量分別為Nx=(NX-1)NY和Ny=NX(NY-1).

圖3 離散后鐵磁板上的部分單元

假定每個單元中的渦流電流密度和磁化強度是恒定不變的，則支路電壓方程可重新定義為:

式中:Nc，Nm，Ns——電流單元、勢單元、電流源的數(shù)量.

此外，作為式(4)的補充條件，在任意節(jié)點均可建立電流平衡方程，即KCL方程，如圖4所示.圖4中節(jié)點的KCL方程為:

圖4 節(jié)點處的KCL

另外，由矢量磁位A(r)與磁通密度B的關系B(r)=▽(Ac(r)+As(r)+Am(r))，可得到磁化強度M的方程為:

渦流電流密度J和磁化強度M均可作正交分解，得到 Jx，Jy和 Mx，Mx，Mz.因此，式(4)和式(6)就可以分別分解成2個和3個方程.

1.3 PEEC 3D模型的建立

結(jié)合式(4)、式(5)和式(6)，可得到完全求解矩陣如下:

式中，Cu將節(jié)點電勢轉(zhuǎn)換為支路電壓，Ci反應了在節(jié)點處各支路電流之間的關系.矩陣中其他參量的計算詳列如下:

去掉一個電勢參考點，各未知參量V，J，M的數(shù)量分別為NV=NXNY-1，NJ=NXNY-NX-NY，Nm=3NXNY.因此，總的未知量的數(shù)量為 Ntot=6NXNY-NX-NY-1.

借助數(shù)學工具可以很容易地求解式(7).然而當研究對象比較復雜且未知量數(shù)量相當龐大時，建立和求解該矩陣方程會非常困難.

1.4 屏蔽后磁場的計算

求得渦流電流密度和感應磁場后，即可估算鐵磁板的屏蔽效能.鐵磁板周圍空間的磁場B的計算方法如下:

1.5 對稱結(jié)構(gòu)的建模

在對稱結(jié)構(gòu)中，各對稱部分的渦電流分量和磁化強度分量的分布具有對稱性或反對稱性，即:不同部分的電磁分量可能幅值相同，方向相反.另外，由于整個結(jié)構(gòu)被等效為互連的電路網(wǎng)絡，式(7)中的某些子矩陣可以被折疊和重新組合，這將大大減少未知量的數(shù)量.

圖5為鐵磁板上渦流和磁場分布的示意圖.其中，渦電流循環(huán)流動形成閉合回路，磁場則有規(guī)律地穿透鐵磁板.

圖5 鐵磁板的渦流和電磁分布

鐵磁板上各對稱部分電磁分量之間的關系如圖6所示.

圖6 鐵磁板上各對稱部分電磁分量之間的關系

由圖6可知，鐵磁板被分成4個部分.各分量的具體關系如下:

只考慮分塊①中的電流密度Jx，則有:

將式(9)代入式(10)，可得:

式中:

同樣，式(7)中的其他參數(shù)被壓縮如下:

未知量V1，J1，M1的數(shù)量分別為因此，總的未知量數(shù)量為 Ntot=1．5NXNY．

2 數(shù)值驗證

數(shù)值驗證的結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中，薄鐵磁板為線性鐵磁材料制成，其電導率σ=0.75×107S/m，相對磁導率μr=200.激勵電流源為交流1 A，50 Hz的細絲狀方形載流環(huán)路，其尺寸為:w=200 mm，d=2 mm，h=50 mm.采用非均勻網(wǎng)格剖分(Nx=54，Ny=54).表1列出了原始求解矩陣式(7)和改進后的求解矩陣式(12)的計算信息.

表1 未知數(shù)個數(shù)及矩陣大小

在Matlab環(huán)境中開發(fā)相應的計算程序.以基于邊界元法的商用軟件IES-FARADAY作為參考，對結(jié)果進行比較，結(jié)果如圖7所示.大部分區(qū)域的計算結(jié)果與參考值較為符合，靠近邊緣的部分出現(xiàn)微小誤差，其中Jy和Mx的最大誤差分別為4.13%和3.37%.沿板上方對角線的磁感應強度B的2個分量如圖8所示，最大誤差僅為2.4%.

圖7 鐵磁板底部中線(y=0，z=49mm)處計算結(jié)果

圖8 對角線上磁感應強度B的計算結(jié)果(z=100mm)

3 結(jié)語

本文建立了用于評估鐵磁板低頻磁場屏蔽效能的三維PEEC模型.由于涉及磁性材料，將經(jīng)典電場積分方程與磁場方程進行整合，得到針對磁性結(jié)構(gòu)的完整方程組，可求解渦電流和磁化強度.針對對稱結(jié)構(gòu)，對原始模型進行改進，所得模型的未知量數(shù)量大幅減少.對該計算方法進行數(shù)值驗證，結(jié)果表明該方法在評估低頻磁場屏蔽方面具有較高的精度，效率較邊界元法提高了4倍.這種方法還可進一步擴展以求解更復雜的結(jié)構(gòu).

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