王樂洋，于冬冬

1.東華理工大學(xué) 測繪工程學(xué)院，江西 南昌330013；2.江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌330013

1 引 言

大地測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域中的病態(tài)問題是廣泛存在的，例如大地測量反演［1－2］、控制網(wǎng)平差［3］、GPS快速定位［4］、航空重力向下延拓［5］等方面。當(dāng)處理病態(tài)問題同時(shí)需要顧及系數(shù)矩陣誤差時(shí)，即病態(tài)總體最小二乘問題的解算，是目前測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一［6－15］；處理病態(tài)總體最小二乘問題的常用方法主要有截?cái)嗥娈愔到夥ǎ?，15］、嶺估計(jì)法［12－13，15］、Tikhonov正則化方法［7，8－11］、廣義正則化解法等［14］。在解決病態(tài)總體最小二乘問題的這些方法中，主要是基于數(shù)學(xué)理論上的，雖然有些文獻(xiàn)是從測量平差角度出發(fā)，但是在大地測量實(shí)際問題中的物理意義卻不是那么的清晰，即存在以下的不足［16］：①偏重?cái)?shù)學(xué)上算法的引用，對算法在大地測量實(shí)際問題中的物理意義的合理性未加重視；②過于強(qiáng)調(diào)如何縮小病態(tài)觀測方程的系數(shù)陣（或法矩陣）的條件數(shù)，忽略了病態(tài)原因的分析和從機(jī)制上采取有效措施。虛擬觀測法在最小二乘病態(tài)問題及其他準(zhǔn)則帶參數(shù)的模型中得到了廣泛研究和應(yīng)用［16－22］；準(zhǔn)則參數(shù)表示的是實(shí)際觀測方差與虛擬觀測方差的比值，具有重要的物理意義；虛擬觀測法在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用都可以得到與傳統(tǒng)方法等價(jià)或較優(yōu)的計(jì)算結(jié)果［22］?；谔摂M觀測法的思想，本文提出了一種基于虛擬觀測的總體最小二乘病態(tài)問題的嶺估計(jì)法，該方法的公式推導(dǎo)中明確了嶺參數(shù)的物理意義，通過數(shù)值算例表明虛擬觀測法在處理病態(tài)總體最小二乘問題時(shí)是非常有效的。

2 病態(tài)總體最小二乘問題的虛擬觀測

2.1 病態(tài)總體最小二乘問題的數(shù)學(xué)模型

設(shè)有平差線性模型

式中，L1為觀測值向量；e1為觀測值的噪聲；A1是維數(shù)為n×m的系數(shù)矩陣；EA1為系數(shù)矩陣的噪聲；X為m個(gè)未知參數(shù)，且為E按列拉直得A1到的列向量。將式（1）改寫為

求解上述方程的總體最小二乘方法可以表示為約束優(yōu)化問題

約束條件L1＋e1∈Range（A1＋EA1）

2.2 病態(tài)總體最小二乘問題的虛擬觀測解法

病態(tài)的原因是設(shè)計(jì)矩陣存在復(fù)共線性關(guān)系，即觀測值之間相關(guān)而產(chǎn)生秩虧或奇異現(xiàn)象。若參數(shù)之間是相互獨(dú)立的，用觀測方程表示如下，作為第2類觀測

