成于思 李啟明 袁競峰

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京210096)

拍賣(auction)或招標(biāo)是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會中處理非對稱信息下商品交易的一種普遍形式,在建筑工程招投標(biāo)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2].Holt[3]研究了基于密封拍賣模型的采購合同的委托承接過程,提出了最低價格招投標(biāo)和第二最低價格招投標(biāo)程序,以及相應(yīng)的均衡策略.由于在該模型中將投標(biāo)人建模為風(fēng)險中性及對稱,與現(xiàn)實中的條件有所偏差,因此研究人員對此基本模型進(jìn)行了拓展.Maskin等[4]研究了投標(biāo)人價值分布為非對稱模型下的均衡存在條件以及均衡策略的表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上,Bajari[5]給出了非對稱模型下均衡策略的數(shù)值解法.Cox等[6]將模型的風(fēng)險中性假設(shè)推廣到不同風(fēng)險態(tài)度條件,給出了均衡策略.在此基礎(chǔ)上,Boening等[7]用數(shù)值方法對Cox模型中較難給出理論解的部分進(jìn)行仿真.Chen等[8]用實驗經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法研究了不同風(fēng)險態(tài)度的一階拍賣模型.然而Cox模型是應(yīng)用于最高價格物品拍賣模型,與工程招投標(biāo)模型不同.李建章[9]對比分析了風(fēng)險參數(shù)相同的投標(biāo)人和不相同的投標(biāo)人的博弈行為,以及參數(shù)對均衡策略的影響.

在實際的工程招投標(biāo)過程中,經(jīng)常存在低價中標(biāo)現(xiàn)象[10],使得基本的理論模型與實際相比產(chǎn)生了偏差.同時,在建設(shè)工程招投標(biāo)中,價格只是衡量投標(biāo)方案的標(biāo)準(zhǔn)之一,業(yè)主往往還需要考慮其他非價格屬性(如質(zhì)量、完工日期、項目經(jīng)理等).Che[11]提出了二維多屬性拍賣模型,而David等[12]將之推廣到多維屬性拍賣中.孫亞輝等[13]改進(jìn)了David模型中的效用函數(shù),使之更適合實際情況.在建設(shè)工程招投標(biāo)中引入多維標(biāo)準(zhǔn),解決低價中標(biāo)問題是本文的研究目的.

本文首先在密封價格拍賣模型的基礎(chǔ)上考慮了風(fēng)險態(tài)度因素,對低價中標(biāo)現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析.其次,引入多屬性招標(biāo)模型,分析模型中的均衡策略,進(jìn)而解決低價中標(biāo)問題,實現(xiàn)工程的整體性能優(yōu)化.最后通過實例給出了投標(biāo)及評分過程.

1 建設(shè)工程招投標(biāo)基本模型

根據(jù)最低價格密封拍賣模型,基本的招投標(biāo)過程如下:業(yè)主(即招標(biāo)人)有一項建設(shè)工程要發(fā)包,根據(jù)招投標(biāo)法規(guī)定,采用最低價格密封招標(biāo).承包商(即投標(biāo)人)將自己對工程的報價寫下來裝入信封中,密封后交給招標(biāo)單位,招標(biāo)人開標(biāo),選擇報價最低方作為工程承包者.

假定投標(biāo)人i的出價bi(ci)是其成本ci的嚴(yán)格遞增可微函數(shù)[14].由于博弈是對稱的,只需要考慮對稱的均衡報價策略:b=b*(c).給定c和b,投標(biāo)人的期望收益為

投標(biāo)人i面臨的問題是

解此最優(yōu)化問題,得到

具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[3].當(dāng)投標(biāo)人數(shù)增加時,投標(biāo)方報價將接近成本.招標(biāo)方采用這種博弈機(jī)制使得投標(biāo)方揭示各自的私人成本信息.

