賈鶴鳴，柳澤銘，張金陽

(東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150040)

0 引言

近年來，無人駕駛飛行器(UAV:Unmanned Aerial Vehicles)的研究與應(yīng)用受到了廣泛關(guān)注。四旋翼UAV由于能垂直起降和懸停而被廣泛應(yīng)用于無人機(jī)偵察、森林防火和城市巡邏等領(lǐng)域。針對(duì)其多變量、非線性、欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合和對(duì)干擾敏感的特點(diǎn)，在工程應(yīng)用中一般的解決方法是對(duì)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化處理，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律使系統(tǒng)的極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。然而線性控制由于未充分考慮系統(tǒng)模型的不確定性和外界干擾問題，會(huì)大大影響旋翼飛行器的控制精度。而在旋翼飛行器的一些實(shí)際工程應(yīng)用如林火定點(diǎn)懸停監(jiān)測時(shí)，低精度的控制效果會(huì)大大影響火場圖像采集效果和視頻傳輸清晰度，無法完成監(jiān)測任務(wù)。筆者從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，研究了飛行器在模型的不確定性和外界干擾下的軌跡跟蹤控制問題［1，2］。

目前，許多學(xué)者針對(duì)四旋翼無人飛行器控制問題提出了許多方法:文獻(xiàn)［3］對(duì)VTOL UAV的位置和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分解，并利用分級(jí)控制的思路，分別設(shè)計(jì)了子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，進(jìn)而利用擾動(dòng)理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)［4］研究了VTOL UAV的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制方法，首先設(shè)計(jì)能使系統(tǒng)位置模型實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤的有界線加速度，進(jìn)而由線加速度經(jīng)計(jì)算得到飛行器的期望姿態(tài)，最后，通過一個(gè)姿態(tài)跟蹤控制器實(shí)現(xiàn)飛行器的軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)［5］使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID(Proportion Integration Differentiation)控制器對(duì)四旋翼無人飛行器進(jìn)行控制。文獻(xiàn)［6］針對(duì)一類飛行模態(tài)可變的旋翼飛行器進(jìn)行研究，并分別設(shè)計(jì)了基于反步法的航跡和姿態(tài)控制器，但并沒有考慮系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性分析問題。

筆者針對(duì)微型旋翼飛行器對(duì)期望軌跡的精確跟蹤問題，設(shè)計(jì)了一種具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)PID增益功能的滑模控制器，并設(shè)計(jì)了飽和函數(shù)以抑制滑?？刂破鞯母哳l抖振。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的控制器具有較高的精度，能使微型旋翼飛行器精確跟蹤期望位置，具有較好的魯棒性。

1 系統(tǒng)原理與數(shù)學(xué)模型

1.1 四旋翼無人飛行器飛行原理

四旋翼無人飛行器由固聯(lián)在剛性十字交叉結(jié)構(gòu)上的4個(gè)獨(dú)立電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)組成。該系統(tǒng)是具有4個(gè)輸入、6個(gè)輸出的二階非完整系統(tǒng)。其線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)之間存在約束關(guān)系，即飛行器的俯仰、橫滾姿態(tài)是受到飛行器位置誤差約束的。同時(shí)，四旋翼無人飛行器具有高度的耦合特性，一個(gè)旋翼轉(zhuǎn)速的改變將導(dǎo)致至少3個(gè)自由度方向上的運(yùn)動(dòng)。由于左右升力出現(xiàn)了不平衡，減小右面旋翼的速度將會(huì)導(dǎo)致飛行器翼無人飛行器的運(yùn)動(dòng)形式。當(dāng)f1=f2=f3=f4時(shí)，飛行器保存懸?；蛏仙?下降;當(dāng)f2=f4且f1≠f3時(shí)，飛行器進(jìn)行俯仰運(yùn)動(dòng);當(dāng)f1=f3且f2≠f4時(shí)，飛行器進(jìn)行橫滾運(yùn)動(dòng);當(dāng)f1=f3≠f2=f4時(shí)，飛行器進(jìn)行偏航運(yùn)動(dòng)。向右滾動(dòng);同時(shí)由于左右為一組的旋翼和前后為一組的旋翼產(chǎn)生的反扭力矩出現(xiàn)了不平衡也會(huì)導(dǎo)致飛行器向右偏航，此外，滾動(dòng)又將會(huì)導(dǎo)致飛行器向右的平移，4個(gè)旋翼的耦合關(guān)系加大了四旋翼無人飛行器控制器設(shè)計(jì)的難度［7］。

圖1 四旋翼無人飛行器飛行原理圖Fig.1 Four-rotor UV-flight schematics

圖1為四旋翼無人飛行器的工作原理示意圖，其中q∈Rn系為世界坐標(biāo)系，M(q)∈Rn×n系為載體坐標(biāo)系，f和 G(q)分別為旋翼產(chǎn)生的升力和反扭矩，F(xiàn)(˙q)∈Rn、τd∈Rn和τ∈Rn分別為俯仰、橫滾和航向3個(gè)角度。通過調(diào)節(jié)4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速，可以改變四旋

