潘點飛，程乃平

（中國人民解放軍裝備學院，北京 101416）

1 引言

陣列天線以其獨特的性能和形式在雷達、聲吶、通信、測控等領域得到了廣泛的應用。測控系統(tǒng)一般要求陣列天線方向圖具有恒定的主瓣寬度，旁瓣盡可能低，以便降低干擾的影響，實現對目標的精確測量與控制。通過相應算法獲得陣列天線的最優(yōu)權系數，使陣列天線方向圖盡可能地滿足特殊的主瓣形狀和極低的旁瓣電平等要求，稱之為陣列方向圖綜合[1]。

早期對陣列天線方向圖綜合的研究主要針對均勻分布的各向同性陣元構成的陣列，如均勻線陣[2]、平面陣等[3]。近20年來，對任意陣方向圖綜合的研究成為熱點，歸納起來主要有3種任意陣方向圖綜合方法：一是基于自適應原理的方向圖綜合方法[4,5]，二是基于優(yōu)化理論的方向圖綜合方法[6~8]，三是基于智能方法的方向圖綜合方法[9~11]。自適應原理方向圖綜合法通過引入大量人為干擾來抑制副瓣電平，經迭代運算使方向圖的主、副瓣電平滿足一定要求。該算法中迭代系數難以確定，收斂速度、收斂穩(wěn)定性與通用性難以保證。優(yōu)化理論方向圖綜合法將陣列方向圖綜合問題轉化為凸優(yōu)化問題，使綜合后方向圖的幅度和相位與期望方向圖的誤差最小。該方法要求方向圖的幅度和相位與期望方向圖都要達到最小，不必要的相位約束將導致旁瓣電平較高。智能方法方向圖綜合法采用遺傳算法、粒子群算法等智能方法直接對方向圖的權向量進行優(yōu)化，對于特殊形狀的期望方向圖優(yōu)化效果往往不理想。

上述常見的任意陣方向圖綜合方法，通常只考慮主瓣方向固定在期望信號方向上，通過尋找最優(yōu)權系數使陣列方向圖盡可能逼近期望方向圖。在實際應用中，如測控系統(tǒng)中，隨著目標的移動，要求陣列天線波束能夠在不同空間指向上滿足指向精度、增益、主瓣寬度等要求，且在干擾方向形成抗干擾零陷。這就對陣列方向圖綜合方法提出了更高的要求，即在保證不同指向時的主瓣形狀和零陷滿足要求的同時，盡可能降低旁瓣電平。文獻[12]通過LCMV(線性約束最小方差)準則提高了自適應方向圖綜合法迭代系數的頑健性，但是在不同空間指向上，波束主瓣指向精度與寬度將產生畸變。文獻[13]采用二階錐規(guī)劃方法對主瓣賦形，同時保證旁瓣電平一致。但對于帶有零陷的復雜旁瓣形狀，可能導致凸優(yōu)化的目標函數不再是凸函數。文獻[14]提出自適應動態(tài)粒子群優(yōu)化算法，可使共形陣列天線形成多方向圖，但沒有考慮不同指向角對算法的影響。本文將自適應理論與凸優(yōu)化方法相結合，通過自適應理論得到滿足特殊旁瓣要求的方向圖，以此作為旁瓣參考電平，并確定期望主瓣，將陣列方向圖綜合問題轉化為二階錐規(guī)劃問題，而后采用凸優(yōu)化循環(huán)迭代方法使不同指向的主瓣形狀與期望主瓣一致，同時保證綜合后旁瓣形狀盡可能逼近自適應理論法得到的結果。

2 基本原理

一定數量的天線陣元按照一定規(guī)則排列成天線陣列。設陣元數目為N，第n個陣元坐標為Pn(xn,yn,zn)，在極坐標中可寫成Pn(rn,θn,φn)，其中，rn為陣元到原點的距離，φn為俯仰角，θn為方位角。假設信號從遠場入射方向為(θ,φ)，到達第一個陣元的相位為零，則陣元n接收信號的相位為

