苑偉民

中國(guó)石化天然氣分公司廣西液化天然氣工程項(xiàng)目部，廣西 北海 536000

1 Colebrook-White 方程

在計(jì)算摩阻系數(shù)的眾多方程中，Colebrook-White方程較為常用［1-3］：

式中： f 為為水力摩阻系數(shù)；ε 為為管道內(nèi)壁粗糙度，m；D 為為管道內(nèi)徑，m；Re 為為雷諾數(shù)，無(wú)量綱量。

2 Colebrook-White 方程求解

隱式Colebrook-White 方程［4-6］，早期借助圖表進(jìn)行估算，誤差較大；隨著數(shù)值算法及編程軟件的發(fā)展，可運(yùn)用牛頓法、弦截法、拋物線法等迭代方法［7-9］或者使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解［10-13］；但迭代法計(jì)算用時(shí)較長(zhǎng)，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件有可能不能直接得出數(shù)值解。

2.1 Lambert W 格式的方程

使用MATLAB 求解式（1）得到如下最簡(jiǎn)形式：

Lambert W 函數(shù)定義為：W=Lambert W（x），表達(dá)的數(shù)學(xué)意義為：w*exp（w）=x。 LambertW 函數(shù)是一個(gè)超越方程的形式，不能直接應(yīng)用于工程計(jì)算。

2.2 WrightOmega 格式的方程

使用Maple 軟件求解式（1）得到如下最簡(jiǎn)形式：

2.3 Product Log 格式的方程

使用Mathematica 軟件求解式 （1） 得到帶有Product Log 函數(shù)的方程， 形式更為復(fù)雜。 Product Log函數(shù)與Wright Omega 函數(shù)定義相同，仍然不能直接應(yīng)用于工程計(jì)算。

3 Colebrook-White 顯式方程

3.1 顯式方程的推導(dǎo)

在數(shù)值方法研究的基礎(chǔ)上，綜合牛頓法和多重迭代法［7］，提出以下迭代法：

使用式（5）代替求導(dǎo)：

式（4）具有4 階以上收斂階。

3.2 顯示方程的提出

將式（1）代入式（4），經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，簡(jiǎn)化得到顯式Colebrook-White 方程：

4 計(jì)算實(shí)例

4.1 方程使用

4.1.1 已知參數(shù)

雷諾數(shù)Re=5 813 924， 粗糙度k=0.02 mm， 管徑D=600 mm。

4.1.2 計(jì)算過(guò)程

將已知數(shù)值帶入b、c、x0計(jì)算， 得到表1 數(shù)值，進(jìn)一步帶入式（6），即可解得摩阻系數(shù)。

4.2 結(jié)果分析

將式（6）與文獻(xiàn)［10］中的方程（見(jiàn)表2）作對(duì)比見(jiàn)表3［10］。

表1 數(shù)值表

表2 顯式Colebrook-White方程［10］

表3 摩阻系數(shù)計(jì)算參數(shù)對(duì)比［10］

表3 中， 采用的精確值為1.050 336 403 193 8×10-2，該值是采用拋物線法和弦截法分別求解式（1）所得計(jì)算值的平均值。

生成100 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，式（6）計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差為（1.5×10-7）%，絕對(duì)誤差為1.5×10-11；使用計(jì)算機(jī)編程求解， 計(jì)算所用時(shí)長(zhǎng)約為拋物線法的1/32，約為弦截法的1/9。

5 結(jié)論

顯式Colebrook-White 方程具有以下特點(diǎn)：

a）適用范圍廣，適用于所有雷諾數(shù)范圍；

b）計(jì)算結(jié)果精度高，絕對(duì)誤差數(shù)量級(jí)10-11；

c）計(jì)算時(shí)間短，遠(yuǎn)小于迭代算法；

d）形式簡(jiǎn)單，既適合手算也適合計(jì)算機(jī)計(jì)算。

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