6174問題

小時(shí)候，我曾經(jīng)在《十萬(wàn)個(gè)為什么》的數(shù)學(xué)分冊(cè)上看到一個(gè)叫做“數(shù)字黑洞”的數(shù)學(xué)游戲：任意選一個(gè)四位數(shù)（數(shù)字不能全相同），把所有數(shù)字從大到小排列，再把所有數(shù)字從小到大排列，用前者減去后者得到一個(gè)新的數(shù)；重復(fù)對(duì)新得到的數(shù)進(jìn)行上述操作，7步以內(nèi)必然會(huì)得到 6174。例如，選擇四位數(shù)8080，于是8080-0088=8712，8721-1278=7443，7443-3447=3996，9963-3699=6264，6652-2466=4176，7641-1467=6174。6174這個(gè)數(shù)究竟有什么特別的呢？如果你試著從6174出發(fā)，再往下走一步，就會(huì)發(fā)現(xiàn)端倪了：用7641減去1467，結(jié)果還是6174。因而，只要你在某一步得到了6174，今后便再也出不去了，就像在黑洞里一般。而神奇的是，所有其他的數(shù)最終都無(wú)一例外地會(huì)墜入6174這個(gè)黑洞當(dāng)中。

這是為什么？當(dāng)時(shí)，我成功地意識(shí)到，為了證明這個(gè)結(jié)論，只需要把所有可能的四位數(shù)全部試一遍即可。所有的四位數(shù)不到10000個(gè)，如果每天堅(jiān)持試其中30個(gè)數(shù)的話，不到一年便可以完成驗(yàn)證。好奇心指使我啟動(dòng)了這項(xiàng)龐大的工程。

當(dāng)天，沒算幾個(gè)數(shù)，我就漸漸地發(fā)覺，這項(xiàng)工程所需要的工程量遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有那么大，因?yàn)槲覀兛梢员苊夂芏嘀貜?fù)的工作。例如，一旦算過了1234后，1243、3241等數(shù)都不用計(jì)算了。事實(shí)上，1、2、3、4四個(gè)數(shù)字總共有24種排列方法，它們本質(zhì)上都是相同的情況，我們只需要從中任選一個(gè)代表即可。這樣算下來(lái)，真正需要檢驗(yàn)的數(shù)只有700多個(gè)。我自己也沒想到，第二天晚上，我便完成了所有的檢驗(yàn)。

《十萬(wàn)個(gè)為什么》上還介紹說，在三位數(shù)中，也有一個(gè)類似的數(shù)字黑洞，即495。然而，在五位數(shù)當(dāng)中卻不存在這樣的數(shù)字黑洞。例如，從53955出發(fā)，下一步會(huì)變成59994，再下一步又會(huì)變成53955，如此反復(fù)，形成一個(gè)長(zhǎng)度為2的周期性循環(huán)，仿佛有秩序的行星運(yùn)動(dòng)一般。我真切地感受到了一種由數(shù)字帶來(lái)的樂趣。

21200問題

若干年后，我在另一本書上看見了一道智力題，書的名字早已忘記了。題目大致是這樣的：想一個(gè)五位數(shù)abcde，使得這個(gè)五位數(shù)里面正好有a個(gè)數(shù)字0、b個(gè)數(shù)字1、c個(gè)數(shù)字2、d個(gè)數(shù)字3和e個(gè)數(shù)字4。很快，我便發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的棘手之處：這些數(shù)字相互關(guān)聯(lián)，相互制約，可謂是牽一發(fā)而動(dòng)全身。40000是一個(gè)非常容易想到的近似答案，確實(shí)里面有四個(gè)0，并且沒有數(shù)字1、2、3?？上Ь筒钜稽c(diǎn)：這里面有一個(gè)4，而不是沒有4。那么，把它改成40001呢？這樣一來(lái)，數(shù)字4的個(gè)數(shù)確實(shí)對(duì)了，但數(shù)字0和數(shù)字1的個(gè)數(shù)卻又錯(cuò)了。

