[摘 要]現(xiàn)在我國養(yǎng)老金改革處于過渡期，養(yǎng)老金替代率嚴重影響著養(yǎng)老基金的收支平衡，替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。針對此問題，本文根據(jù)山東省2011—2050年的工資預測表，以及2009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表，研究職工從30、40歲開始繳養(yǎng)老保險直到退休（55、60、65歲）情況下的各種養(yǎng)老金替代率，建立基本養(yǎng)老金模型，在此基礎(chǔ)上得到替代率的模型，并運用數(shù)學軟件Matlab計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，同時計算職工繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡時該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金的年數(shù)。本文將從養(yǎng)老金替代率、養(yǎng)老基金收支平衡等方面，對養(yǎng)老金制度改革提出分析和建議。

[關(guān)鍵詞]Matlab；替代率；基金收支平衡

[中圖分類號]F842.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1005-6432（2013）12-0051-04

隨著老齡化社會的到來，世界各國養(yǎng)老保險體系受到了嚴峻的挑戰(zhàn)，尤其是發(fā)展中國家尚未成熟的養(yǎng)老保險體系。在面臨人口老齡化所帶來的養(yǎng)老金支付困難時，世界各國紛紛進行改革，探索建立一個新的制度框架。我國為了適應社會主義市場體制改革的需要，同時也是為了應對老齡化社會的風險，從20世紀80年代中期開始，國家進行了以“退休基金統(tǒng)籌”為主要內(nèi)容的基本養(yǎng)老金制度改革。

養(yǎng)老金制度建立的重要職能是通過國家和社會為老年人提供晚年的經(jīng)濟保障，其中，養(yǎng)老基金的籌集和保持基金的收支平衡是最重要的、最關(guān)鍵的問題，它關(guān)系到養(yǎng)老金制度是否能持續(xù)、有效地運轉(zhuǎn)下去。因此，有必要對基金收支平衡進行深入研究。

1 養(yǎng)老金替代率問題

1.1 基本假設(shè)

（1）個人賬戶的繼承額和管理費用為零。

（2）基本養(yǎng)老保險的繳費不考慮工資限額，而以職工的工資總額計算的平均工資作為計費基礎(chǔ)。

（3）假設(shè)每一代人生活在工作和養(yǎng)老兩個時期。

1.2 符號說明

P——養(yǎng)老金；C——繳費工資指數(shù)；

N——計發(fā)月數(shù)；M——繳費年限；

qi——社會平均工資增長率Q=1+qi；r——個人賬戶記賬利率 R=1+r；

M——R與Q的比值；Ri——各個年齡段職工的工資總和；

W——社會平均工資；zi——各年齡段職工總數(shù)；

W0——社會工資基數(shù)，即參保前1年的上年度社會平均工資。

1.3 模型建立

首先我們根據(jù)2009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表，求得該企業(yè)職工繳費指數(shù)作為參考值，取各年齡段繳費指數(shù)的平均值計算以下6種情況下的養(yǎng)老金替代率。

養(yǎng)老金包括兩個部分：基礎(chǔ)養(yǎng)老金和個人賬戶養(yǎng)老金?；A(chǔ)養(yǎng)老金的計算相對簡單，在我們的模型中把繳費年限作為獨立變量，只要根據(jù)退休前一年社會平均工資的增長率就可以得出退休時的社會平均工資。個人賬戶養(yǎng)老金的計算相對復雜，因為個人賬戶是一個積累量，每年積累的量不一樣，同時還需要考慮記賬利息因素。在模型中，對個人賬戶的處理方法是逐年計算個人賬戶存儲額，并同時考慮該金額到退休時的本金及利息，最后將所有年度的本息進行累加。

養(yǎng)老金計算模型。

基本養(yǎng)老金的計算公式為（具體推導過程略）：

P=[SX（]1[]2[SX）]×（1+C）×W0×QM×1%+[SX（]12×8%[]n計發(fā)月數(shù)[SX）]×C×W0×QM×[SX（]1-mM[]1-m[SX）]（1）

由上面的養(yǎng)老金計算模型可以很容易得到替代率的計算公式：

F替代率=[SX（]1[]2[SX）]×（1+C）×M+[SX（]12×8%[]n計發(fā)月數(shù)[SX）]×C×[SX（]1-mM[]1-m[SX）]（2）

1.4 模型求解

考慮到職工分別是從30、40歲開始繳納養(yǎng)老金保險而又分別到55、60、65歲退休，所以養(yǎng)老金的替代率有6個值。我們利用Matlab軟件對其求解，其中變量工資增長率qi參照表2。