其中，k=-2π/λ,(cosψcosθ, cosφsinθ, sinφ)表示參考陣 元 到 遠 場 目 標 的 單 位 矢 量 ，r→(rncosφncosθn,rncosφnsinθn,rnsinφn)表示參考陣元到陣元n的方向矢量。

設第n個陣元接收到的信號為

其中，A、ω0、φ0分別表示信號的幅度、角頻率和初始相位。fn(θ,φ)為第n個陣元的方向圖。進一步可得到天線陣接收信號為

在陣列結構、信號頻率和陣元方向圖確定的情況下，V只與信號入射方向有關，稱之為導向矢量。若第n個天線單元的加權值為wn，則整個陣列的輸出即為

其中，W=[w1,w2,…,wN]T表示陣列加權向量，T表示轉置運算，則陣列天線方向圖表示為

由式(6)可以看出，陣列天線方向圖由權值和導向矢量共同決定，而導向矢量與陣元方向圖和陣元的排列方式有關。因此，對陣列天線方向圖的優(yōu)化可以通過對陣元方向圖、權值和陣元分布的優(yōu)化獲得。對于確定的陣列天線，陣元的排列方式和陣元方向圖通常是一定的，主要通過調整陣列的加權值得到期望方向圖。

3 方法介紹

自適應陣列通過不同的性能準則確定陣列權向量的最優(yōu)解，使陣列方向圖在信號方向形成主瓣，同時在干擾方向形成零陷。自適應波束形成方法主要關注信號方向和干擾方向的陣列增益，對于主瓣形狀和旁瓣形狀的控制顯得力所不及。在實際應用中，自適應權值并不能實時得到，當前計算的權值是前一段時間內的訓練數量的結果。也就是說，自適應處理得出的權值只是在之前觀察時間內的目標和干擾方向上形成的主瓣與零陷，當干擾或者目標處于高速運動狀態(tài)下，實際目標與干擾方向并不在陣列方向圖的主瓣與零陷位置，導致陣列天線的接收性能下降。

如果能夠在自適應零點附近形成低電平，同時其他區(qū)域的旁瓣電平也盡可能低，這樣既可以減小干擾方向變化帶來的影響，又可以在一定程度上抵消其他方向的突發(fā)干擾。此外，對測控系統(tǒng)來說，目標空間運行范圍廣，要求陣列天線能夠在寬角范圍（甚至全空域）內保持對目標的跟蹤、測量與控制。而掃描角的變化將導致陣列方向圖指向、主瓣寬度以及增益等畸變，這種變化在平面陣中尤為明顯[15]。雖然共形陣能夠很好地解決平面陣中空間掃描角的不足，但是共形陣的特殊結構帶來了制作工藝以及波束控制網絡等方面的難題[16]。因此，有必要對陣列方向圖主瓣特性進行控制，使其在不同空間指向上保持增益、主瓣寬度、指向精度與期望主瓣一致。鑒于自適應原理方向圖綜合法和優(yōu)化理論方向圖綜合法的特點，首先由自適應原理方向圖綜合法得到能夠抑制動態(tài)干擾的復雜旁瓣波形，并以此作為參考旁瓣，而后采用凸優(yōu)化理論修正不同指向角帶來的主瓣畸變，使最終方向圖的主瓣特性與期望主瓣一致，旁瓣波形逼近于自適應原理方向圖綜合法得到的結果。

3.1 基于自適應原理的旁瓣賦形方法

天線陣列接收到的信號矢量除了期望信號以外，一般還包含干擾信號與噪聲，因此陣列接收到的總信號為

其中，Xs為期望信號，Xu為無用信號，無用信號包括干擾信號Xj和噪聲Xn。對方向圖進行賦形的目的是尋找一組最優(yōu)權值，使陣列天線的方向圖在期望方向增益盡可能大，而干擾方向的增益盡量小，從而提高陣列輸出的信號和干擾、噪聲的功率比(SINR)。最大信噪比準則利用無用信號以及期望信號的自相關，求得最佳權值使陣列天線輸出信噪比最大。若只期望在一個方向形成主瓣，最優(yōu)權值表示為[17]