將式（1）改寫為

上式可以表示為

令

因此，式（1）可以表示為

根據(jù)式（8），由協(xié)因數(shù)傳播定律容易得到e的協(xié)因數(shù)陣為

令e的平差值為V1，e2的平差值為V2，X的平差值為，Qe的平差值為Qe，將實(shí)際觀測式（8）與虛擬觀測式（4）聯(lián)立得

在總體最小二乘準(zhǔn)則下

由式（11）根據(jù)求函數(shù)自由極值的方法得

將式（4）、式（8）、式（9）代入式（14）得

即

令

則有

式（18）整理得

式（19）通過多次迭代運(yùn)算可以得到較準(zhǔn)確的參數(shù)解，該式與總體最小二乘嶺估計(jì)式是一致的。

單位權(quán)方差估值可以按照下式計(jì)算

由式（11）、式（13）和式（17）得

式中，λL稱為準(zhǔn)則參數(shù)或嶺參數(shù)；λ稱為準(zhǔn)則子參數(shù)。

通過上述嶺估計(jì)虛擬觀測法的推導(dǎo)可以看出，準(zhǔn)則子參數(shù)λ是實(shí)際觀測方差與虛擬觀測方差的比值，所以通過虛擬觀測法給參數(shù)λ賦予了恰當(dāng)?shù)奈锢硪饬x。雖然，本文中應(yīng)用的方法是將先驗(yàn)信息作為一項(xiàng)約束條件，與附有先驗(yàn)約束的間接平差理論上是等價(jià)的，但是，在附有約束的間接平差中，是直接運(yùn)用拉格朗日求極值方法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，而本文中是將約束條件與觀測方程聯(lián)立在原有估計(jì)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上得出新的準(zhǔn)則，即式（21）。該準(zhǔn)則式（21）與根據(jù)正則化理論處理病態(tài)總體最小二乘問題的估計(jì)準(zhǔn)則是一致的。

病態(tài)總體最小二乘問題的虛擬觀測法迭代計(jì)算步驟為：

（1）采用最小二乘法求得待定參數(shù)的初始值

2.3 確定準(zhǔn)則子參數(shù)λ的嶺跡法

在上述迭代算法中，準(zhǔn)則子參數(shù)λ是實(shí)際觀測方差與虛擬觀測方差的比值，若兩類觀測值方差的先驗(yàn)信息已知，則可以根據(jù)式（13）求得λ，即驗(yàn)前單位權(quán)方差法［23］。當(dāng)兩類觀測值方差的先驗(yàn)信息未知時(shí)，可以采用下面的嶺跡法來確定該參數(shù)。

基本思想為：取0到一個(gè)相對大的數(shù)作為參數(shù)λ的取值區(qū)間，如本文算例1中的區(qū)間［0，20］，選定一個(gè)盡量小的步長，如本文中的步長為0.001，讓參數(shù)λ以該步長取遍區(qū)間內(nèi)的所有值，將每個(gè)λ值代入迭代公式中進(jìn)行迭代運(yùn)算，迭代終止時(shí)每個(gè)λ值都對應(yīng)一組參數(shù)解X，將X的各個(gè)分量的嶺跡畫在同一張圖上，即橫坐標(biāo)為λ值，縱坐標(biāo)為X的各個(gè)分量值，選取使X各分量的嶺跡大都穩(wěn)定的那個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)的λ值作為準(zhǔn)則子參數(shù)，此時(shí)的X即為最優(yōu)解。

3 算例與分析

3.1 算例1

采用文獻(xiàn)［15］中病態(tài)設(shè)計(jì)矩陣為

矩陣N＝ATA的條件數(shù)為2.083 7×104，病態(tài)性嚴(yán)重。為了比較不同情況下解的差異，分別用總體最小二乘法、TLS嶺估計(jì)的L曲線法、最小二乘法、最小二乘嶺估計(jì)的L曲線法以及本文提出的虛擬觀測法進(jìn)行解算，并比較計(jì)算所得的估值以及估計(jì)值與真值差值的范數(shù)的大小，計(jì)算結(jié)果如表1所示；虛擬觀測法的嶺跡見圖1，圖2繪制了相應(yīng)準(zhǔn)則子參數(shù)λ所對應(yīng)的差值范數(shù)

上述算例中僅已知實(shí)際觀測的先驗(yàn)信息，而未知虛擬觀測的先驗(yàn)信息值。從式（4）中可以知道，虛擬觀測向量的方差等于參數(shù)的方差，為此，利用虛擬觀測法得出的結(jié)果代入式（20）中得到參數(shù)單位權(quán)方差的估值，亦即虛擬觀測值的單位權(quán)方差。根據(jù)式（13）可以得到參數(shù)λ的估值，再利用迭代公式求解參數(shù)，結(jié)果如表2所示。

表1 不同方法的解算結(jié)果Tab.1 The results from different methods

圖1 虛擬觀測法的嶺跡圖Fig.1 The ridge mark of virtual observation method

圖2 準(zhǔn)則子參數(shù)對應(yīng)的差值范數(shù)圖Fig.2 The norm of difference with sub－criterion－parameter