輸入程序：

m=[25 30 35 15 20 25]

q=[0.0495 0.0307 0.0177 0.0949 0.0770 0.0495]

n=[170 139 101 170 139 101]

for i=1∶6

f（i）=1/2*（1+1.04）*m（i）+（12*0.08）/n（i）*1.04*（1-（1.03/（1+q（i）））^m（i））/ （1-（1.03/（1+q（i））））

求得各個階段的替代率如表3所示。

2 養(yǎng)老保險基金平衡問題

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)每年給付的養(yǎng)老金額度不變。

2.2 符號說明

b1——55歲時養(yǎng)老金年給付額；b2——60歲時養(yǎng)老金年給付額；

i——個人賬戶記賬利率；

b3——65歲時養(yǎng)老金年給付額；

B[DD（]..[DD）]k-1——k年期初（即退休當年）各年養(yǎng)老金現(xiàn)值總和。

2.3 模型求解

基于第一個問題中解答過程模型一，我們可以計算出職工從30歲開始繳費，到55歲、60歲、65歲退休，所得的養(yǎng)老金，從其退休后，即開始領(lǐng)取退休金直至75歲死亡問題描述。

中國職工基本養(yǎng)老保險個人賬戶部分，采取以平均余命來確定養(yǎng)老金的方法。個人賬戶中繳費一般按工資的一定比例繳納，個人賬戶中養(yǎng)老金發(fā)放標準按退休職工的平均余命和利率來確定的。在個人賬戶儲存額模型中對個人賬戶的處理方法是逐年計算個人賬戶儲存額，并同時考慮金額到退休時的本金及利息，最后將所有年度的本息進行累加。

2.3.1 個人賬戶儲存額的模型

由模型一基本養(yǎng)老金模型可知（過程推導在此省略）。

P個人賬戶儲存額=12×8%×c×W0×QMi×[SX（]1-（[SX（]1+r[]1+qi[SX）]）Mi[]1-（[SX（]1+r[]1+qi[SX）]）[SX）]（3）

輸入程序：

m=[25 30 35]

q=[0.0495 0.0307 0.0177]

for i=1∶3

f（i）=（0.08）*1.04*65123*（1+q（i））^m（i）*（1-（1.03/（1+q（i）））^m（i））/（1-（1.03/（1+q（i））））

求解得各個階段的個人賬戶存儲額為365240元、398730元、433020元。

2.3.2 養(yǎng)老金標準發(fā)放的模型

設(shè)養(yǎng)老金年給付額為b，平均余命為k年，個人記賬利率為i，養(yǎng)老金發(fā)放在年初進行，則各年的養(yǎng)老金在平均余命期限k年年初（退休當年的）的現(xiàn)值為：

第一年養(yǎng)老金在k年年初的現(xiàn)值：b；

第二年養(yǎng)老金在k年年初的現(xiàn)值：[SX（]b[]（1+i）[SX）]；

第k年養(yǎng)老金在k年年初的現(xiàn)值：[SX（]b[]（1+i）k-1[SX）]。

該職工在k年期初（即退休當年）各年養(yǎng)老金現(xiàn)值總和：

B[DD（]..[DD）]k-1=b+[SX（]b[]（1+i）[SX）]+…+[SX（]b[]（1+i）k-1[SX）]=b[SX（]（1+i）k-1[]i（1+i）k-1[SX）]

b=P個人賬戶儲存額÷n計發(fā)月數(shù)×12（4）

輸入程序：

p=[365240 398730 433020]

q=[0.0495 0.0307 0.0177]

n=[170 139 101]

k=[20 15 10]

for i=1∶3

f（i）=p（i）/n（i）*12*（（1+q（i））^k（i）-1）/ q（i）*（1+q（i））^k（i）

end

求解得出各個階段的個人賬戶的養(yǎng)老金給付額為2228700元、1012900元、664400元。

2.3.3 社會養(yǎng)老保險基金平衡判定模型

L=p個人賬戶儲存額-B[DD（]..[DD）]k-1=12×8%×c×W0×QM×

[SX（]1-（[SX（]1+r[]1+q[SX）]）M[]1-（[SX（]1+r[]1+q[SX）]）[SX）]-b[SX（]（1+i）k-1[]i（1+i）k-1[SX）]（5）