其中，μ為Ru-1Rs的最大特征值，Rs和Ru分別為期望信號和無用信號的自相關矩陣，Vs是目標方向的導向矢量。若令期望信號與噪聲的振幅和導向矢量分別對應為As、Aj和Vs、Vj。則有

其中，H表示共軛轉置，σ2為天線陣元的噪聲功率。

根據自適應原理，陣列天線能夠自適應地在干擾方向形成凹點，且干擾強度越大，凹陷越深。由這一啟迪可在陣列天線的旁瓣區(qū)域引入大量人為干擾，最大信噪比準則會根據干擾功率的大小在各個干擾方向調整方向圖包絡的大小。方向圖旁瓣包絡較大的位置注入較大功率的干擾，在包絡較小的位置則注入較小的干擾，通過不斷地調整注入干擾的相對大小，最終使旁瓣方向圖包絡調整到設計大小。

在對陣列方向圖旁瓣進行調整之前，需要確定期望旁瓣包絡大小。以一維方位方向為例，設副瓣在θ方向的增益比主瓣峰值pmax低D(θ)dB，則期望電平為d(θ)=pmax/10(D(θ)/20)。為了使副瓣包絡達到期望要求，需要不斷調整每次注入的干擾大小。設第k+1次施加干擾強度為

其中，K為調節(jié)系數，k為迭代增益，與文獻[4]相比，式(10)通過修改迭代關系使k=1對大多數陣列都是收斂的。Δ(θpj,k)表示第k次迭代后θpj,處方向圖電壓p(θpj,k)與期望電壓d(θpj,k)的偏差。Pj的初始值可以取1或者0。由天線的基本原理可知，隨著旁瓣電平被不斷壓低，主瓣會被展寬，因此，在每次迭代時需要重新確定主瓣的范圍θmain(k)。

以N=21的線陣為例，陣元間距不同且小于信號波長的一半，陣元坐標為[0, 0.39, 1.2, 1.7 2.1, 2.7,3.2, 3.5, 4.4, 4.6, 5.0, 5.4, 5.6, 6.5, 6.8, 7.3, 7.9, 8.3,8.8, 9.6,10.0]λ。信號方向為θs=0°，SNR=0 dB，干擾方向為θs=-30°，JNR=30 dB。利用式(6)與式(10)對陣列方向圖進行綜合，為了有效抑制干擾，在干擾方向形成較深零陷，干擾附近旁瓣電平要盡量低，同時在目標信號方向形成主瓣峰值。經自適應原理方法綜合后的方向圖如圖1所示，對應方位角需要注入的干擾強度如圖2所示。

圖1 自適應綜合法得到的方向圖

圖2 各方位角上干擾強度

由圖1可以看出，綜合后方向圖在干擾方向及其附近形成了凹陷，同時降低了整個旁瓣包絡電平，但這些性能的獲得是以主瓣被展寬為代價的。圖2在零陷位置需要注入的干擾強度大，旁瓣電平變化相對較小的角度注入干擾較小，而主瓣區(qū)沒有注入干擾，也就是說，這里只是對旁瓣進行了賦形，沒有涉及到主瓣控制問題。

3.2 期望主瓣下的方向圖綜合

在實際中，不單單是旁瓣區(qū)域，天線波束的主瓣區(qū)域往往更加值得關注。因此，在天線的設計中常常會面臨如何在一定的主瓣指向精度、增益穩(wěn)定性以及主瓣寬度等情況下，使旁瓣電平最低的問題，這就涉及到期望主瓣響應波束形成。由于天線的主瓣寬度與主副瓣電平比是天線設計中不可避免的矛盾，不可能在獲得極低的旁瓣電平的同時，主瓣寬度又能達到極窄。

因此，較為合理的期望主瓣響應方向圖綜合準則應為：在保證方向圖旁瓣設計要求的條件下，讓綜合后主瓣響應與期望主瓣的誤差達到最小，或者在滿足設計方向圖主瓣響應達到期望主瓣響應的要求下，使旁瓣最小化。期望主瓣響應與特殊形狀旁瓣設計要求兩者只能折中考慮。本文考慮在保證方向圖滿足期望主瓣響應的前提下，使綜合后旁瓣與自適應方向圖綜合方法得到的結果最接近。

