汪飛星等

摘要： 將量子概率引入到期權(quán)定價(jià)是最近幾年一個(gè)新的研究趨勢，也稱為量子金融.為了期權(quán)定價(jià)更方便，文章建立了量子三叉樹模型，同時(shí)利用量子概率建立了連續(xù)量子Black-Scholes（B-S）模型。實(shí)例應(yīng)用和Matlab期權(quán)敏感性分析都驗(yàn)證了量子B-S優(yōu)于經(jīng)典B-S，從而為連續(xù)期權(quán)定價(jià)提供量子決策的途徑。

關(guān)鍵詞： 量子概率； 量子三叉樹；量子B-S模型；量子期權(quán)敏感性

中圖分類號(hào)：F830； O413 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2014）01-0014-03

0 引言

量子金融是量子概率應(yīng)用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權(quán)定價(jià)[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內(nèi)外學(xué)者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)量子模型。E.Sega[3]用量子效應(yīng)解釋在金融市場期權(quán)價(jià)格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權(quán)利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價(jià)格的關(guān)系。本文建立了量子三叉樹模型。根據(jù)期權(quán)折現(xiàn)流在量子概率下是一個(gè)鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時(shí)根據(jù)Tailor公式，用量子力學(xué)過程代替經(jīng)典隨機(jī)過程描述股票價(jià)格，在股票價(jià)格St遵循量子Brown運(yùn)動(dòng)的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實(shí)例應(yīng)用和Matlab仿真都證實(shí)了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權(quán)計(jì)算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。

1 量子三叉樹模型

2 連續(xù)量子Black-Scholes模型

定理2. 量子期權(quán)平價(jià)公式

在任意一個(gè)時(shí)刻t

證明：在t=0時(shí)刻，由文獻(xiàn)[9]可以構(gòu)造兩個(gè)量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。

設(shè)Vt（φ）是投資組合φ在時(shí)刻t的財(cái)富值，考慮上面兩個(gè)量子投資組合，在t=T時(shí)刻的值

VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}

VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}

故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。

有了量子期權(quán)平價(jià)公式，由量子B-S算出看漲期權(quán)的價(jià)格，就可以得出看跌期權(quán)的價(jià)格。

4 實(shí)例應(yīng)用

5 量子歐式期權(quán)敏感性[10]應(yīng)用

以下是用MATLA對(duì)歐式期權(quán)敏感性做的仿真：

圖1和圖2表示期權(quán)標(biāo)的物的價(jià)格波動(dòng)性變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度，數(shù)學(xué)表達(dá)式■，f為Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式中期權(quán)價(jià)格函數(shù)C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經(jīng)典圖更能體現(xiàn)細(xì)微的波動(dòng)值的變動(dòng)。

6 結(jié)論

本文以量子概率的角度，利用量子力學(xué)理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復(fù)雜期權(quán)定價(jià)問題。實(shí)例應(yīng)用和敏感性分析都證實(shí)了量子B-S模型的有效性，量子期權(quán)圖對(duì)金融市場標(biāo)的物的價(jià)格細(xì)微波動(dòng)變化反應(yīng)更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。

參考文獻(xiàn)：

[1]J.C. Hull. Options， Futures and Other Derivatives[M]. Prentice Hall， Inc， 2009.

[2]Zeqian Chen. Quantum theory for the binomial model in finance theory [J].Journal of systems science and complexity， 2004， 17：567-573.

[3]Segal W， Segal I E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum context[J].Economic Sciences， 1998， 95（3）：4072-4075.

[4]E.Haven. Pilot-wave theory and financial option pricing[J].International Journal of theoretical Physica，2005，44（11）：1957-1962.

[5]Belal.E.Baaquie. The minimal length uncertainty and the quantum model for the stock market [J].Physica A， 2012， 391：2100-2105.

[6]Liviu-Adrian Cotfas. A finite dimensional quantum model for the stock market[J].Physica A， 2013，392：371-380.

[7]P.A.M.Dirac. The Principles of Quantum Mechanics.[M]. Science Press，2011.

[8]姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2010：10-13.

[9]陳澤乾，汪壽陽.量子金融的幾個(gè)問題[J].自然科學(xué)進(jìn)展 2004，14：742-748.

[10]劉春艷，呂喜明.基于MATLAB視圖的歐式看漲期權(quán)敏感性動(dòng)態(tài)分析[J].經(jīng)濟(jì)論壇，2013，512：71-76.