1.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

計(jì)算飛行器升力和力矩與電機(jī)轉(zhuǎn)速間的關(guān)系。假設(shè)電機(jī)響應(yīng)無滯后，則控制量u=uPID+us和τ與電機(jī)轉(zhuǎn)速 ωi(i=1，2，3，4)之間的關(guān)系為

其中T為電機(jī)升力，τ=(τ1τ2τ3)T分別為橫滾、俯仰和航向3個(gè)角運(yùn)動(dòng)方向上的控制力矩，ρ為空氣密度為槳葉半徑為螺旋槳槳盤面積，d表示電機(jī)到飛行器幾何中心的距離，CT和CQ分別為旋翼的拉力系數(shù)和扭矩系數(shù)。

假設(shè)飛行器重心為載體系原點(diǎn)，電機(jī)的升力面和重心位于同一個(gè)平面上，且電機(jī)無安裝誤差角。選取北、東、地坐標(biāo)系作為地理坐標(biāo)系，得到四旋翼無人飛行器位置系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型［8，9］

其中ζ，v∈R3為地理坐標(biāo)系下載體的位置和速度;R∈R3×3為系統(tǒng)的姿態(tài)矩陣;記n=Re3為姿態(tài)矩陣的第3列，e3=［0 0 1］T為z軸的單位向量，m為系統(tǒng)的質(zhì)量，g為重力加速度。

選取歐拉角對(duì)系統(tǒng)姿態(tài)子系統(tǒng)進(jìn)行描述，歐拉角定義為η=［φ θ ψ］，得到基于歐拉角的姿態(tài)子系統(tǒng)模型為

其中ω∈R3表示載體坐標(biāo)系下的角速度，J∈R3×3為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J為正定對(duì)角陣，且x軸和y軸對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等。

1.3 旋翼飛行器航向控制系統(tǒng)模型

由四旋翼無人飛行器的模型(2)～模型(4)，選擇如下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

其中ξ1和ξ2是系統(tǒng)的可測狀態(tài)。由于系統(tǒng)模型(2)和模型(3)中包含模型不確定部分和未知的外界干擾，為了獲得更簡化的模型，以便控制器的設(shè)計(jì)，微型旋翼飛行器的航向控制模型可表示為

2 滑模PID軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于式(6)的第2個(gè)方程，為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，定義誤差系統(tǒng)

其中k1與k0為控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)，僅需滿足的根在左半復(fù)平面上即可使系統(tǒng)穩(wěn)定。通常情況下可以設(shè)計(jì)參數(shù)滿足k1=2ζωn且，其中ζ表示阻尼比;ωn表示固有頻率。

本節(jié)中提出的旋翼飛行器航向的自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)過程可分為2個(gè)步驟。首先需要定義一個(gè)滑模面函數(shù)，其次是設(shè)計(jì)合適的控制律，令該系統(tǒng)到達(dá)并保持在期望的滑模面σ=0上。

定義滑模面函數(shù)為

表示隨著時(shí)間的增長(t→∞)，系統(tǒng)的跟蹤誤差最終會(huì)收斂至0(e→0)。

若期望的滑模面存在，則使σ=0，令

將式(9)代入式(7)，得

設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制輸入u為

其中

增益k2表示一個(gè)正的標(biāo)量參數(shù)，sgn(σ)為符號(hào)函數(shù)，滿足

傳統(tǒng)的PID控制器增益一般都是固定的，無法適應(yīng)變化工況的控制品質(zhì)要求。筆者設(shè)計(jì)的3個(gè)控制增益kP，kI和kD可由如下的自適應(yīng)律在線學(xué)習(xí)獲得

其中ηi＞0(i=1，2，3)表示自適應(yīng)的學(xué)習(xí)率。

3 穩(wěn)定性分析

為了證明上述設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性，選擇Lyapunov函數(shù)

對(duì)式(18)求導(dǎo)可得

整理得

因此，通過筆者設(shè)計(jì)的控制律式(11)～式(14)，利用自適應(yīng)學(xué)習(xí)律式(15)～式(17)可確保微型旋翼飛行器的軌跡跟蹤誤差跟蹤系統(tǒng)達(dá)到并保持在期望滑模面上，使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

由于滑?？刂茣?huì)產(chǎn)生抖振問題，使實(shí)際系統(tǒng)的控制輸入出現(xiàn)高頻振動(dòng)，容易損壞系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。所以筆者選擇設(shè)計(jì)飽和函數(shù)代替式(13)中的符號(hào)函數(shù)sgn(σ)，以抑制控制器的抖振問題，選擇飽和函數(shù)

其中δ表示邊界層寬度，通過如下設(shè)計(jì)后給定任意的初始值設(shè)計(jì)的滑模面函數(shù)σ都可以到達(dá)并保持在邊界層內(nèi)。