凸規(guī)劃屬于非線性規(guī)劃的一種，其主要特點是規(guī)劃的局部最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解。作為凸規(guī)劃問題的子集，二階錐規(guī)劃(SOCP, second-order cone programming）在滿足二階錐約束和線性約束的條件下，可使線性函數最小。隨著處理錐優(yōu)化問題工具箱的出現與發(fā)展[18]，求解二階錐和線性約束下的凸優(yōu)化問題變得十分方便，具有計算簡單、精度高等優(yōu)點。

不失一般性，考慮一維方向角方向。假設期望主瓣波束為pd(θ),θ∈[θmL,θmH]。為使陣列方向圖滿足主、旁瓣設計要求，最優(yōu)權向量應是下列約束問題的解。

其中，Θm=[θmL,θmH]表示主瓣區(qū)，θmL和θmH為主瓣的臨界角，Θs=[-0.5π,θmL)∪(θmL,0.5π]表示旁瓣區(qū)，p(θ)為k次迭代后得到的θ角處方向圖電平，Vs為目標方向導向矢量，ε為一正實數，表示旁瓣誤差電平。式(11)中期望波束響應不僅對幅度進行了約束，還約束了相位信息，導致式(11)的優(yōu)化結果與陣列的參考點選取有關。應用中，更關心的是波束的幅度響應，而對相位響應并不做要求。在這種情況下，綜合后得到的陣列方向圖具有更高的幅度逼近精度。可將式(11)寫成

上式優(yōu)化結果與相位無關，但目標函數已不再是凸函數，不能保證求得的局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。為此，可采用凸優(yōu)化循環(huán)迭代的方法對該非凸問題進行求解，通過多次的二階錐規(guī)劃方法優(yōu)化，直到得到滿意的主瓣幅度響應方向圖。

由于設計中只關注綜合方向圖的幅度響應，在初始迭代運算時，可通過選取恰當的主瓣相位響應再由式(11)求解陣列方向圖，從而保證二階錐優(yōu)化結果為全局最優(yōu)解。循環(huán)迭代過程如下。

1) 鑒于綜合后得到的陣列方向圖與相位無關，不妨選擇期望主瓣相位響應為零相位。根據式(11)可以得到零相位時的最優(yōu)加權向量Wr，此時的陣列波束方向圖為pr(θ)=(Wr)Ta(θ)，a(θ)為陣列導向矢量。

2) 利用1)所得方向圖pr(θ)的主瓣相位響應（記為∠pr(θ)，θ∈Θm）和期望主瓣響應pd(θ)的幅度∣pd(θ)∣，重新構造期望主瓣響應pdr(θ)=∣pd(θ)∣exp[j∠pr(θ)]，使新的期望主瓣響應為凸函數。由pdr與pd(θ)具有相同的幅度響應，pdr與pr(θ)具有相同的相位響應可得

3) 以新構造的期望主瓣響應pdr(θ)作為目標函數，運用式(11)凸規(guī)劃的尋優(yōu)方法，求得此時的最優(yōu)加權向量Ws，對應的波束方向圖為ps(θ)=(Ws)Ta(θ)。與pr(θ)相比，優(yōu)化后的方向圖ps(θ)更加逼近于pdr(θ)，即滿足

經過上述一次迭代過程后，可以得到如下關系式

由上式易知，該迭代方法可使式(12)目標函數逐漸減小，因此該算法是收斂的，重復上述迭代過程，直到得到滿足期望主瓣響應的陣列方向圖。

4 仿真實驗

實驗 1指向角對自適應原理方向圖綜合法波束主瓣的影響。仿真模型同3.1節(jié)，目標角度分別取θs=0°、20°、35°、40°，其他參數不變，運用自適應原理陣列方向圖綜合法，得到自適應原理法綜合后的方向圖如圖3所示。由圖3可以看出，為了達到旁瓣電平的設計要求，犧牲了方向圖的主瓣特性，主瓣被展寬，主瓣峰值指向偏離目標角，且隨指向角的增加，主瓣畸變嚴重程度也增加。

