劉英明，全宏俊

（華南理工大學(xué)物理系，廣東廣州，510641）

1 模型描述

首先構(gòu)造一個NW 小世界網(wǎng)絡(luò)，開始每個節(jié)點與其左右對稱的相鄰2k 個節(jié)點相連構(gòu)成規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，然后，每個節(jié)點都以一定的概率ps與相鄰2k 節(jié)點外的其他一個節(jié)點相連，并且不能與自己相連。每個節(jié)點代表一個經(jīng)紀(jì)人，相連的節(jié)點代表經(jīng)紀(jì)人之間為鄰居。每個經(jīng)紀(jì)人都有一個策略、一個概率值p 和相同m 的歷史記憶量：μ(t)={b(t-m),…,b（t-2）,b(t-1)}，其中，b(t)=“0”或“1”。所有經(jīng)紀(jì)人做出選擇后處于少數(shù)方的經(jīng)紀(jì)人獲勝，并且其得分加1，處于多數(shù)方的經(jīng)紀(jì)人得分減1。博弈開始前，每個經(jīng)紀(jì)人從策略庫中隨機(jī)抽取一個策略作為自己的策略，并且均勻隨機(jī)分配一個概率策略p。博弈時，每個經(jīng)紀(jì)人根據(jù)歷史記錄和策略來預(yù)測下一步的獲勝方；并且以自己的概率p 決定去自己策略的預(yù)測方，以1p 去策略預(yù)測方的相反方。相鄰經(jīng)紀(jì)人之間的得分與概率p 是共享的，因此每個經(jīng)紀(jì)人都知道自己鄰居的得分與概率。當(dāng)經(jīng)紀(jì)人的得分低于某一值d(d<0)時，經(jīng)紀(jì)人以其鄰居中得分最高的經(jīng)紀(jì)人的概率為中心，2dp 為寬度，均勻隨機(jī)重新選擇一個新的概率p，若得分最高的鄰居有2 個及以上，則從中隨機(jī)選擇一個；若自己得分最高則以自己為中心，2dp 為寬度，重新選擇。模型中采用反射邊界條件保證新概率p 在[0,1]之間。相比于Quan H.J等人提出的博弈模型,本文模型中每個經(jīng)紀(jì)人多了一個從策略庫中隨機(jī)選擇的策略。

這一模型的系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)差可以表示為：

其中A(t)表示t 時步選擇A 方的人數(shù)， 表示T 時步內(nèi)選擇A 方的人數(shù)的平均值。

2 結(jié)果與討論

考慮N=1001，d= 4，k=5 的系統(tǒng)。圖1 ～ 4 和圖6 中，每個數(shù)據(jù)點都是50 次取平均值，每次都是運行107后，對106時步的結(jié)果做統(tǒng)計平均。圖1 給出了m=3，2dp=0.1 時，不同重連概率ps下的經(jīng)紀(jì)人的概率分布圖，可以看出p 在p=0 和p=1 處也出現(xiàn)了類似于EMG 的自相分離現(xiàn)象，。

圖1 m=3 時 不同重連概率ps 下的概率p 分布P(p)

圖2 給出了不同m 下的概率p 分布，可以看出p 分布P(p)與m 有著密切的關(guān)系；在m 小時p 分布在p～0 和p～1 處密集，中間段最小，自相分離程度很高；隨著m 的增大，P(p)變得平滑，自相分離程度越來越低。原因是，在m 很小的時，，策略庫中的所有策略都被經(jīng)紀(jì)人所用，并且所有的策略都均勻分布在經(jīng)紀(jì)人當(dāng)中，再加上每個經(jīng)紀(jì)人都只有一個策略，使得人群-反人群效應(yīng)達(dá)到最優(yōu)，因此出現(xiàn)的自分離程度最大；隨著m 的增大，策略庫中的策略只有一部分策略被經(jīng)紀(jì)人所有，策略與策略的反策略不能夠同m 很小的時候一樣都被均勻的利用，人群-反人群效應(yīng)變小，自分離程度也就減?。划?dāng)m 增大到 ，此時策略庫中只有很少的一部分策略被經(jīng)紀(jì)人所用，策略與策略的反策略被同時使用的幾率減小到很小，人群-反人群效應(yīng)最小，進(jìn)入了隨機(jī)選擇狀態(tài)。

圖3 給出了不同ps 下， 與m 的關(guān)系，可以看出，在m=1 時，系統(tǒng)方差最小；隨著m 的增大，系統(tǒng)方差逐漸增大；當(dāng)m 增加到極限時，系統(tǒng)方差趨于隨機(jī)選擇。原因見對圖2 的分析。從圖3 還可以看出，ps=0.5 的系統(tǒng)方差要比ps=0.1 的系統(tǒng)方差要小，為了解釋這一原因，圖4 給出了 /N 與集聚系數(shù)C 的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著集聚系數(shù)的增加 /N 不斷減小，且減小的幅度不斷增加，而ps的增加將引起C 的減小，（見圖5），所以重連概率越大，小世界網(wǎng)絡(luò)的聚焦系數(shù)越小，集團(tuán)化程度越低，系統(tǒng)方差也就越大。圖5 給出了給出了WS 小世界網(wǎng)絡(luò)和NW 小世界網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)與ps的關(guān)系，可以看出，在Ps較大時，NW 的集聚系數(shù)要大于WS，說明此時NW 的集聚度較WS 要高。

圖2 不同m 下的概率分布P(p)

圖6 給出了ps=0.1 時，這本文模型與“WS 小世界網(wǎng)絡(luò)上修正的演化少數(shù)者博弈模型”（WSMEMG）的 /N 與m 的關(guān)系對比?？梢钥闯?，在相同重連概率下，本文模型的系統(tǒng)方差相比于WSMEMG 模型的方差要小，原因是ps=0.1 時，NW 小世界網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)相比于WS 小世界網(wǎng)絡(luò)要大；在ps=0.1 時NW 小世界網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的聚焦系數(shù) ，WS 小世界網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù) ；集聚系數(shù)的大表明經(jīng)紀(jì)人之間通過模仿交流所獲得信息增多，從而系統(tǒng)方差減小。

圖3 不同ps 下 /N 與m 的關(guān)系

圖4 /N 與集聚系數(shù)C 的關(guān)系

圖5 NW 和WS 兩種小世界網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)與ps 的關(guān)系

圖6 本文模型與WSMEMG 模型的 /N 隨m 的變化關(guān)系的對比

3 結(jié)論

本節(jié)主要研究了NW 小世界網(wǎng)絡(luò)上修正的演化少數(shù)者博弈的模仿效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了這一模型的系統(tǒng)同樣出現(xiàn)了經(jīng)紀(jì)人的自組織分離現(xiàn)象；并且與“WS 小世界網(wǎng)絡(luò)上修正的演化少數(shù)者博弈的模仿效應(yīng)”進(jìn)行了對比分析，由于NW 小世界網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)較WS 小世界網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)大，集團(tuán)化程度高，系統(tǒng)方差也就要小。

[1] Newman M.E.J,Watts D.J.Renormalization group analysis of the small-word network model [J].Phys.Lett.A,1999,263:341-346

[2] Challet D,Zhang Y.C.Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game[J].Physica A,1997,246:407-418

[3] Lo T.S,Hui P.M,Johnson N.F.Theory of the evolutionary minority game[J].Phys.Rev. E,2000,62:4393-4396

[4] Shang L.H,Wang X.F.Evolutionary minority game on complex networks [J].Physica A,2007,377:616-624

[5] Quan H J et al.Cooperation in the mixed population minority game with imitation [J].Chin.Phys.Lett, 2001,18:1156-1158