盡管基本的投標(biāo)拍賣模型可以優(yōu)化招投標(biāo)各方的收益,然而其基本的假設(shè),即所有的投標(biāo)者都是風(fēng)險中性的,與現(xiàn)實中工程投標(biāo)者的風(fēng)險態(tài)度不符,因此限制了模型的應(yīng)用.面對同一個招標(biāo)工程,投標(biāo)者采取的投標(biāo)策略分為保守型和中立型[6].產(chǎn)生不同投標(biāo)策略的原因主要有:① 工程招標(biāo)與一般的商品采購招標(biāo)不同,具有工期長、建造環(huán)境復(fù)雜、不可預(yù)見因素較多等特征.不同的承包商對于這些風(fēng)險因素做出不同的判斷,既可能認(rèn)為會增加成本,也可能認(rèn)為會減少成本.此時,承包商會選擇不同的投標(biāo)策略.② 由于工程合同存在一定模糊性和不完整性,部分承包商采取事前低價中標(biāo)的策略,中標(biāo)之后再以合同變更為借口提高價款,或降低工程質(zhì)量進(jìn)而彌補(bǔ)低價可能造成的損失.下面將修改基本模型,加入承包商風(fēng)險態(tài)度變量,研究其對均衡投標(biāo)函數(shù)的影響.

2 考慮風(fēng)險態(tài)度的招標(biāo)報價模型

改變招投標(biāo)基本模型中投標(biāo)人風(fēng)險中性的設(shè)定,將每個投標(biāo)人的效用函數(shù)建模為簡單冪函數(shù):Ui(yi)=(yi)ri,其中yi表示收入,ri為風(fēng)險參數(shù)[6].當(dāng)0≤ri<1時,投標(biāo)人i為風(fēng)險回避型投標(biāo)人;當(dāng)ri=1時,投標(biāo)人為風(fēng)險中性.ri為一隨機(jī)變量,具有相同的概率分布函數(shù),記為Φ,支持度表示為[0,rmax],其中rmax≤1.每個投標(biāo)人知道自己的風(fēng)險參數(shù)值,但僅知其他投標(biāo)人的風(fēng)險參數(shù)的分布函數(shù)Φ.

(1)

ci可以看作報價函數(shù)的反函數(shù),可表示為

(2)

因為bi是ci的增函數(shù),所以h(bi,ri)隨著bi遞增.由式(2)可知,風(fēng)險參數(shù)為rmax的投標(biāo)人報的最低價為

(3)

(4)

投標(biāo)人以報價b贏得合同的概率G(b)為

G(b)=Fn-1(b)=I(F(b))

(5)

將式(5)代入式(4),可得

(6)

經(jīng)過移項整理后,得到

(7)

令θ=1/E(r),式(7)兩邊同時乘以積分系數(shù)I(F)θ，可得

(8)

(9)

對式(9)進(jìn)行積分,有

(10)

(11)

將式(5)代入式(2),有

(12)

對式(11)兩邊求導(dǎo),將得到的I′(F)F′的表達(dá)式代入式(12),可得到

(13)

(14)

此時均衡報價函數(shù)被式(14)與式(13)定義.將式(5)代入式(13)中,得到

(15)

將式(14)代入式(15)中,得到如下均衡報價策略:

(16)

下面討論ri對ci的影響.假設(shè)任意2個承包商滿足c1=c2=c,r1

當(dāng)下人們環(huán)境保護(hù)意識不斷提高，不僅尋求經(jīng)濟(jì)上的突破，也堅持走可持續(xù)發(fā)展的科學(xué)道路，力求對于環(huán)境的保護(hù)。近年來，我國建立了嚴(yán)格的空氣考核體系，對于空氣中的各項系數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格的測評，尤其關(guān)注臭氧對于大氣環(huán)境的影響。造成臭氧污染的因素很多，且臭氧濃度有自身的發(fā)展規(guī)律，相關(guān)環(huán)境部門應(yīng)進(jìn)行研究與治理，提升我國大氣環(huán)境質(zhì)量，保障人們的生活環(huán)境。

3 改進(jìn)的建設(shè)工程招投標(biāo)模型

從上述推導(dǎo)可看出,投標(biāo)人風(fēng)險態(tài)度的不同使得成本較高者可能中標(biāo),此時業(yè)主并未選到最優(yōu)投標(biāo)商.而承包商以低價中標(biāo)之后,為了彌補(bǔ)利潤,中標(biāo)者很可能采取在工程建設(shè)過程中偷工減料、降低施工質(zhì)量、改變施工方案等措施,這些都將損害業(yè)主利益[10].為了解決這一問題,考慮在拍賣過程中不再以價格為唯一標(biāo)準(zhǔn),加入質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、施工方案評價標(biāo)準(zhǔn)、施工方人員技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)等,同時應(yīng)將這些條款加入合同中,保證這些標(biāo)準(zhǔn)的執(zhí)行力.在面對較為嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的合同時,承包商需要考慮在施工過程中違反合同所要付出的代價,這在一定程度上會改變承包商在投標(biāo)報價時的風(fēng)險態(tài)度,使承包商更偏向于風(fēng)險中性.

