摘 要：分?jǐn)?shù)階微積分在圖像處理過(guò)程中，能夠加強(qiáng)圖像的紋理細(xì)節(jié)，也有利于圖像的特征匹配。為了降低在分?jǐn)?shù)階圖像匹配過(guò)程中尋找合適階數(shù)所需要的大量人力和物力，本文提出了自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階尺度不變特性變換（SIFT）算法，將自適應(yīng)的圖像處理方法與高斯濾波相結(jié)合，利用自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)圖像處理對(duì)圖像加強(qiáng)，然后檢測(cè)出更準(zhǔn)確的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)行圖像匹配，提高圖像的匹配率。實(shí)驗(yàn)表明自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階在匹配中的應(yīng)用減少了尋找合適階數(shù)的麻煩，而且也可以達(dá)到較理想的匹配率。

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分；圖像增強(qiáng)；尺度不變特征變換；圖像匹配

中圖分類號(hào)：TP391.41

隨著分?jǐn)?shù)階微積分的定義被大家熟知，其應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，尤其是在信號(hào)分析與處理領(lǐng)域。分?jǐn)?shù)階微分在處理圖像時(shí)，可以在加強(qiáng)圖像高頻信息的同理，也保留低頻的輪廓部分。分?jǐn)?shù)階的這些顯著特點(diǎn)在文獻(xiàn)[1，2]中都得到了充分論證。

圖像特征匹配也是當(dāng)前計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。目前圖像匹配方法主要是基于灰度相關(guān)和特征的兩大類方法，前者直接利用圖像灰度進(jìn)行計(jì)算，匹配的成功率高，但是需要的時(shí)間較長(zhǎng)，不能適用于一些對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的項(xiàng)目；后者主要是先對(duì)圖像進(jìn)行提取，然后再進(jìn)行匹配，此類方法運(yùn)算量小，但相對(duì)匹配率不高。在實(shí)際應(yīng)用中，物體變形、遮擋、噪聲的影響也是不可避免的，為了能解決以上這些問(wèn)題，2004年DAIDLOWE提出的尺度不變特征變換（Scale Invariant Feature Transform，SIFT），SFIT被廣泛的應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤，圖像檢測(cè)、識(shí)別等諸多領(lǐng)域。文獻(xiàn)[3]提出將分?jǐn)?shù)階與SIFT相結(jié)合，利用分?jǐn)?shù)階對(duì)圖像的加強(qiáng)作用，提高了匹配率和關(guān)鍵點(diǎn)的個(gè)數(shù)。但是對(duì)于分?jǐn)?shù)階的選擇，一方面浪費(fèi)人力，另一方面要靠經(jīng)驗(yàn)，如果輸入階數(shù)不合適，會(huì)達(dá)不到預(yù)期的目標(biāo)，影響處理效果。文獻(xiàn)[4，5]提出了不同的階數(shù)的自適應(yīng)方法，將梯度與階數(shù)建立了一定的映射關(guān)系，或者利用分?jǐn)?shù)維求得圖像處理的階數(shù)，都可以達(dá)到不錯(cuò)的效果。本文利用圖像梯度信息和人眼視覺(jué)特性等理論的自動(dòng)生成分?jǐn)?shù)階與SIFT相結(jié)合的方法，一方面可以節(jié)省大量的人工尋求分?jǐn)?shù)階的時(shí)間，另一方面也得到較理想的配準(zhǔn)效果，使分?jǐn)?shù)階應(yīng)用于實(shí)時(shí)性要求較高的動(dòng)態(tài)目標(biāo)跟蹤成為可能。

1 自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分在圖像處理中的應(yīng)用

目前自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分在圖像中的應(yīng)用還不太多，本文利用文獻(xiàn)[4]中的方法，根據(jù)圖像本身的梯度特性和人類視覺(jué)特性等理論自動(dòng)尋找調(diào)整圖像需要的合適階數(shù)。自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分在圖像處理過(guò)程中與普通的分?jǐn)?shù)階處理圖像一樣，均需要掩模設(shè)計(jì)。

1.1 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分掩模及推導(dǎo)過(guò)程

目前流行的分?jǐn)?shù)階微積分的的計(jì)算的方法有Riemann-Liouville定義，Grunwald-Letnikov（G-L）定義和Caputo定義。本文采用對(duì)信號(hào)處理更精確的G-L定義對(duì)圖像進(jìn)行處理。分?jǐn)?shù)階微積分G-L差分定義如下：

