王福謙

(長治學(xué)院電子信息與物理系，山西長治046011)

圓柱形電容器由于受力或工藝問題，可成為橢圓柱形電容，這一變化對電容器的電容量及耐壓能力都將產(chǎn)生影響，使電容器的性能指標(biāo)偏離設(shè)計值。有關(guān)文獻(xiàn)［1-9］僅討論了橢圓柱形電容器的電容量及電勢和場強(qiáng)(標(biāo)量式)分布，但對由于極板截面橢圓化對圓柱形電容器耐壓能力影響的定量分析，相關(guān)文獻(xiàn)還未見涉及.為此，筆者擬利用保角變換和數(shù)學(xué)軟件研究此問題。

1 橢圓柱與圓柱橫截面之間的變換

圖1為一長、短半軸分別為a、b的長直橢圓柱導(dǎo)體的橫截面.在復(fù)平面z上，以橢圓中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，場點(diǎn)的位置為P(x，y)。經(jīng)如下的儒可夫斯基變換

圖1 導(dǎo)體橢圓柱的橫截面及其外部的場點(diǎn)

式(1)中的c為橢圓的半焦距，如圖2所示，w復(fù)平面上的圓w(u，v)=Reiθ就變換為圖1中z平面的橢圓.圖2中的導(dǎo)體截面圓的半徑為R=(a+b)/c，而與z平面上的場點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)的w平面上場點(diǎn)P'(u，v)的位置坐標(biāo)及其矢徑r以下兩式［10］確定

其中

圖2 變換后的導(dǎo)體圓柱及其外部的場點(diǎn)

2 橢圓柱與圓柱電容器橫截面的變換

圖3為一長、短半軸分別為a1、b1和的a2、b2長直共焦橢圓柱形電容器的橫截面.內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為U0，其間為真空。在這個區(qū)域中，電勢滿足拉普拉斯方程。經(jīng)變換式(1)后，w復(fù)平面上的兩同心圓w(u，v)=R1eiθ和w(u，v)=R2eiθ(見圖 4)，變換為圖3中z平面上的兩共焦橢圓.圖4中的兩圓的半徑分別為R1=(a1+b1)/c和R2=(a2+b2)/

由于在w平面上電容器的橫截面的形狀為圓形，即為圓柱形電容器，其內(nèi)部電場在該截面上呈對稱分布，故在w平面上可按圓柱形電容器的情形來討論電場分布規(guī)律.

圖3 橢圓柱形電容器的橫截面及其內(nèi)部的場點(diǎn)

圖4 變換后的同心圓環(huán)形區(qū)域及其內(nèi)部的場點(diǎn)

3 橢圓柱形電容器內(nèi)的電場分布

設(shè)橢圓柱電容器內(nèi)、外極板之間的電壓為U0，由于保角變換并不能改變內(nèi)、外極板之間的電壓，故變換后的圓柱形電容器內(nèi)、外極板間的電壓仍為U0。

對圓柱形電容器，其中的電場分布是徑向的，大小與半徑成反比.即

其中A為與電容器兩極板之間電壓值有關(guān)的常數(shù)，er為圓柱形電容器橫截面上的徑向單位矢。

因為

則

因此，圓柱形電容器內(nèi)的電場強(qiáng)度分布為

式中eu、ev為圓柱形電容器橫截面上沿橫、縱軸正向的單位矢。

圓柱形電容器兩極板之間的電勢分布為(內(nèi)極板的電勢高于外極板)

將式(2)代入式(6)，有

式(7)和式(8)為橢圓柱電容器橫截面上的電場分布表達(dá)式.其中和 ey分別為沿橢圓柱電容器橫截面共焦橢圓半長軸和半短軸方向的單位矢，且 ex=eu，ey=ev。

圖5和圖6為利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB所繪制出的橢圓柱形電容器橫截面上電場線與等勢線分布圖.

圖5 橢圓柱電容器內(nèi)的電場線與等勢線(面)圖(a1=3 m、b1=2 m，a2=5 m、b2= m)

圖6 橢圓柱電容器內(nèi)的電場線與等勢線(面)圖(a1=8 m、b1=2 m，a2=9 m、b2= m)

圖5和圖6中的電場線依相鄰電場線間的電通量相同繪制出，而等勢線則按相鄰等勢線間電勢差相等畫出。圖中的電場線與等勢面及極板垂直，且在橢圓柱電容器內(nèi)部，愈靠近內(nèi)極板表面，電場愈強(qiáng).內(nèi)、外極板長軸頂點(diǎn)處的場強(qiáng)要大于極板的其他部位。比較圖5和圖6可以看出，當(dāng)電容器極板截面橢圓的焦距增大時，內(nèi)、外極板長、短軸頂點(diǎn)處場強(qiáng)差增大。作出的圖與預(yù)期結(jié)果相符.圖5中a1=3 m、b1=2 m，m;圖 6 中a1=8 m、b1=2 m，a2m;兩圖中電容器極板間的電壓均為U0=100 V.