我突然產(chǎn)生了一個(gè)大膽的想法：如果不斷地去修正剛才的結(jié)果，最終會(huì)怎樣？40001里面有三個(gè)0、一個(gè)1、一個(gè)4，于是我們把40001改成31001；31001里面有兩個(gè)0、兩個(gè)1、一個(gè)3，于是我們把31001改成22010；22010里面有兩個(gè)0、一個(gè)1、兩個(gè)2，于是我們把22010改成21200；21200里面有兩個(gè)0、一個(gè)1、兩個(gè)2，于是……這就是正確答案了！

隨便選了一個(gè)數(shù)，按照規(guī)則一步一步演變，不斷產(chǎn)生與前一個(gè)數(shù)相符的數(shù)，最后果然得到了一個(gè)與自身相符的數(shù)。我突然意識(shí)到，21200就像6174一樣，也是一個(gè)數(shù)字黑洞，只不過是另一種變換規(guī)則下的數(shù)字黑洞！更有意思的是，21200問題和6174問題還有很多驚人的相似之處。例如，如果把問題變成，找一個(gè)六位數(shù)abcdef使得里面正好有a個(gè)0、b個(gè)1、c個(gè)2、d個(gè)3、e個(gè)4和f個(gè)5，那么這個(gè)問題就無(wú)解了。不斷求出下一個(gè)數(shù)，最終并不會(huì)跌入一個(gè)黑洞，而會(huì)產(chǎn)生某些周期性的循環(huán)。例如，311100會(huì)變成230100，下一步則又會(huì)變回311100。

一個(gè)有意思的問題出現(xiàn)了：21200問題和6174問題究竟有多少相通的地方？怎樣的變換規(guī)則作用在怎樣的范圍內(nèi)，才能產(chǎn)生黑洞？深入挖掘下去，或許會(huì)產(chǎn)生一個(gè)全新的理論！我隱約開始意識(shí)到，以前所看到的“數(shù)學(xué)之美”都太表面了。數(shù)學(xué)之美并不是結(jié)論之美，也不是證明之美，也不是應(yīng)用之美，而是一種約等于“在更高層面上進(jìn)行一般化、普遍化、廣義化”的數(shù)學(xué)理念。

autogram問題

2010年6月，在我整理博客過往內(nèi)容的時(shí)候，我翻到了三年前所寫的一篇講英文文字游戲的文章。在那篇文章里，我提到了一個(gè)叫做autogram的文字游戲——精心構(gòu)造一個(gè)英文句子，使得它正好符合它本身所述的內(nèi)容。我最喜歡的一個(gè)autogram如下：

This autogram contains five a's， one b， two c's， two d's， thirty-one e's， five f's， five g's， eight h's， twelve i's， one j， one k， two l's， two m's， eighteen n's， sixteen o's， one p， one q， six r's， twenty-seven s's， twenty-one t's， three u's， seven v's， eight w's， three x's， four y's， and one z.

我突發(fā)奇想，能否構(gòu)造一個(gè)類似的中文句子？很容易看到，這個(gè)問題的難點(diǎn)與21200問題如出一轍，都是要尋找一個(gè)恰好能描述自己的句子。這好比是在針尖上搭建積木樓房一般，我們需要小心翼翼地調(diào)整積木的位置，尋找一個(gè)精確的平衡點(diǎn)。我打算采用當(dāng)初解決21200問題的辦法：不斷用新的句子去描述剛才的句子。如果最終句子不再變化，我們便得到了一個(gè)“自我描述句”。然而，這種方法并不總是奏效，只有某些句子模板才能讓不停變化的句子最終穩(wěn)定下來(lái)，另外的句子模板則往往會(huì)讓句子產(chǎn)生振蕩。我最終找到了下面這個(gè)句子，并把它發(fā)在了自己的博客上：