下面將多屬性因素加入基本招投標(biāo)模型,分析均衡報價策略的改變.業(yè)主在發(fā)布的招標(biāo)文件中規(guī)定影響投標(biāo)結(jié)果的(m+1)個屬性及其權(quán)重,其中價格屬性為b,非價格屬性表示為qj(j=1,2,…,m).qj越大表示對投標(biāo)人的要求越高,投標(biāo)人在該屬性上的成本越高.投標(biāo)人在中標(biāo)下的效用函數(shù)表示為

bi-fc(ci,qi1,…,qim)

式中,ci為投標(biāo)方的成本參數(shù),服從概率分布F(ci);aj表示第j個屬性的成本系數(shù),在此假設(shè)各個投標(biāo)人同一屬性下的成本系數(shù)相同.招標(biāo)人的效用函數(shù)表示為

-b+fs(qi1,…,qim)

(17)

式中,wj為第j個屬性的權(quán)重.招標(biāo)人公布評分函數(shù),用以挑選承包商.文獻(xiàn)[12]提出招標(biāo)人的評分準(zhǔn)則的權(quán)重可以與式(17)中的效用函數(shù)wj不同,進(jìn)而優(yōu)化招標(biāo)人效用.而在建設(shè)工程招標(biāo)中,需要遵循公開公平公正原則,因此評分函數(shù)S(b,q1，…,qm)與式(17)相同.

David等[12]證明給定多屬性招投標(biāo)評分規(guī)則和投標(biāo)方效用函數(shù)時,使得投標(biāo)方效用最大化的非價格屬性的選擇獨(dú)立于價格屬性,且最優(yōu)價格屬性值為

(18)

最優(yōu)化的一階條件滿足式(18)右邊部分對qij求導(dǎo)等于零,由此得到

(19)

投標(biāo)人的均衡報價函數(shù)是如下最優(yōu)化問題的解:

(20)

將p(·)認(rèn)為是v的滿足單調(diào)性和對稱性的報價函數(shù),利用一階密封價格拍賣模型中的方法可求得式(20)的解為

(21)

4 案例分析

假設(shè)某業(yè)主需要修建一棟大樓,采用公開招標(biāo)的方式選擇施工方.在招標(biāo)的評分辦法中，除價格之外提出幾個標(biāo)準(zhǔn)：① 質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)q1,包括承諾質(zhì)量等級、違約經(jīng)濟(jì)處罰、質(zhì)量保障體系等分項;② 施工方人員素質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)q2,包括項目經(jīng)理資歷、施工人員資歷以及培訓(xùn)等分項；③ 施工方案性能標(biāo)準(zhǔn)q3,包括工期進(jìn)度計劃科學(xué)性、施工方案可行性、施工技術(shù)先進(jìn)性等分項.每項標(biāo)準(zhǔn)的成本參數(shù)和成本系數(shù)與各個分項有關(guān).這里各屬性取值與成本參數(shù)和成本系數(shù)一起決定了施工方效用中的成本,這與實際中專家給出的各屬性評分不同,兩者之間是遞增函數(shù)關(guān)系.假設(shè)各施工方成本參數(shù)在[0,1]上獨(dú)立且服從均勻分布函數(shù).各參與方的效用函數(shù)如下:

承包商根據(jù)評分規(guī)則進(jìn)行投標(biāo),評分函數(shù)為

利用式(19)、(21),求得3個承包商的報價如下:

BID1=(p=5.738,q1=4,q2=4,q3=6.25)

BID2=(p=3.415,q1=1.78,q2=1.78,q3=2.78)

BID3=(p=2.688,q1=1.23,q2=1.23,q3=1.93)

承包商的得分分別為:S1=3.61,S2=2.82,S3=2.50.由結(jié)果可知提供高質(zhì)量高性能方案的承包商的投標(biāo)價也相應(yīng)提高.承包商1的得分最高,將贏得合同.

從本例中也可以看出并非價格最低的承包商獲得合同,而是綜合考慮了價格標(biāo)準(zhǔn)和非價格標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評選.這樣一方面可以減輕承包商低價中標(biāo)策略給業(yè)主造成的損失,保障了業(yè)主在整個工程上的長遠(yuǎn)利益；另一方面也促進(jìn)承包商在工程開始之前做好充分調(diào)研準(zhǔn)備,減少盲目投標(biāo)帶來的損失.