4 耐壓能力

由式(8)可知，當(dāng)x=a1，y=0時，可得到橢圓柱電容器內(nèi)極板半長軸頂點(diǎn)處的場強(qiáng)為

長、短半軸分別為a、b的橢圓的周長的近似值為，由此得該橢圓轉(zhuǎn)換為圓的半徑為

由式(9)又可得變形后的共焦橢圓柱電容器內(nèi)極板長軸頂點(diǎn)處的場強(qiáng)

同理，對橫截面尺寸如圖6的橢圓柱電容器，其變形前內(nèi)極板表面處的場強(qiáng)為

而變形后的共焦橢圓柱電容器內(nèi)極板長軸頂點(diǎn)處的場強(qiáng)則為

比較式(11)、式(12)及式(13)、式(14)可知，在電源電壓一定的情況下，橢圓柱電容器內(nèi)極板長軸頂點(diǎn)處的場強(qiáng)要大于變形前的圓柱形電容器內(nèi)極板上表面處的場強(qiáng)，其外極板長軸頂點(diǎn)處的場強(qiáng)也滿足此關(guān)系。所以，當(dāng)圓柱形電容器不論由于工藝問題還是由于受力變形，其截面成為橢圓狀時，都要導(dǎo)致其耐壓能力降低，并且橢圓的焦距越大，耐壓能力降低的程度越高。由式(10)可知，截面橢圓長、短半軸分別為a1=3 m、b1=2 m和a2=5 m、b2的橢圓柱形電容器，變形為此形狀前對應(yīng)的圓柱形電容器的截面圓的內(nèi)、外半徑分別為R1=2.525 3 m、R2=4.743 7 m，而截面橢圓長、短半軸分別為a1=8 m、b1=2 m和的橢圓柱形電容器，變形為此形狀前對應(yīng)的圓柱形電容器的截面圓的內(nèi)、外半徑分別為R1=5.5 m、R2=6.975 m。圖7和圖8為通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB分別繪制出的這兩組內(nèi)、外半徑數(shù)據(jù)下的圓柱形容器內(nèi)的電場分布圖。

將圖7和圖8分別與圖5和圖6比較可看出，橢圓柱電容器內(nèi)極板長軸頂點(diǎn)處的電場線(或等勢線)密度，要大于變形前的圓柱形電容器內(nèi)極板表面處的電場線(或等勢線)密度，此處場強(qiáng)變大，與式(11)和式(12)計算結(jié)果一致。這說明，當(dāng)圓柱形電容器發(fā)生形變而成為橢圓柱形電容器時，其耐壓能力將降低。

圖7 形變前的圓柱形電容器內(nèi)的電場分布圖(R1=2.525 3 m、R2=4.743 7 m)

圖8 形變前的圓柱形電容器內(nèi)的電場分布圖(R1=5.5 m、R2=6.975 m)

下面計算極板橢圓化前后圓柱電容器耐壓能力的改變量。由式(11)和式(12)可得，在介質(zhì)的介電強(qiáng)度(即擊穿場強(qiáng))一定的情況下，橢圓柱形電容器所承受的電壓Ue要小于同軸圓柱形電容器所承受的電壓Uc，在電容器所填充介質(zhì)相同的情況下，橢圓柱形、圓柱形電容器的耐壓能力之比Ue/Uc為

或

下面根據(jù)式(15)給出Ue/Uc隨極板橢圓尺寸變化的一組數(shù)據(jù)，以此來說明橢圓柱形電容器的耐壓能力隨橢圓尺寸的變化情況。

表1 耐壓能力Ue/Uc隨極板橢圓尺寸的變化

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，若電容器的內(nèi)、外極板的橢圓長、短半軸分別為 3 m、2.95 m及 5 m、4.970 2 m，知Ue/Uc=99.16%，即內(nèi)、外極板的橢圓的半焦距為0.545 4時，該電容器的耐壓能力為其同軸時的約 99.16%，取Uc=220 V，則Ue=218.15 V;若電容器的內(nèi)、外極板的橢圓長、短半軸分別為3 m、2.70 m及5 m、4.826 0 m，知Ue/Uc=94.78%，即內(nèi)、外極板的橢圓的半焦距為1.307 7時，該電容器的耐壓能力為其同軸時的約94.78%，取Uc=220 V，則Ue=208.5 V。顯然，圓柱形電容器由于極板截面的橢圓化，將使其耐壓能力降低，橢圓化超過一定程度，耐壓能力將較大程度地低于工作電壓，電容器有被擊穿的危險，不能正常工作。

綜上所述，圓柱形電容器的橫截面由于工藝上出現(xiàn)的橢圓化，將直接影響到電容器的使用壽命和質(zhì)量。由本文的結(jié)論可知，為保證電容器的質(zhì)量和使用壽命，在生產(chǎn)工藝上要求盡量減小其橢圓化程度，將其需控制在一定范圍之內(nèi)。本文所討論的為圓柱形電容器的極板截面橢圓化為共焦橢圓的情形，表1中所提供的耐壓能力隨極板截面橢圓尺寸的變化數(shù)據(jù)供生產(chǎn)廠家參考。

5 結(jié)束語

計算機(jī)數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第3種研究手段，本文將理論分析與計算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，通過橢圓柱形電容器電場分布的可視化，研究了極板截面橢圓化對圓柱形電容器耐壓能力的影響，故所得數(shù)據(jù)精確度高且可靠，可為一般的電容器的加工制作精度提供理論依據(jù)和參考數(shù)據(jù)，對提高圓柱形電容器的質(zhì)量，定量計算生產(chǎn)中出現(xiàn)的工藝偏差具有一定的理論價值和實際意義，本文所使用的研究方法也可供電容器研究專業(yè)人員在新型電容器的設(shè)計和研發(fā)方面借鑒。

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