這句話里有五個(gè)“一”、十個(gè)“兩”、兩個(gè) “三”、一個(gè)“四”、兩個(gè)“五”、一個(gè)“六”、一個(gè)“七”、兩個(gè)“八”、一個(gè)“九”、三個(gè)“十”、兩個(gè)“這”、兩個(gè)“句”、兩個(gè)“話”、兩個(gè)“里”、兩個(gè) “有”、兩個(gè)“和”和十八個(gè)“個(gè)”。

看來(lái)，我們不但有數(shù)字黑洞，還有句子黑洞。因而，如果真的要為它建立一套理論，那我們一定會(huì)建立一套極其抽象的理論，能夠描述各種事物在各種場(chǎng)合下黑洞的存在條件和尋找方法。

抽象，抽象，再抽象

我再也按捺不住了，在網(wǎng)上好好搜索了一番。于是，我第一次知道了“不動(dòng)點(diǎn)理論”這個(gè)詞。

起初人們用字母來(lái)代替一切數(shù)量，后來(lái)開始用字母代替一切數(shù)，再后來(lái)開始用字母代替一切，最后干脆把它們抽象成一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)。不管是對(duì)數(shù)字的操作，還是對(duì)句子的改寫，都可以抽象地看作是把一個(gè)點(diǎn)變換到另一個(gè)點(diǎn)。給定某種變換規(guī)則后，你或許會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些點(diǎn)在變換之后保持不動(dòng)，仍然是它自己，這樣的點(diǎn)就叫做“不動(dòng)點(diǎn)”。

數(shù)學(xué)家們找到了各種各樣保證不動(dòng)點(diǎn)存在的條件，得出了一個(gè)又一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)定理”。荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾證明了布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫證明了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，這都是非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)結(jié)論。博弈論中的納什均衡，計(jì)算機(jī)中的Y combinator，其核心思想都離不開不動(dòng)點(diǎn)。

數(shù)學(xué)的精髓就是抽象，抽象，再抽象。法國(guó)數(shù)學(xué)龐加萊曾經(jīng)說過，詩(shī)歌的藝術(shù)在于給相同的東西取不同的名字，數(shù)學(xué)的藝術(shù)在于給不同的東西取相同的名字。巴拿赫有一句更精彩的話：數(shù)學(xué)家能夠在定理之間進(jìn)行類比，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家能夠在證明之間進(jìn)行類比，最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家能夠在理論之間進(jìn)行類比，可以想象，終極數(shù)學(xué)家則可以在類比之間進(jìn)行類比。

我們從不同的數(shù)學(xué)定理當(dāng)中尋找共同點(diǎn)，得出了很多新的理論。我們還能更進(jìn)一步地，從不同的證明過程當(dāng)中尋找共同點(diǎn)，得出很多新的數(shù)學(xué)方法。反證法、裂項(xiàng)法、放縮法、染色法、賦值法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、無(wú)窮遞降法……這些寶貴的數(shù)學(xué)方法都是在大量證明的類比中獲得的。但是，這還不算是最厲害的，在成套的理論之間尋找共同點(diǎn)，由內(nèi)而外地進(jìn)行類比，才能夠得到更深刻、更基礎(chǔ)、更本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念。整數(shù)之間的加減乘除、多項(xiàng)式之間的加減乘除、矩陣之間的加減乘除有一系列可比之處，數(shù)學(xué)家們便抽象出“環(huán)”的概念；兩個(gè)點(diǎn)之間的直線距離、兩個(gè)格子之間的曼哈頓距離、兩個(gè)字符串之間的編輯距離也有一系列可比之處，數(shù)學(xué)家們便抽象出“度量空間”的概念。注意，這些類比方法本身也有很多相通之道，整理起來(lái)，便是最終極的數(shù)學(xué)思想了。

領(lǐng)悟這些數(shù)學(xué)思想，恐怕還有大半輩子的路要走。毫無(wú)疑問，這條路上的風(fēng)景將會(huì)越來(lái)越精彩。

責(zé)任編輯：張蕾磊