L為第k年養(yǎng)老保險基金收支差額。當L=0時，目標期間內(nèi)養(yǎng)老保險基金收支平衡；當L>0時，目標期間內(nèi)養(yǎng)老保險基金收大于支；當L<0時，目標期間內(nèi)養(yǎng)老保險基金收不低支。根據(jù)模型，利用matlab，代入數(shù)據(jù)得到社會養(yǎng)老基金收支結(jié)果如下：

養(yǎng)老金收入和支出之間的關(guān)系可以用表4來表示。

3 影響?zhàn)B老金收支平衡的因素

從上述諸多模型可以看出，在部分積累模型下，影響?zhàn)B老金收支平衡式的變量有：繳費年限M、繳費工資、工資增長率。

3.1 繳費年限（退休年齡）

繳費年限是決定養(yǎng)老金負擔水平的一個基本因素。在預期壽命和保障水平一定的情況下，提高繳費年限，不僅可以縮短平均享養(yǎng)老金年限，降低養(yǎng)老基金支付總負擔，而且還可以相對延遲職工繳納養(yǎng)老保險的期限，增加養(yǎng)老基金的收入，從雙向有利于實現(xiàn)養(yǎng)老基金收支平衡。據(jù)國際勞工局估計，退休年齡從60歲提高到65歲，養(yǎng)老金負擔降低50%。在人口年齡確定時，退休年齡越高，撫養(yǎng)比就越低。但一提到提高退休年齡，就會遇到就業(yè)壓力過大等問題。但只要我們分清造成我們國目前就業(yè)難的主要原因后，這個問題就容易破解。中國現(xiàn)階段失業(yè)壓力主要來源于結(jié)構(gòu)性失業(yè)。為了解決這一問題，如前面所述，我們應該延長年輕人教育年限，限制就業(yè)的最低年齡。這樣分階段、有步驟的提高繳費年限的設(shè)想是完全可以實現(xiàn)的。

3.2 繳費工資

按照國家規(guī)定，企業(yè)應以全部職工繳納工資基數(shù)之和作為繳費基數(shù)。繳費基數(shù)的大小對社保基金收入的增減產(chǎn)生重要影響。在繳費比例既定的前提下，繳費基數(shù)大，基金收入額就大。

3.3 工資增長率

由于職工繳費與領(lǐng)取的養(yǎng)老基金均按一定比例與工資掛鉤，因此一旦工資增長，職工繳費與領(lǐng)取的養(yǎng)老基金也會隨著增長。根據(jù)上面模型分析可知，工資增長率對職工領(lǐng)取養(yǎng)老金的影響遠遠超過對其所繳納的繳費。因此降低工資增長率可以緩解養(yǎng)老金支付負擔。

4 結(jié) 論

由上分析可知，計費基數(shù)低于工資總額、收繳率低、使比例居高不下。而高的繳費比例又將進一步使覆蓋面和收繳率降低，從而對基金收支平衡產(chǎn)生負面影響。為了扭轉(zhuǎn)這種情況，只有按照傳統(tǒng)論的思維方法，綜合采取各種有效措施，進一步強化對養(yǎng)老基金征繳運營及養(yǎng)老基金發(fā)放的監(jiān)督，建立符合中國國情的養(yǎng)老保險運行機制，逐步做到個人賬戶，有計劃、有步驟地提高就業(yè)年齡、退休年齡，適當降低養(yǎng)老基金代替率，這樣才能從根本上解決養(yǎng)老保險基金收支平衡的問題。

模型的優(yōu)缺點：①該模型的假設(shè)在理論上是成立的，具有一定的合理性。②現(xiàn)實存在諸多不確定因素，例如，政府對每月繳納養(yǎng)老金的金額數(shù)量或者年齡利率有所改變時，可能會影響假設(shè)的條件，導致計算結(jié)果不合理。③從問題出發(fā)，分析了應該考慮的各種情況，建立了一般的數(shù)學模型，并進行實例驗證，從而證明了所建立的數(shù)學模型可以較好地解決實際問題。④用Matlab準確地對眾多數(shù)據(jù)進行處理，在運用Matlab進行計算時，可以準確且快速地進行煩瑣的運算。⑤為了使計算簡便，使所得的結(jié)果更理想化，忽略了一些次要因素。

參考文獻：

[1]張丹丹.Matlab在職工工資預測上的擬合應用[J].才智，2011（12）.

[2]百度百科：養(yǎng)老金[EB/OL].http：//baike.baidu.comview4/07916.htm.

[3]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.

[4]唐煥文，賀明峰.數(shù)學模型引論[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.

[作者簡介]張丹丹（1982—），女，漢族，海南文昌人，海南經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學院講師。研究方向：數(shù)學與應用數(shù)學。