黃錦文

（江西冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 新余338015）

1 引 言

在逆向工程中，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)CMM 已經(jīng)普遍用于測(cè)量曲線曲面。CMM 測(cè)量數(shù)據(jù)的方式，分為點(diǎn)位式和連續(xù)掃描式［1］。點(diǎn)位式通常用來(lái)對(duì)經(jīng)過(guò)分布規(guī)劃的已知方程曲線曲面進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量效率比較低［2］。連續(xù)掃描測(cè)量通常用來(lái)對(duì)未知曲面方程曲線曲面進(jìn)行測(cè)量。計(jì)算機(jī)根據(jù)離散點(diǎn)采用擬合方法構(gòu)建出曲線曲面，擬合包括插值和逼近［3］。因?yàn)槿〕龅臄?shù)據(jù)點(diǎn)有限，計(jì)算機(jī)構(gòu)建出來(lái)的曲線曲面和理論曲線曲面之間有誤差。掃描過(guò)程中要研究如何取出數(shù)據(jù)點(diǎn)，在數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量盡量少的情況下，使計(jì)算機(jī)構(gòu)建出來(lái)的曲線曲面誤差最小，即如何在連續(xù)截面掃描中，通過(guò)合理的取點(diǎn)方式實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)采樣。本文對(duì)一給定的理論曲線以不同取點(diǎn)方式采集出相同數(shù)量的點(diǎn)。然后，利用MATLAB 進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合，計(jì)算在相同x 處擬合曲線和理論曲線差值，給出誤差分布圖。分析誤差分布圖，得出等角度變化和法可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的自適應(yīng)分布。

2 理論曲線

圖1 函數(shù)y=sinx 圖

研究曲線方程為y=sinx（x∈［0，π］）（1）

然后，求解相同點(diǎn)處（xk，yk）的誤差e（yk）

最后給出分布圖，并進(jìn)行分析。

3 不同取點(diǎn)方式

3.1 等Δx 法

等Δx 法，就是取出點(diǎn)（xj，yj|j=1，…m；m=21）把x 軸分成20 均勻等分xj+1-xj=π/20，x1=0，xm=π。在這些點(diǎn)中，插值出一組新的點(diǎn)（xk，yk），并 計(jì) 算 誤 差e（yk）。最后給出誤差分布圖2（x，e（y）），這些取出點(diǎn)的分布如圖3所示。

圖2 等Δx 法誤差分布

圖3 等Δx 法取點(diǎn)在曲線上的分布圖

3.2 等弦長(zhǎng)法

取出的21 個(gè)點(diǎn)中相鄰兩點(diǎn)（xj，yj）和（xj+1，yj+1）之間的距離dj為弦長(zhǎng)值，

等弦長(zhǎng)法就是使所有的dj相等，在這些點(diǎn)中，插值出一組新的點(diǎn)（xk，yk），計(jì)算誤差e（yk），給出誤差分布圖4（x，e（y）），這些取出點(diǎn)的分布如圖5 所示。

3.3 等弧長(zhǎng)法

圖4 等弦長(zhǎng)法誤差分布

圖5 等弦長(zhǎng)法取點(diǎn)的分布圖

弧長(zhǎng)法就是在取出的21 個(gè)點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)（xj，yj）和（xj+1，yj+1）之間的弧長(zhǎng)Sj相等?；￠L(zhǎng)的算法可以近似地按照下面的式子進(jìn)行

圖6 等弧長(zhǎng)法誤差分布圖

式中，di是離散出的數(shù)據(jù)點(diǎn)中相鄰兩點(diǎn)（xi，yi）和（xi+1，yi+1）之間的距離，Lj和Uj分別是取出點(diǎn)中第j 點(diǎn)（xj，yj）和j+1 點(diǎn)（xj+1，yj+1）對(duì)應(yīng)離散樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）的位置（即i=Lj和i=Uj，Uj>Lj）。同樣，得到誤差分布圖6 和取出點(diǎn)的分布圖7。

3.4 等角度變化和法

圖7 等弧長(zhǎng)法取點(diǎn)在曲線上的分布

圖8 離散樣本點(diǎn)中相鄰三點(diǎn)角度關(guān)系

（等積分角度法）

如圖8 所示，離散樣本點(diǎn)中相鄰三點(diǎn)（第i、i+1、i+2 個(gè)點(diǎn)），第i 個(gè)點(diǎn)和第i+1 個(gè)點(diǎn)之間的連線與x 軸所成角度θi，第i+1 個(gè)點(diǎn)和第i+2 個(gè)點(diǎn)之間的連線與x 軸所成的銳角為θi+1，兩者之間變化絕對(duì)值為：

θi可以通過(guò)以下兩個(gè)式子來(lái)計(jì)算得到

角度變化和為Qj為

圖9 等角度變化和法的誤差圖

圖10 等角度變化和法的取點(diǎn)分布

等角度變化和法取點(diǎn)就當(dāng)Qj值達(dá)到一定值就取點(diǎn)的一種數(shù)據(jù)采集方式。式（9）中，Lj和Uj分別是取出點(diǎn)中第j點(diǎn)（xj，yj）和j+1 點(diǎn)（xj+1，yj+1）對(duì)應(yīng)離散樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）的位置（即i=Lj和i=Uj，Uj>Lj）。圖9 為該方法得到的誤差分布圖，取出點(diǎn)的分布如圖10。

比較四幅誤差圖2、4、6、9 可知，等角度變化和法誤差值隨曲率增大而減小，而其他幾種方法在曲率值較大處的誤差值也大。等角度變化和法誤差值在曲率較小處相對(duì)于其他幾種取點(diǎn)方式要大，原因是在曲率值較小處數(shù)據(jù)采集點(diǎn)比較稀，如圖10 所示。從圖9 還可以確定，對(duì)曲率越大或曲率變化越大的未知復(fù)雜曲面進(jìn)行掃描測(cè)量，等角度變化和取點(diǎn)法可以實(shí)現(xiàn)在盡量少的點(diǎn)數(shù)情況下盡可能地反映曲線曲面，即實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)采樣。

［1］ 金濤，童水光.逆向工程技術(shù)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

［2］ 張國(guó)雄.三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)［M］.天津：天津大學(xué)出版社，1999.

［3］ 鄭咸義.計(jì)算方法［M］.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2003.