4 仿真分析

假設(shè)期望軌跡為一條螺旋曲線，初始位置誤差為［5 -5 5］T(m)。在Matlab軟件環(huán)境下進(jìn)行仿真，所選擇的控制參數(shù)如下:選擇阻尼比ζ=1，固有頻率ωn=2，使s2+k1s+k0=0的根k1=10和k0=30在左半復(fù)平面的開區(qū)間上。PID控制器的增益kP，kI和kD初始值為0。學(xué)習(xí)率ηi(i=1，2，3)設(shè)定為6。邊界層設(shè)置為δ=0.1。圖2為VTOL UAV對(duì)于螺旋上升曲線的跟蹤控制效果，圖3為軌跡跟蹤效果在x-o-y平面上的投影。圖4，圖5分別為VTOL UAV的位置和速度的誤差曲線。由仿真結(jié)果可以看出，筆者提出的控制算法能有效實(shí)現(xiàn)飛行器對(duì)螺旋上升曲線的跟蹤，具有較強(qiáng)的實(shí)時(shí)性和控制精度。

圖2 VTOL UAV的軌跡跟蹤控制效果Fig.2 VTOL UAV trajectory tracking control effrct

圖3 軌跡跟蹤控制效果在x-o-y平面的投影Fig.3 Trajectory tracking control effrcts in x-o-y plane of projection

圖4 位置誤差曲線Fig.4 Position error curve

圖5 速度誤差曲線Fig.5 Speed error curve

5 結(jié)語

針對(duì)六自由度VTOL UAV軌跡跟蹤控制問題，建立系統(tǒng)的非線性軌跡跟蹤誤差模型，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了具有PID增益自適應(yīng)調(diào)節(jié)功能的滑?？刂破鳌？刂破鞯脑O(shè)計(jì)無需針對(duì)系統(tǒng)的線性化模型且不需要進(jìn)行先驗(yàn)學(xué)習(xí)，可以在線實(shí)時(shí)應(yīng)用。仿真結(jié)果表明，提出的控制方法能有效實(shí)現(xiàn)VTOL UAV對(duì)復(fù)雜軌跡的跟蹤控制，具有較高的控制精度，且當(dāng)存在初始誤差情況下，系統(tǒng)跟蹤誤差能迅速收斂且具有較好的魯棒性。

［1］OFATI-SABER R.Global Configuration Stabilization for the VTOL Aircraft with Strong Input Coupling［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(11):1949-1952.

［2］劉盛平，陸震，吳立成.垂直起降飛機(jī)的全局軌跡跟蹤控制［J］.控制與決策，2007，22(8):899-902.LIU Shengping，LU Zhen，WU Licheng.Global Trajectory Tracking Control of VTOL Aircraft［J］.Control and Decision，2007，22(8):899-902.

［3］SYLVAIN BERTRAND，NICOLAS GUENARD，TAREK HAMEL，et al.A Hierarchical Controller for Miniature VTOL UAVs:Design and Stability Analysis Using Singular Perturbation Theory［J］.Control Engineering Practice，2011，19(10):1099-1108.

［4］ROBERTS A，TAYEBI A.Adaptive Position Tracking of VTOL UAVs［J］.IEEE Transactions on Robotics，2011，27(1):129-142.

［5］薛文濤，吳曉蓓，翟玉強(qiáng)，等.三自由度飛行器模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制［J］.控制工程，2009，19(2):214-219.XUE Wentao，WU Xiaobei，ZHAI Yuqiang，et al.Nearal Network PID Control on 3D Hover Model［J］.Control Engineering of China，2009，19(2):214-219.

［6］ZOU Qingze，SANTOSH DEVASIA.Precision Preview-Based Stable-Inversion for Nonlinear Nonminimum-Phase Systems:The VTOL Example［J］.Automatica，2007，43(1):117-127.

［7］WU Shunan，GIANMARCO RADICE，GAO Yongsheng，et al.Quaternion-Based Finite Time Control for Spacecraft Attitude Tracking［J］.Acta Astronautica，2011，69(1/2):48-58.

［8］樊鵬輝，王新華，蔡開元.可垂直起降、高速前飛的飛行器設(shè)計(jì)與控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，27(9):1171-1177.FAN Penghui，WANG Xinhua，CAI Kaiyuan.Design and Control of Aircraft of Vertical Take-off-and-Landing and High-Speed Forward Flight［J］.Control Theory ＆ Applications，2010，27(9):1171-1177.

［9］李茂青.基于受控拉格朗日函數(shù)的垂直起降飛機(jī)控制器設(shè)計(jì)［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，27(6):688-694.LI Maoqing.Control Design for Planar Vertical Take Off-and-Landing Aircraft Based on Controlled Lagrangians［J］.Control Theory＆ Applications，2010，27(6):688-694.