5 結(jié)語

本文研究了建筑工程項目招投標(biāo)過程中的博弈行為,將基本的密封拍賣模型中風(fēng)險中性的假設(shè)條件拓展到不同風(fēng)險參數(shù)條件,使之更適合實際招投標(biāo)過程.通過分析不同風(fēng)險參數(shù)下的均衡報價策略,可以看出,現(xiàn)實中投標(biāo)人的風(fēng)險態(tài)度使得最低價格密封拍賣不一定是帕累托有效.為了解決低價中標(biāo)現(xiàn)象,使用多屬性招投標(biāo)模式挑選承包商,當(dāng)合同不確定性降低時,承包商風(fēng)險態(tài)度偏向中性.通過算例可以看出當(dāng)承包商提供高質(zhì)量的工程時,盡管報價最高也能贏得工程.本文中的招投標(biāo)建模針對不可分的單一對象考慮多屬性標(biāo)準(zhǔn),而建設(shè)工程的招投標(biāo)往往是將一個工程分解為多個對象分別報價.未來的工作將研究多對象多屬性結(jié)合的招投標(biāo)模型中的最優(yōu)投標(biāo)策略問題.

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[1]Mohamed K A, Khoury S S, Hafez S M. Contractor’s decision for bid profit reduction within opportunistic bidding behavior of claims recovery[J].InternationalJournalofProjectManagement, 2011,29(1): 93-107.

[2]Oo B L, Drew D S, Lo H P. A comparison of contractors’ decision to bid behavior according to different market environments[J].InternationalJournalofProjectManagement, 2008,26(4): 439-447.

[3]Holt C A. Competitive bidding for contracts under alternative auction procedures[J].JournalofPoliticalEconomy, 1980,88(3): 433-445.

[4]Maskin E, Riley J. Asymmetric auctions[J].TheReviewofEconomicStudies, 2000,67(3): 413-438.

[5]Bajari P. Comparing competition and collusion: a numerical approach[J].EconomicTheory, 2001,18(1): 187-205.

[6]Cox J C, Smith V L, Walker J M. Theory and individual behavior in first-price auctions[J].JournalofRiskandUncertainty, 1988,1(1): 61-69.

[7]Boening M V, Rassenti S J, Smith V. Numerical computation of equilibrium bid functions in a first-price auction with heterogeneous risk attitude[J].ExperimentalEconomics, 1998,1(2): 147-159.

[8]Chen Y, Katuscak P, Ozdenoren E. Sealed bid auctions with ambiguity: theory and experiments[J].JournalofEconomicTheory, 2007,136(1): 513-535.

[9]李建章. 風(fēng)險態(tài)度與密封招標(biāo)中的均衡投標(biāo)策略[J]. 重慶交通學(xué)院學(xué)報, 2006, 25(1): 120-124.

Li Jianzhang. The equilibrium bidding strategy for the bidders with different attitudes toward risk in the first price sealed auctions[J].JournalofChongqingJiaotongInstitute, 2006,25(1): 120-124.(in Chinese)

[10]王維國, 劉德海. 建筑工程項目招標(biāo)低價中標(biāo)現(xiàn)象的不完全信息博弈理論分析[J]. 中國管理科學(xué), 2008, 10(16): 444-449.

Wang Weiguo, Liu Dehai. The incomplete information game-theoretical analysis of winning the bid with low-priced in engineering project[J].ChineseJournalofManagementScience, 2008,10(16): 444-449.(in Chinese)

[11]Che Y K. Design competition through multidimensional auctions[J].JournalofEconomics, 1993,24(3): 668-680.

[12]David E, Azoulay-Schwartz R, Kraus S. Bidding in sealed-bid and English multi-attribute auctions[J].DecisionSupportSystems, 2006,42(2): 527-556.

[13]孫亞輝, 馮玉強(qiáng). 多屬性密封拍賣模型及最優(yōu)投標(biāo)策略[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2010, 7(7): 1185-1189.

Sun Yahui, Feng Yuqiang. Multi-attribute sealed-bid auction model and optimal bidding strategies[J].SystemsEngineering—Theory&Practice, 2010,7(7): 1185-1189.(in Chinese)

[14]張維迎. 博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)[M]. 上海:格致出版社, 2004:152-153.