摘要： 將量子概率引入到期權(quán)定價(jià)是最近幾年一個(gè)新的研究趨勢，也稱為量子金融.為了期權(quán)定價(jià)更方便，文章建立了量子三叉樹模型，同時(shí)利用量子概率建立了連續(xù)量子Black-Scholes（B-S）模型。實(shí)例應(yīng)用和Matlab期權(quán)敏感性分析都驗(yàn)證了量子B-S優(yōu)于經(jīng)典B-S，從而為連續(xù)期權(quán)定價(jià)提供量子決策的途徑。

關(guān)鍵詞： 量子概率； 量子三叉樹；量子B-S模型；量子期權(quán)敏感性

中圖分類號(hào)：F830； O413 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2014）01-0014-03

0 引言

量子金融是量子概率應(yīng)用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權(quán)定價(jià)[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內(nèi)外學(xué)者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)量子模型。E.Sega[3]用量子效應(yīng)解釋在金融市場期權(quán)價(jià)格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權(quán)利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價(jià)格的關(guān)系。本文建立了量子三叉樹模型。根據(jù)期權(quán)折現(xiàn)流在量子概率下是一個(gè)鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時(shí)根據(jù)Tailor公式，用量子力學(xué)過程代替經(jīng)典隨機(jī)過程描述股票價(jià)格，在股票價(jià)格St遵循量子Brown運(yùn)動(dòng)的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實(shí)例應(yīng)用和Matlab仿真都證實(shí)了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權(quán)計(jì)算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。

1 量子三叉樹模型

2 連續(xù)量子Black-Scholes模型

定理2. 量子期權(quán)平價(jià)公式

在任意一個(gè)時(shí)刻t

證明：在t=0時(shí)刻，由文獻(xiàn)[9]可以構(gòu)造兩個(gè)量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。

設(shè)Vt（φ）是投資組合φ在時(shí)刻t的財(cái)富值，考慮上面兩個(gè)量子投資組合，在t=T時(shí)刻的值

VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}

VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}

故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。

有了量子期權(quán)平價(jià)公式，由量子B-S算出看漲期權(quán)的價(jià)格，就可以得出看跌期權(quán)的價(jià)格。

4 實(shí)例應(yīng)用

5 量子歐式期權(quán)敏感性[10]應(yīng)用

以下是用MATLA對(duì)歐式期權(quán)敏感性做的仿真：

圖1和圖2表示期權(quán)標(biāo)的物的價(jià)格波動(dòng)性變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度，數(shù)學(xué)表達(dá)式■，f為Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式中期權(quán)價(jià)格函數(shù)C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經(jīng)典圖更能體現(xiàn)細(xì)微的波動(dòng)值的變動(dòng)。

6 結(jié)論

本文以量子概率的角度，利用量子力學(xué)理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復(fù)雜期權(quán)定價(jià)問題。實(shí)例應(yīng)用和敏感性分析都證實(shí)了量子B-S模型的有效性，量子期權(quán)圖對(duì)金融市場標(biāo)的物的價(jià)格細(xì)微波動(dòng)變化反應(yīng)更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。

參考文獻(xiàn)：

[1]J.C. Hull. Options， Futures and Other Derivatives[M]. Prentice Hall， Inc， 2009.

[2]Zeqian Chen. Quantum theory for the binomial model in finance theory [J].Journal of systems science and complexity， 2004， 17：567-573.

[3]Segal W， Segal I E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum context[J].Economic Sciences， 1998， 95（3）：4072-4075.

[4]E.Haven. Pilot-wave theory and financial option pricing[J].International Journal of theoretical Physica，2005，44（11）：1957-1962.

[5]Belal.E.Baaquie. The minimal length uncertainty and the quantum model for the stock market [J].Physica A， 2012， 391：2100-2105.

[6]Liviu-Adrian Cotfas. A finite dimensional quantum model for the stock market[J].Physica A， 2013，392：371-380.

[7]P.A.M.Dirac. The Principles of Quantum Mechanics.[M]. Science Press，2011.

[8]姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2010：10-13.

[9]陳澤乾，汪壽陽.量子金融的幾個(gè)問題[J].自然科學(xué)進(jìn)展 2004，14：742-748.

[10]劉春艷，呂喜明.基于MATLAB視圖的歐式看漲期權(quán)敏感性動(dòng)態(tài)分析[J].經(jīng)濟(jì)論壇，2013，512：71-76.