表2 先驗(yàn)值已知和未知的結(jié)果比較Tab.2 Results of priori information known and unknown

3.2 算例2

采用病態(tài)測邊網(wǎng)的算例［3，15，24］（圖3）。模擬一個(gè)空間測邊網(wǎng)。P1、P2、…、P9為9個(gè)已知點(diǎn)，其坐標(biāo)與其到兩個(gè)未知點(diǎn)P10、P11的觀測距離如表3所示，并假設(shè)未知點(diǎn)真值分別為（0，0，0）和（7，10，－5），兩個(gè)未知點(diǎn)之間的觀測距離為d10，11＝13.107 8m，各距離為等精度觀測，中誤差為0.001m。要求根據(jù)19個(gè)觀測距離確定兩個(gè)未知點(diǎn)的坐標(biāo)［24］。

算例中N＝ATA的條件數(shù)為4.585 1×103，嚴(yán)重病態(tài)。在計(jì)算過程中，未知點(diǎn)的坐標(biāo)取近似值為［3，15，24］（0.01，－0.01，0.02）和（7.01，9.99，－5.01）。同樣，為了比較不同情況下解的差異，分別用總體最小二乘法、TLS嶺估計(jì)的L曲線法、最小二乘法、最小二乘嶺估計(jì)的L曲線法以及本文提出的虛擬觀測法進(jìn)行解算，并比較計(jì)算所得的估計(jì)值以及估計(jì)值與真值差值范數(shù)的大小，計(jì)算結(jié)果如表4所示；虛擬觀測法的嶺跡見圖4，圖5繪制了相應(yīng)準(zhǔn)則子參數(shù)λ所對應(yīng)的差值范數(shù)

3.3 算例分析

（1）從表1和表4的解算結(jié)果可以看出，虛擬觀測法優(yōu)于L曲線（TLS）法，算例1中差值范數(shù)分別為0.823 1和0.829 0；算例2中差值范數(shù)分別為0.028 0和0.917 0。

圖3 空間網(wǎng)在XY平面的點(diǎn)位分布圖［15］Fig.3 The point position distribution map of the space net in XYplane［15］

表3 控制點(diǎn)的坐標(biāo)和觀測值［3，15，24］Tab.3 The coordinates and observations of control points［3，15，24］ m

圖4 虛擬觀測法的嶺跡圖Fig.4 The ridge mark of virtual observation method

圖5 準(zhǔn)則子參數(shù)對應(yīng)的差值范數(shù)圖Fig.5 The norm of difference with sub－criterionparameter

表4 不同方法的解算結(jié)果Tab.4 The results from different methods

（2）虛擬觀測法在獲取較優(yōu)結(jié)果的同時(shí)，具有更明確的物理含義，即參數(shù)λ是實(shí)際觀測方差與虛擬觀測方差的比值；參數(shù)λL較好地均衡了準(zhǔn)則式（21）中實(shí)際觀測和虛擬觀測兩部分的擬合殘差；由式（19）可以看出，虛擬觀測法通過包含參數(shù)λ的準(zhǔn)則參數(shù)（嶺參數(shù)）λL，較好地改善了法方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性。

（3）從上面兩個(gè)算例的結(jié)果來看，L曲線（TLS）與虛擬觀測法得出的參數(shù)估計(jì)的結(jié)果相差較小，算例1更為相近，但得到的參數(shù)λ的估值卻相差很大。文獻(xiàn)［22］指出：關(guān)于準(zhǔn)則參數(shù)的確定目前已經(jīng)開展了大量研究，存在一個(gè)共同的不足就是準(zhǔn)則參數(shù)只是表示估計(jì)準(zhǔn)則中觀測相關(guān)部分及非觀測部分之間平衡的一個(gè)模糊量，在客觀上沒有真實(shí)的值（真值）和物理（幾何）含義，各種方法所確定的準(zhǔn)則參數(shù)的數(shù)值表示的并不是同一個(gè)量的估計(jì)值，相互之間沒有可比性［22］。

（4）綜合兩個(gè)算例來看，虛擬觀測法在求解病態(tài)總體最小二乘問題中不但能得到比較理想的結(jié)果，而且它的計(jì)算過程相比較而言更加簡單快捷。

（5）處理病態(tài)問題的總體最小二乘嶺估計(jì)法和最小二乘嶺估計(jì)法都比相應(yīng)的普通總體最小二乘法和普通最小二乘法更好地降低了病態(tài)性對解的影響。