（1）

其中：Gamma函數(shù)！，信號(hào)?（t）持續(xù)期為t∈[a，t]。對(duì)于圖像信號(hào)持續(xù)區(qū)間按等分間隔h=1進(jìn)行等分，可以得到n=[t-a]，對(duì)于一元信號(hào)分?jǐn)?shù)階微積分的差分表達(dá)式：

（2）

對(duì)于M×N的圖像f（x，y）用大小為m×n的濾波器w（s，t）進(jìn)行線性濾波，則輸出圖像g（x，y）可以用離散卷積表示：

（3）

其中a=（m-1）/2，b=（n-1）/2，w（s，t）在這里為掩模，為了得到完整的濾波圖像，不響影響平均梯度等特性，我們對(duì)距掩模中心在和的像素進(jìn)行逐個(gè)處理，對(duì)于大于此距離的像素點(diǎn)，則不處理，保留其灰度值。

在構(gòu)造分?jǐn)?shù)階微分掩模時(shí)，我們采用x軸正負(fù)方向，y軸正負(fù)方向，左右對(duì)角線方向8個(gè)方向的具有各向同性的算子掩模，以便使其對(duì)于圖像具有旋轉(zhuǎn)不變性。為了降低時(shí)間復(fù)雜度，不影響處理后的圖像紋理，在實(shí)驗(yàn)中我們采用3×3的掩模，對(duì)掩模內(nèi)的各個(gè)系數(shù)進(jìn)行歸一化處理同除以（8-8v），所以構(gòu)造近似分?jǐn)?shù)階微分算子掩模如圖所示。

表1 3×3的掩模模板

1.2 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程

圖像梯度反映了圖像灰度在空間上的變化率，表現(xiàn)在圖像上梯度大地方像素變化明顯；梯度變化小的地方，圖像則變化平緩；灰度相同區(qū)域，則梯度為零。圖像梯度實(shí)際是紋理的一個(gè)量化反映，據(jù)此我們來(lái)找出他們之間的函數(shù)映射關(guān)系。

圖像f在某像素點(diǎn)（x，y）上的梯度是一個(gè)二維列向量，為了降低計(jì)算量，梯度模值采用近似公式可得：

（4）

將偏微分部分可近似用差分代替，則梯度的模值可以表示為：

（5）

根據(jù)人類的視覺(jué)特性，人眼會(huì)在圖像灰度變化快的區(qū)域分辨力越強(qiáng)，這也是紋理細(xì)節(jié)豐富的區(qū)域，所以在這些區(qū)域應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)灰度間隔，對(duì)于邊緣突變的地方，應(yīng)當(dāng)約束灰度間隔。而在圖像灰度變化平緩的區(qū)域，保留其灰度不變。因此我們可以得到分?jǐn)?shù)階和梯度之間的一個(gè)關(guān)系，自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階用v表示。

（6）

其中，max’（G）是像素點(diǎn)最大梯度的模值，為了使所得分?jǐn)?shù)階的階數(shù)在0到1之間，ε1為任意正數(shù)，為了突出掩模中心點(diǎn)對(duì)鄰域各點(diǎn)的影響，可以增加一個(gè)可選的正數(shù)參數(shù)ε2，滿足如下條件。

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的限制，當(dāng)mag（G）>90，ε1等于max’（G），并且ε2要小于0.5，為了達(dá)到較好的效果，我們選擇ε2=0.499；當(dāng)2

（7）

由式7可知，利用整數(shù)階的梯度的概念推演得到了分?jǐn)?shù)階圖像處理的自適應(yīng)函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)根據(jù)圖像本身灰度變化得到在此像素點(diǎn)時(shí)需要的階數(shù)v（v∈（0，1]）。

2 自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階SIFT算法

目前匹配算法較多，SIFT的匹配能力較強(qiáng)，不但能夠提取穩(wěn)定特征，在圖像的旋轉(zhuǎn)、變換、平移行也能得到穩(wěn)定的匹配。然而在圖像模糊的時(shí)候，特征點(diǎn)不明顯的時(shí)候，匹配率可能就不太理想，這個(gè)時(shí)候我們利用分?jǐn)?shù)階可以實(shí)現(xiàn)圖像的加強(qiáng)這一點(diǎn)，將自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階用于圖像處理匹配算法中，讓圖像根據(jù)自己梯度的變化來(lái)調(diào)整階數(shù)，實(shí)現(xiàn)階數(shù)自動(dòng)化選取，也能得到較高的匹配率，具體設(shè)計(jì)如下：

2.1 尺度空間的極值點(diǎn)檢測(cè)

