摘 要：通過對組合數(shù)學中的基本原理（加法原理、乘法原理）與微分學中的求導鏈式法則進行分析，得出二者的共同特性.可以得出：不同數(shù)學分支的不同原理具有相同的特性。

關鍵詞：加法原理；乘法原理；鏈式法則

中圖分類號：TP309-4；G642.4

加法原理和乘法原理是組合數(shù)學中的基本原理（以下簡稱組合學基本原理），而鏈式法則在微分學中一元復合函數(shù)求導與多元復合函數(shù)求偏導所依據(jù)的基本原理（以下簡稱求導基本原理）。組合數(shù)學基本原理與求導基本原理是數(shù)學兩個不同分支最基本又最重要的原理，初步看來似乎毫不相關，仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)，二者具有相同的特性。下面就這一點做一分析和探究。

1 組合學基本原理

1.1 加法原理

加法原理：記所要實現(xiàn)的“目標”為A，實現(xiàn)“目標”A需要經(jīng)過m個途徑，第1個途徑有n1種方法，第2個途徑有n2種方法，…，第m個途徑有nm種方法，則實現(xiàn)“目標”A共需要的方法總數(shù)N為

（1）

例1 從B地到達A地，有三種交通工具，第一種途徑是乘汽車到A地，共有5個車次；第二途徑是乘火車到A地，共有6次列車；第三途徑是乘輪船到A地，共有4趟輪船，問從B到達A地共有多少種走法？

這一問題可用圖1形象地表達。顯然，n1=5，n2=6，n3=4，N=n1+n2+n3=15，即從B地到達A地共有15種走法。

圖1

1.2 乘法原理

乘法原理：記所要實現(xiàn)的“目標”為A，實現(xiàn)“目標”A需要經(jīng)過m個步驟，第1步有n1種方法，第2個步n2種方法，…，第m步有nm種方法，則實現(xiàn)“目標”A共需要的方法總數(shù)N為：

（2）

例2 從B地到達A地，需要三步實現(xiàn)，第一步是先乘汽車從B地到達C地，共有5個車次；第二步轉乘火車從C地到達D地，共有6次列車；第三步轉乘輪船從D地到A地，共有4趟輪船。問從B到達A地共有多少種走法。

B→C→D→A，顯然，n1=5，n2=6，n3=4，N=n1+n2+n3=120，即從B到達A地共有120種走法。

綜上所述，不難看出，欲實現(xiàn)“目標”A，若分不同途徑實現(xiàn)，則采用加法原理；若分步驟實現(xiàn)，則使用乘法原理。

2 求導基本原理

2.1 一元復合函數(shù)求導數(shù)鏈式法則

一元復合函數(shù)求導數(shù)鏈式法則：假設u=f1（v1）在v1點可導，v1=f2（v2）在v2點可導，…，vm-1=fm-1（x）在x點可導。因變量u與中間變量v1，v2，…，vm-1及自變量x的關系可用u→v1→v2→…→vm-1→x表示。則u對x的導數(shù)為：

（3）

如果將自變量x看做“目標”，則要實現(xiàn)因變量u對“目標”求導，u到x經(jīng)過m個步驟，比較（2）式和（3）式，不難發(fā)現(xiàn)，一元復合函數(shù)求導鏈式法則與加法原理有共同之處：欲實現(xiàn)“目標”，若分步驟進行，應采用乘法。

例3 設，求。

記u=arctanv1，v1=ev2，v2=3x2，顯然，要實現(xiàn)“目標”。需要三步，即u→v1→v2→x。由于，，，由（3）式有

2.2 多元復合函數(shù)求偏導數(shù)鏈式法則

多元復合函數(shù)求偏導數(shù)鏈式法則：設n元函數(shù)y=f1（u1，u2，…，un）對于變量u1，u2，…，un的偏導存在，u1=f11（u11，u12，…，u1n1），u2=f21（u21，u22，…，u2n2），…，un=fn1（un1，un2，…，unnm）對各自的變量偏導均存在，u11，u12，…，u1n1；u21，u22，…，u2n2）；…，un1，un2，…，unnm均為x1，x2，…，xk的函數(shù)，且各偏導存在。

例4 設z=uv，u=excosy，v=3x+siny，求。

各變量關系如圖2所示：

圖2

顯然，要實現(xiàn)“目標”，從z到x需要2個途徑，每個途徑分別有2個步驟，所以有：

3 結論

通過上面的分析和討論，本文得出這樣的結論，無論是組合數(shù)學中的組合學基本原理，還是微分學中的求導基本原理，均具有如下共同特性：為實現(xiàn)“目標”，若需要若干個途徑時，采用加法準則；若需要若干個步驟時，采用乘法準則；若既有分途徑，又有分步驟時，將加法準則與乘法準則結合起來。

參考文獻：

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[2]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社（第六版），2012.

[3]林士美.應用數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：中國醫(yī)藥科技出版社，2009.

作者簡介：李宗學（1963.01-），男，內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市人，副教授，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計，應用數(shù)學。