摘 要：為了改善心沖擊圖（Ballistocardiogram，BCG）信號的濾波效果，提出一種基于 分析的新閾值去噪方法，該方法克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，軟閾值函數(shù)中存在的恒定偏差問題，構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)，并用matlab軟件對硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和新閾值函數(shù)進(jìn)行仿真分析比較，實驗結(jié)果表明，在對BCG信號的去噪中新閾值函數(shù)具有更大的優(yōu)越性和有效性。

關(guān)鍵詞：心沖擊圖；閾值函數(shù)；小波分析

中圖分類號：TN911.4

由于心臟在跳動過程中血液流經(jīng)動脈血管的不同位置都會對身體產(chǎn)生不同方向的作用力。在動脈血管的上升段會產(chǎn)生從腳到頭的力，在下降段會產(chǎn)生從頭到腳的力，因此根據(jù)牛頓第三定律身體會產(chǎn)生平行于脊椎方向的微小震動，通過對這種震動的檢測，可以得到心沖擊圖（Ballistocardiogram，BCG）信號[1]。心臟的機(jī)械活動可以由BCG信號進(jìn)行表征，Starr指出，正常的BCG與心跳協(xié)調(diào)一致，具有重復(fù)性[2]。但是采集到的BCG信號中由于環(huán)境干擾含有大量噪聲，采集到的體震信號經(jīng)過小波變換，BCG信號產(chǎn)生的小波系數(shù)的幅值較大，噪聲產(chǎn)生的小波系數(shù)幅值較小。小波閾值法可以使用閾值處理小波系數(shù)，對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)去除BCG信號中的噪聲[3]。

1 小波變換

小波（wavelet）是空間（時間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。它在時域上具有近似集，且具有波動性，克服了傅立葉變幻中窗口大小不隨頻率變化的缺點。小波分析過程是將原始信號分解成不同小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過伸縮平移得來的。

小波變換的過程是將母小波函數(shù)Ψ（t）作位移τ后，在不同尺度а下與原始信號f（t）作內(nèi)積，可表示為：

（1）

Ψ（t）相當(dāng)于一個寬度可變的窗函數(shù)，在分解尺度較小即當(dāng)α值變小時，此時的小波分析相當(dāng)于用較高分辨率的窗口進(jìn)行細(xì)節(jié)分析；當(dāng)分解尺度變大時，此時的小波分析相當(dāng)于用較低分辨率的窗口進(jìn)行概貌分析。無論分析頻率是高還是低，在各頻段內(nèi)的中心頻率與帶寬的比值是一定的。因此，母小波也稱為恒Q濾波器[4][5][6]。

2 閾值去噪

2.1 基本原理

小波濾波主要是由對原始信號的小波變換、對小波系數(shù)進(jìn)行非線性處理和小波逆變換三部分構(gòu)成。根據(jù)非線性處理方法不同，小波濾波可以分為模極大值處理算法，空域相關(guān)濾波算法及閾值法三種[7][8][9]，其中閾值法速度快，滿足系統(tǒng)所要求的實時顯示的功能，所以，本文應(yīng)用的是閾值法。

對原始信號進(jìn)行小波變換后，由于BCG信號產(chǎn)生的小波系數(shù)幅值較大，而信號中噪聲產(chǎn)生的小波系數(shù)幅值較小，閾值法按照一定的閾值處理每一個小波系數(shù)，對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)就可以去除原始信號中的噪聲[10][11]。

2.2 常見的閾值函數(shù)

其中，閾值函數(shù)中的dj，k為第j尺度下的第k個小波系數(shù)， 為閾值函數(shù)處理后的小波系數(shù)，λ為閾值。使用通用閾值時， ，σ2為白噪聲的方差。

3 新閾值去噪方法

3.1 閾值函數(shù)的改進(jìn)

由于使用軟閾值函數(shù)處理后的小波系數(shù)與原始小波系數(shù)之間存在偏差，而經(jīng)過硬閾值函數(shù)處理后的小波系數(shù)在±λ處不連續(xù)。因此在對閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)的時候，需要克服以上兩種缺點。文獻(xiàn)[12]-[13]提出了使用Garrote函數(shù)作為小波分析的閾值函數(shù)；文獻(xiàn)[14]提出了基于多項式插值法進(jìn)行處理。也有學(xué)者在軟硬閾值折衷法的基礎(chǔ)上對其指數(shù)部分進(jìn)行改進(jìn)構(gòu)造一種新的改進(jìn)閾值的函數(shù)形式[15]。通過對上述文獻(xiàn)的調(diào)研，可以發(fā)現(xiàn)設(shè)計的閾值函數(shù)必須滿足以下幾個條件：函數(shù)具有連續(xù)性保證去噪后的信號不會產(chǎn)生附加震蕩；函數(shù)較為簡單，參數(shù)方便調(diào)節(jié)；函數(shù)在閾值附近需要有個平穩(wěn)的過渡帶，更加接近自然信號特點。

3.2 新閾值函數(shù)

本文提出了一個新的閾值函數(shù)，其形式為：

（4）

其中N為任意常數(shù)，可以通過調(diào)節(jié)N的值來調(diào)節(jié)閾值大小，改變閾值函數(shù)的形態(tài)， 。M為信號長度。