本算法用的是分?jǐn)?shù)階微分運(yùn)算結(jié)合高斯核總運(yùn)算得到尺度空間的微分變換公式：

Lv（x，y，σ）=G（x，y，σ）·w（s，t）·I（x，y） （8）

其中：v是分?jǐn)?shù)階的階數(shù)，是尺度空間變換高斯核，w（s，t）是分?jǐn)?shù)階掩模，I（x，y）是二維圖像。為了得到相對(duì)穩(wěn)定的關(guān)鍵點(diǎn)，Lowe采用不同尺度的高斯差分函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到高斯差分尺度空間函數(shù)：

（9）

k為常數(shù)，為了尋找極值點(diǎn)，對(duì)圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)和其相鄰點(diǎn)進(jìn)行比較，該點(diǎn)比其圖像域和尺度域相鄰點(diǎn)大或者小，則該點(diǎn)為特征點(diǎn)。

2.2 關(guān)鍵點(diǎn)的篩選和定位

把（11）式進(jìn)行展開(kāi)得到（12）式，然后進(jìn)行擬合，除去邊緣和對(duì)比度低的特征點(diǎn)，進(jìn)而得到需要的關(guān)鍵點(diǎn)。

（10）

2.3 關(guān)鍵點(diǎn)的方向參數(shù)的確定

關(guān)鍵點(diǎn)方向應(yīng)保持旋轉(zhuǎn)不變性，其參數(shù)由其領(lǐng)域像素的梯度方面分布的特性決定。由式（11）（12）可得到像素（x，y）的梯度和大小。

m（x，y）=（（Lv（x+1，y）-Lv（x-1，y））2+（Lv（x，y+1）-Lv（x，y-1））2）1/2

（11）

θ（x，y）=tan-1（（Lv（x，y+1）-Lv（x，y-1））/（Lv（x+1，y）-Lv（x-1，y））））

（12）

2.4 關(guān)鍵點(diǎn)描述子的生成

文獻(xiàn)[6]描述了其生成的具體算法。首先將平面坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到關(guān)鍵點(diǎn)的主方向，然后計(jì)算以關(guān)鍵點(diǎn)為中心的8×8窗口的每個(gè)特征點(diǎn)的梯度大小和方面，最后再把剛才窗口分為4個(gè)取以關(guān)鍵特征點(diǎn)為中心的窗口，計(jì)算每個(gè)特征點(diǎn)的梯度大小和方向，然后再把原窗口分為大小為4×4的4個(gè)這樣的小窗口，同時(shí)計(jì)算每個(gè)4×4窗口8個(gè)方面梯度方向直方圖，這樣一共可以生成128個(gè)數(shù)據(jù)，我們這128個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)描述做為SIFT的特征向量。兩幅圖像匹配就是通過(guò)計(jì)算各自特征點(diǎn)的歐氏距離來(lái)判斷這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是否匹配的。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階匹配算法的可行性與效率，我們選取了不同的圖片進(jìn)行匹配實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的匹配率比選擇的固定的階數(shù)方便易行，而且匹配率也較理想。我們選擇了三對(duì)不同圖像進(jìn)行匹配實(shí)驗(yàn)，具體的實(shí)驗(yàn)如下：

圖1 用0.5階和自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分的SIFT算法的匹配效果（3×3算子）

表2 0.5階和自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階算子匹配SIFT算法匹配效果分析

圖2 用0.5階和自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分的SIFT算法的匹配效果（3×3算子）

表3 0.5階和自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階算子匹配SIFT算法匹配效果分析

圖3 用0.5階和自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分的SIFT算法的匹配效果（3×3算子）

表4 0.5階和自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階算子匹配SIFT算法匹配效果分析

對(duì)比實(shí)驗(yàn)我們分別采用的是0.5階的和自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階的階數(shù)來(lái)進(jìn)行SIFT匹配實(shí)驗(yàn)的，結(jié)果是自適應(yīng)階數(shù)得到正確匹配率要高于0.5階的，關(guān)鍵點(diǎn)個(gè)數(shù)上略少于0.5階，但是不影響我們進(jìn)行圖像進(jìn)行匹配時(shí)需要的關(guān)鍵點(diǎn)，還避免了我們手動(dòng)的尋找合適的階數(shù)的麻煩，所以此方法是可行的。

4 結(jié)語(yǔ)

本文將自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分與SIFT匹配算法結(jié)合，代替原來(lái)手動(dòng)輸入分?jǐn)?shù)階階數(shù)的匹配算法，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階SIFT算法從一定程度上提高了匹配率，還減少了人工尋找合適階數(shù)的麻煩，在圖像匹配中還是比較有效的。

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作者簡(jiǎn)介：林曉然（1983.1-），女，助教，學(xué)科研究方向：圖像處理，非線性動(dòng)力學(xué)。