4 結(jié) 論

本文提出了一種解決總體最小二乘病態(tài)性問題的方法——虛擬觀測法。該方法是利用平差中參數(shù)之間的相互獨(dú)立性作為先驗(yàn)約束條件，并利用虛擬觀測方程形式表示出來當(dāng)做第2類觀測量與實(shí)際觀測模型進(jìn)行聯(lián)立求解。在公式的推導(dǎo)中得到了準(zhǔn)則參數(shù)的物理意義，并且通過算例表明了利用虛擬觀測法求解病態(tài)總體最小二乘問題可以得到與傳統(tǒng)方法等價(jià)（算例1）或較優(yōu)的計(jì)算結(jié)果（算例2），顯示了虛擬觀測法是一種十分有效的方法。參數(shù)λ的選取是虛擬觀測法的關(guān)鍵，如何更加有效合理地選取該參數(shù)還需要作進(jìn)一步研究。

［1］WANG Leyang，XU Caijun，WANG Jianjun.Research on E－quality Constraint Inversion with Ill－posed Constraint Matrix［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38（5）：397－401.（王樂洋，許才軍，汪建軍.附有病態(tài)約束矩陣的等式約束反演問題研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，2009，38（5）：397－401.）

［2］WANG Leyang，XU Caijun.Ridge Estimation Method in Inversion Problem with Ill－posed Constraint［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2011，36（5）：612－616.（王樂洋，許才軍.附有病態(tài)約束的反演問題的嶺估計(jì)法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2011，36（5）：612－616.）

［3］GUO Jianfeng.The Diagnosis and Process of Ill－conditioned Adjustment System.［D］.Zhengzhou：Information Engineering University，2002：45－47.（郭建鋒.測量平差系統(tǒng)病態(tài)性的診斷與處理［D］.鄭州：信息工程大學(xué)，2002：45－47.）

［4］WANG Zhenjie，OU Jikun，LIU Lintao.Investigation on Solutions of Ill－conditioned Problems in Rapid Positioning Using Single Frequency GPS Receivers［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2005，34（3）：197－201.（王振杰，歐吉坤，柳林濤.單頻GPS快速定位中病態(tài)問題的解法研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，2005，34（3）：197－201.）

［5］JIANG Tao，LI Jiancheng，WANG Zhengtao，et al.Solution of Ill－posed Problem in Downward Continuation of Airborne Gravity［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（6）：684－689.（蔣濤，李建成，王正濤，等.航空重力向下延拓病態(tài)問題的求解［J］.測繪學(xué)報(bào)，2011，40（6）：684－689.）

［6］FIERRO R D，GOLUB G H，HANSEN P C，et al.Regularization by Truncated Total Least Squares［J］.SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing，1997，18（1）：1223－1241.

［7］GOLUB G H，HANSEN P C，O’LEARY D P.Tikhonov Regularization and Total Least Squares［J］.SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，1999，21（1）：185－194.

［8］SIMA D M，HUFFEL S V，GOLUB G H.Regularized Total Least Squares Based on Quadratic Eigenvalue Problem Solvers［J］.BIT Numerical Mathematics，2004，44：793－812.

［9］GUO H，RENAUT R.A Regularized Total Least Squares Algorithm［C］∥Proceedings of Total Least Squares and Errors－in－Variables Modeling.Amsterdam：Kluwer Academic Publishers，2002：57－66.

［10］BECK A，BEN T A.On the Solution of the Tikhonov Regularization of Regularized Total Least Squares Problem［J］.SIAM Journal on Optimization，2006，17（1）：98－118.