式（4）所示的閾值函數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）保證了小波系數(shù)在±λj處連續(xù)，從而避免了重構(gòu)的BCG信號的震蕩現(xiàn)象。

如圖所示，新的閾值函數(shù)具備上述特點，如果希望盡量保留信號，可以將N取的盡量小一些。如果想得到較好的光滑性，將N取的相對大一些，更加接近軟閾值法的處理結(jié)果。

4 實驗結(jié)果與分析

由于本文需要處理的是BCG信號，信號中的特征保留對于心率提取工作至關(guān)重要。鑒于采集到的BCG信號沒有不含噪聲的信號，無法直接計算信噪比與均方誤差的原因，本文通過去噪前后的功率譜密度評價去噪結(jié)果，結(jié)果見圖2和圖3。

去噪前BCG信號在大于50Hz時PSD有尖峰出現(xiàn)，說明有高頻信號，應(yīng)用本文所采用的新閾值函數(shù)進(jìn)行去噪后，小于40Hz的部分PSD值與去噪前基本相同，證明本方法對保留原始信號的低頻成分有效，而大于50Hz的PSD值再無峰值出現(xiàn)。說明本方法能夠去除原始信號中的高頻信號。

使用BCG信號計算心率時采用計算J波間隔的方法，因此濾波后J波幅值的保留十分重要。從對特征點保留的情況上來看如表1，軟閾值最差，硬閾值最好，本文采用的方法也得到比較好的結(jié)果。

5 結(jié)束語

本文介紹了一種新的閾值函數(shù)應(yīng)用到BCG信號的去噪，討論了不同閾值函數(shù)的處理結(jié)果，通過與硬、軟閾值函數(shù)小波去噪效果的比對，應(yīng)用本文提出的閾值函數(shù)去噪后的BCG信號更好地保留了原始信號的特征，與原始BCG信號的功率譜密度比較，本文的方法高頻部分明顯平滑且低頻部分沒有衰減，再次證明了本文提出方法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]Trefny Z， Trojan S， Toman V，et al. New trends in ballistocardiography [J]. Measure Science Review， 2003，3 （2）：45-48.

[2]Starr I， Sehroeder HA. Ballistocardiogram II， normal standards， abnormalities commonly found in diseases of heart and circulation， and their significance [J]. Journal Clinical Investigation， 1940， 19（3）： 437-450.

[3]Donoho D L. De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Trans Inform Theory，1995，41（3）：613-627.

[4]Donoho DL. Nonlinear wavelet methods for recovery of signals， densities， and spectra from indirect and noisy data [C]. Proceeding of symposia in Applied Mathematics， 1993： 173-205.

[5]Vetterli M and Herley C. Wavelets and filter banks： theory and design[J].IEEE Transactions on Signal Processing. 1992， 40（9）： 2207-2232.

[6]Meyer Y. Wavelets： algorithms and applications [M].Philadelphia： Society for Industrial and Applied Mathematics. 1993： 13-105.

[7]Donoho DL， Johnstone I. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage[J].Biometrika， 1994， 81（3）： 425-455.

[8]Donoho DL，Johnstone LM. Adapting to unknown smoothness via wavelets shrinkage [J]. Joumal of American Statiseal Association. 1995，90： l-17.

[9]Donoho DL. De-noising by soft thresholding[J].IEEE Tran informs Theory.1995， 41（3）： 613- 627.

[10]金晶晶，王旭，吳雪，楊丹.基于改進(jìn)閾值函數(shù)的體震信號平移不變?nèi)ピ?東北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，3（30）：333-336.

[11]Gao HY， Bruce AG. Waves shrink with firm shrinkage[J].Statistical Sonica.1997， 7： 855 -874.

[12]Gao HY.Wavelet shrinkage de-noising using the non-negative garrote [J].Journal of Computational and Graphical Statistics.1998，7（4）：469-488.

[13]Bruce AG，Gao HY.Wace shrink：Shrinkage function and thresholds [C].Wavelet Applications in Signal and Image Processing.1996，2569：270-281.

[14]Hosur S， Tewfik AH.Wavelet Transform Domain Adaptive FIR Filtering[J].IEEE Transaction on Signal Processing.1997，45（3），617-630.

[15]Song Guoxiang， Zhao Ruizhen.Three novel models of threshold estimator for wavelet coefficients [C].Proceedings of the Second International Conference on Wavelet Analysis and Its Applications，London： Springer-Verlag.2001：145-150.

[16]蘇麗，趙國良，張仁彥.基于改進(jìn)小波閾值法的平移不變心電信號去噪[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2006，27（6）：839-843.

作者簡介：馬志新（1989-），女，河南唐河人，碩士研究生，算法工程師，研究方向：生物醫(yī)學(xué)工程。

作者單位：上海寬帶技術(shù)與應(yīng)用工程研究中心，上海 200336

基金項目：智慧社區(qū)服務(wù)管理創(chuàng)新關(guān)鍵技術(shù)研究與應(yīng)用示范（2012BAJ05B05 ）；上海寬帶技術(shù)及應(yīng)用工程技術(shù)研究中心 （12DZ2280200 ）