摘要： 將量子概率引入到期權(quán)定價(jià)是最近幾年一個(gè)新的研究趨勢，也稱為量子金融.為了期權(quán)定價(jià)更方便，文章建立了量子三叉樹模型，同時(shí)利用量子概率建立了連續(xù)量子Black-Scholes（B-S）模型。實(shí)例應(yīng)用和Matlab期權(quán)敏感性分析都驗(yàn)證了量子B-S優(yōu)于經(jīng)典B-S，從而為連續(xù)期權(quán)定價(jià)提供量子決策的途徑。

關(guān)鍵詞： 量子概率； 量子三叉樹；量子B-S模型；量子期權(quán)敏感性

中圖分類號(hào)：F830； O413 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2014）01-0014-03

0 引言

量子金融是量子概率應(yīng)用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權(quán)定價(jià)[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內(nèi)外學(xué)者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)量子模型。E.Sega[3]用量子效應(yīng)解釋在金融市場期權(quán)價(jià)格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權(quán)利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價(jià)格的關(guān)系。本文建立了量子三叉樹模型。根據(jù)期權(quán)折現(xiàn)流在量子概率下是一個(gè)鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時(shí)根據(jù)Tailor公式，用量子力學(xué)過程代替經(jīng)典隨機(jī)過程描述股票價(jià)格，在股票價(jià)格St遵循量子Brown運(yùn)動(dòng)的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實(shí)例應(yīng)用和Matlab仿真都證實(shí)了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權(quán)計(jì)算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。

1 量子三叉樹模型

2 連續(xù)量子Black-Scholes模型

定理2. 量子期權(quán)平價(jià)公式

在任意一個(gè)時(shí)刻t

證明：在t=0時(shí)刻，由文獻(xiàn)[9]可以構(gòu)造兩個(gè)量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。

設(shè)Vt（φ）是投資組合φ在時(shí)刻t的財(cái)富值，考慮上面兩個(gè)量子投資組合，在t=T時(shí)刻的值

VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}

VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}

故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。

有了量子期權(quán)平價(jià)公式，由量子B-S算出看漲期權(quán)的價(jià)格，就可以得出看跌期權(quán)的價(jià)格。

4 實(shí)例應(yīng)用

5 量子歐式期權(quán)敏感性[10]應(yīng)用

以下是用MATLA對(duì)歐式期權(quán)敏感性做的仿真：

圖1和圖2表示期權(quán)標(biāo)的物的價(jià)格波動(dòng)性變動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度，數(shù)學(xué)表達(dá)式■，f為Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式中期權(quán)價(jià)格函數(shù)C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經(jīng)典圖更能體現(xiàn)細(xì)微的波動(dòng)值的變動(dòng)。

6 結(jié)論

本文以量子概率的角度，利用量子力學(xué)理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復(fù)雜期權(quán)定價(jià)問題。實(shí)例應(yīng)用和敏感性分析都證實(shí)了量子B-S模型的有效性，量子期權(quán)圖對(duì)金融市場標(biāo)的物的價(jià)格細(xì)微波動(dòng)變化反應(yīng)更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。

參考文獻(xiàn)：

[1]J.C. Hull. Options， Futures and Other Derivatives[M]. Prentice Hall， Inc， 2009.

[2]Zeqian Chen. Quantum theory for the binomial model in finance theory [J].Journal of systems science and complexity， 2004， 17：567-573.

[3]Segal W， Segal I E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum context[J].Economic Sciences， 1998， 95（3）：4072-4075.

[4]E.Haven. Pilot-wave theory and financial option pricing[J].International Journal of theoretical Physica，2005，44（11）：1957-1962.

[5]Belal.E.Baaquie. The minimal length uncertainty and the quantum model for the stock market [J].Physica A， 2012， 391：2100-2105.

[6]Liviu-Adrian Cotfas. A finite dimensional quantum model for the stock market[J].Physica A， 2013，392：371-380.

[7]P.A.M.Dirac. The Principles of Quantum Mechanics.[M]. Science Press，2011.

[8]姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2010：10-13.

[9]陳澤乾，汪壽陽.量子金融的幾個(gè)問題[J].自然科學(xué)進(jìn)展 2004，14：742-748.

[10]劉春艷，呂喜明.基于MATLAB視圖的歐式看漲期權(quán)敏感性動(dòng)態(tài)分析[J].經(jīng)濟(jì)論壇，2013，512：71-76.