實驗 2期望主瓣下陣列方向圖綜合。由實驗1可知，自適應原理方向圖綜合法得到主瓣波束易隨波束指向的變化而產生畸變。為了使綜合后方向圖能夠在不同空間指向上，保持所需的主、旁瓣特性，采用本文所述方向圖綜合方法，在陣列方向圖綜合之前確定期望主瓣，而后在此期望主瓣響應下，通過循環(huán)迭代方法保證方向圖在滿足期望主瓣響應的同時，保證綜合后旁瓣逼近于自適應方向圖綜合方法得到結果。

假設以0°指向角的方向圖主瓣作為期望主瓣，主瓣寬度為 20°。由于自適應原理綜合法只是對旁瓣進行了賦形，這里選擇凸優(yōu)化方法產生期望主瓣，所得期望主瓣如圖4所示。

圖4 期望主瓣響應方向圖

可見，在期望主瓣條件下，陣列一致旁瓣電平最低可達-35 dB，且在干擾方向形成凹陷，但凹陷深度較淺。運用二階錐規(guī)劃方法得到的期望主瓣方向圖，還可為自適應原理綜合方法中期望旁瓣電平的選取提供參考。

在圖4所示的期望主瓣響應下，當陣列方向圖主瓣指向 20°、40°、-20°時，與之對應的干擾方向為-30°、-30°、35°，結合式(10)與式(12)陣列方向圖綜合方法，得到不同主瓣指向的方向圖如圖5所示。

圖5 期望主瓣下不同指向陣列方向圖綜合效果

由圖5可以看出，通過對主瓣寬度和主瓣峰值指向的約束，使不同空間指向的綜合后陣列方向圖能夠保持良好的主瓣特性，有效減小了寬指向角帶來的主瓣畸變。同時，綜合后方向圖具有與自適應綜合法所得的方向圖一致的旁瓣特性，且在干擾方向形成零陷，其附近區(qū)域旁瓣電平包絡也與設計電平基本一致。

實驗 3循環(huán)迭代次數對陣列方向圖綜合的影響。由3.2節(jié)分析可知，為實現對非凸問題(式(12))的求解，采用了對凸優(yōu)化問題(式(11))的循環(huán)迭代運算，而迭代運算次數的不同直接影響綜合后陣列方向圖與期望主瓣的一致程度。以目標方向θs=30°、干擾方向θj=-25°為例，其他參數同前文，圖 6(a)為不同循環(huán)迭代次數γ時的陣列綜合方向圖，圖 6(b)為主瓣寬度與最大旁瓣電平隨迭代次數的變化關系。

圖6 迭代次數對陣列方向圖綜合的影響

循環(huán)迭代次數越大，綜合后方向圖主瓣與期望主瓣誤差越小，但是過多的循環(huán)運算不但會降低算法運算速度，還將導致方向圖旁瓣電平被抬高。一般情況下，可選擇滿足期望主瓣要求下的最小循環(huán)迭代次數。

5 結束語

結合自適應原理方向圖綜合法與優(yōu)化理論方向圖綜合法的特點，運用兩者混合算法實現對任意陣列的方向圖綜合，并就循環(huán)迭代次數對混合算法的影響進行了分析。為減小不同目標角指向對方向圖主瓣的影響，通過期望主瓣響應對陣列方向圖進行約束，使綜合后的方向圖在不同指向上與主瓣和期望主瓣一致。當然，實際應用中，要求測控天線掃描角的范圍很廣，甚至要求全空域內對目標保持持續(xù)的跟蹤與控制。僅僅依靠陣列方向圖綜合方法很難滿足上述需求，還需要對陣元分布進行優(yōu)化，將方向圖綜合方法與共形陣相結合，才能實現真正意義上的全空域陣列天線。此外，本文方向圖綜合方法在求解非凸優(yōu)化問題時，需要一定次數的迭代運算才能到達期望主瓣響應的要求，這也限制了算法在高實時性要求下的應用。

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