［11］YUAN Zhenchao，SHEN Yunzhong，ZHOU Zebo.Regularized Total Least－squares Solution to Ill－posed Error－invariable Model［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，29（2）：131－134.（袁振超，沈云中，周澤波.病態(tài)總體最小二乘模型的正則化算法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2009，29（2）：131－134.）

［12］WANG Leyang，XU Caijun，LU Tieding.Ridge Estimation Method in Ill－posed Weighted Total Least Squares Adjustment［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2010，35（11）：1346－1350.（王樂洋，許才軍，魯鐵定.病態(tài)加權(quán)總體最小二乘平差的嶺估計(jì)解法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2010，35（11）：1346－1350.）

［13］WANG Leyang.Research on Theory and Application of Total Least Squares in Geodetic Inversion［D］.Wuhan：Wuhan University，2011（王樂洋.基于總體最小二乘的大地測量反演理論及應(yīng)用研究［D］.武漢：武漢大學(xué)，2011.）

［14］GE Xuming，WU Jicang.Generalized Regularization to Ill－posed Total Least Squares Problem［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（3）：372－377.（葛旭明，伍吉倉.病態(tài)總體最小二乘問題的廣義正則化［J］.測繪學(xué)報(bào)，2012，41（3）：372－377.）

［15］LU Tieding，NING Jinsheng.Total Least Squares Adjustment Theory and Its Applications［J］.Beijing：China Science and Technology Press，2011：89－102.（魯鐵定，寧津生.總體最小二乘平差理論及其應(yīng)用［M］.北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，2011：89－102.）

［16］FENG Guangcai，DAI Wujiao，ZHU Jianjun，et al.A Virtual Observational Approach to Ill－conditioned Problem［J］.Science of Surveying and Mapping，2007，32（2）：38－39.（馮光財(cái)，戴吾蛟，朱建軍，等.基于虛擬觀測的病態(tài)問題解法［J］.測繪科學(xué)，2007，32（2）：38－39.）

［17］OUYANG Wensen，ZHU Jianjun.Expanding of Classical Surveying Adjustment Model［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38（1）：12－15.（歐陽文森，朱建軍.經(jīng)典平差模型的擴(kuò)展［J］.測繪學(xué)報(bào)，2009，38（1）：12－15.）

［18］ZHU Jianjun，F(xiàn)ENG Guangcai，DAI Wujiao.A Quasi Observation Approach for Semi－parameter Regression［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，2006，（9）：54－57.（朱建軍，馮光財(cái)，戴吾蛟.半?yún)?shù)模型解算的一種虛擬觀測法［J］.工程勘察，2006，（9）：55－57.）

［19］ZHAO Haitao，GUO Guangli，CHA Jianfeng.The Virtual Observation Algorithm with Restriction Condition Parameter Adjustment［J］.Science of Surveying and Mapping，2008，33（2）：33－34.（趙海濤，郭廣禮，查劍鋒.附有限制條件間接平差的虛擬觀測算法［J］.測繪科學(xué)，2008，33（2）：33－34.）

［20］LE Kejun，QIU Bin，ZHU Jianjun.Semi－parametric Regression Model Constrained with Priori Information and Its Virtual Observation Solution［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2008，28（6）：107－111.（樂科軍，邱斌，朱建軍.具有先驗(yàn)信息約束的半?yún)?shù)回歸模型及其虛擬觀測值解法［J］.大地測量與動力學(xué)，2008，28（6）：107－111.）

［21］DAI Wujiao，F(xiàn)ENG Guangcai，ZHU Jianjun.A Method for Selecting Ridge Parameter Based on Helmert Variance Components Estimation［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2006，26（4）：30－33.（戴吾蛟，馮光財(cái)，朱建軍.一種基于Helmert方差分量估計(jì)的嶺參數(shù)確定方法［J］.大地測量與動力學(xué)，2006，26（4）：30－33.）

［22］ZHU Jianjun，TIAN Yumiao，TAO Xiaojing.United Expression and Solution of Adjustment Criteria with Parameters［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（1）：8－13.（朱建軍，田玉淼，陶肖靜.帶準(zhǔn)則參數(shù)的平差準(zhǔn)則及其統(tǒng)一與解算［J］.測繪學(xué)報(bào)，2012，41（1）：8－13.）

［23］WANG Leyang，XU Caijun.Total Least－squares Adjustment with Weighting Scaling Factor［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2011，36（8）：887－890.（王樂洋，許才軍.附有相對權(quán)比的總體最小二乘平差［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2011，36（8）：887－890.）

［24］GUI Qingming，ZHANG Jianjun，GUO Jianfeng.Shrunken Type－Robust Estimation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2000，29（3）：224－228.（歸慶明，張建軍，郭建鋒.壓縮型抗差估計(jì)［J］.測繪學(xué)報(bào)，2000，29（3）：224－228.）